人教A版数学必修三3-3-1几何概型 8页

§3.3 几何概型 §3.3.1 几何概型 一、教材分析 这部分是新增加的内容.介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要,但是对 几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义,所以教科书中选的例题都是比较简单的.随 机模拟部分是本节的重点内容.几何概型是另一类等可能概型,它与古典概型的区别在于试验 的结果不是有限个,利用几何概型可以很容易举出概率为 0 的事件不是不可能事件的例子,概 率为 1 的事件不是必然事件的例子. 利用古典概型产生的随机数是取整数值的随机数,是离散型随机变量的一个样本;利用几 何概型产生的随机数是取值在一个区间的随机数,是连续型随机变量的一个样本.比如［0,1］ 区间上的均匀随机数,是服从［0,1］区间上均匀分布的随机变量的一个样本.随机模拟中的统 计思想是用频率估计概率. 本节的教学需要一些实物模型为教具,如教科书中的转盘模型、例 3 中的随机撒豆子的 模型等.教学中应当注意让学生实际动手操作,以使学生相信模拟结果的真实性,然后再通过 计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验,得到模拟的结果.在这个过程中,要让学生体 会结果的随机性与规律性,体会随着试验次数的增加,结果的精度会越来越高. 随机数的产生与随机模拟的教学中要充分使用信息技术,让学生亲自动手产生随机数,进 行模拟活动. 几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个.它的特 点是在一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无 关,只与该区域的大小有关.如果随机事件所在区域是一个单点,由于单点的长度、面积、体积 均为 0,则它出现的概率为 0,但它不是不可能事件;如果一个随机事件所在区域是全部区域扣 除一个单点,则它出现的概率为 1,但它不是必然事件. 均匀分布是一种常用的连续型分布,它来源于几何概型.由于没有讲随机变量的定义,教 科书中均匀分布的定义仅是描述性的,不是严格的数学定义,要求学生体会如果 X 落到［0,1］ 区间内任何一点是等可能的,则称 X 为［0, 1］区间上的均匀随机数. 二、教学目标 1、 知识与技能： （1）正确理解几何概型的概念； （2）掌握几何概型的概率公式： P（A）= 积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成 积）的区域长度（面积或体构成事件A ； （3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概 型； 2、 过程与方法： （1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解 决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力； （2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。 3、 情感态度与价值观： 本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。 三、重点难点 教学重点：理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率. 教学难点：等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 （一）导入新课 思路 1 复习古典概型的两个基本特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件发 生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?为此我们学 习几何概型,教师板书本节课题几何概型. 思路 2 下图中有两个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向 B 区域时,甲获胜,否则乙获 胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少? 为解决这个问题,我们学习几何概型. 思路 3 在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验 是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是 8：00 至 9：00 之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点…… 这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型. （二）推进新课、新知探究、提出问题 (1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？ (2)试验 1.取一根长度为 3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于 1 m 的 概率有多大？ 试验 2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色.金 色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为 122 cm,靶心直径为 12.2 cm.运动员在 70 m 外射箭. 假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？ (3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么? (4)什么是几何概型?它有什么特点? (5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式? (6)古典概型和几何概型有什么区别和联系? 活动：学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师 引导学生比较概括. 讨论结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反, 反）.每种结果出现的概率相等,P（正,正）=P（正,反）=P（反,正）=P（反,反）=1/4.两次出 现相同面的概率为 2 1 4 1 4 1  . (2)经分析,第一个试验,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为 3 m 的 绳子上的任意一点. 第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为 122 cm 的大圆内的任意一点. 在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然不 能用古典概型的方法求解. 考虑第一个问题,如右图,记“剪得两段的长都不小于 1 m”为事件 A.把绳子三等分,于是当 剪断位置处在中间一段上时,事件 A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的 3 1 , 于是事件 A 发生的概率 P(A)= 3 1 . 第二个问题,如右图,记“射中黄心”为事件 B,由于中靶心随机地落在面积为 4 1 ×π×1222 cm2 的大圆内,而当中靶点落在面积为 4 1 ×π×12.22 cm2 的黄心内时,事件 B 发生,于是事件 B 发 生的概率 P(B)= 2 2 1224 1 2.124 1     =0.01. (3)硬币落地后会出现四种结果（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）是等可能的,绳子从每 一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为 3 m 的绳子上的任意一点,也是等可 能的,射中靶面内任何一点都是等可能的,但是硬币落地后只出现四种结果,是有限的;而剪断 绳子的点和射中靶面的点是无限的;即一个基本事件是有限的,而另一个基本事件是无限的. (4)几何概型. 对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点, 该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区 域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处 理随机试验,称为几何概型. 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的 概率模型为几何概率模型（geometric models of probability）,简称几何概型. 几何概型的基本特点： a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； b.每个基本事件出现的可能性相等. (5)几何概型的概率公式： P（A）= )( )( 面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成 面积或体积的区域长度构成事件A . (6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的;区别是古典概型的基本 事件是有限的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也不 同. （三）应用示例 思路 1 例 1 判断下列试验中事件 A 发生的概率是古典概型,还是几何概型. （1）抛掷两颗骰子,求出现两个“4 点”的概率; （2）如下图所示,图中有一个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向 B 区域时,甲获胜, 否则乙获胜,求甲获胜的概率. 活动：学生紧紧抓住古典概型和几何概型的区别和联系,然后判断. 解：（1）抛掷两颗骰子,出现的可能结果有 6×6=36 种,且它们都是等可能的,因此属于古 典概型; （2）游戏中指针指向 B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率可以 用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型. 点评：本题考查的是几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性.而几 何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关. 例 2 某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时,求他等待的时间短于 10 分钟的概率. 活动：学生分析,教师引导,假设他在 0—60 之间的任一时刻,打开收音机是等可能的,但 0—60 之间有无数个时刻,不能用古典概型的公式来计算随机事件发生的概率,因为他在 0—60 之间的任一时刻打开收音机是等可能的,所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与 该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件,所以可用几何概型 的概率计算公式计算. 解：记“等待的时间小于 10 分钟”为事件 A,打开收音机的时刻位于［50,60］时间段内则 事件 A 发生.由几何概型的求概率公式得 P（A）=（60-50）/60=1/6，即“等待报时的时间不 超过 10 分钟”的概率为 1/6. 打开收音机的时刻 X 是随机的,可以是 0—60 之间的任何时刻,且是等可能的.我们称 X 服从 ［0,60］上的均匀分布,X 称为［0,60］上的均匀随机数. 变式训练 某路公共汽车 5 分钟一班准时到达某车站,求任一人在该车站等车时间少于 3 分钟的概 率（假定车到来后每人都能上）. 解：可以认为人在任一时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为 a,则某人到站的一 切可能时刻为Ω=(a,a+5),记 Ag={等车时间少于 3 分钟},则他到站的时刻只能为 g=(a+2,a+5) 中的任一时刻,故 P(Ag)= 5 3的长度 的长度g . 点评：通过实例初步体会几何概型的意义. 思路 2 例 1 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车时间不 多于 20 分钟的概率. 活动：假设他在 0—60 分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在 0 到 60 分钟 之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求 概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站 等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间 段的位置无关,这符合几何概型的条件. 解：设 A={等待的时间不多于 10 分钟},我们所关心的事件 A 恰好是到站等车的时刻位 于［40,60］这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得 P（A）=（60-40）/60=1/3. 即此人等车时间不多于 10 分钟的概率为 1/3. 点评：在本例中,到站等车的时刻 X 是随机的,可以是 0 到 60 之间的任何一刻,并且是等 可能的,我们称 X 服从［0,60］上的均匀分布,X 为［0,60］上的均匀随机数. 变式训练 在 1 万平方千米的海域中有 40 平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻 探,钻到油层面的概率是多少？ 分析：石油在 1 万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的，而 40 平方千米可 看作构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率. 解：记“钻到油层面”为事件 A,则 P(A)=0.004. 答：钻到油层面的概率是 0.004. 例 2 小明家的晚报在下午 5：30—6：30 之间任何一个时间随机地被送到,小明一家人在下 午 6：00—7：00 之间的任何一个时间随机地开始晚餐.则晚报在晚餐开始之前被送到的概率 是多少？ 活动：学生读题,设法利用几何概型公式求得概率. 解：建立平面直角坐标系,如右图中 x=6,x=7,y=5.5,y=6.5 围成一个正方形区域 G.设晚餐 在 x（6≤x≤7）时开始,晚报在 y（5.5≤y≤6.5）时被送到,这个结果与平面上的点（x,y）对应. 于是试验的所有可能结果就与 G 中的所有点一一对应. 由题意知,每一个试验结果出现的可能性是相同的,因此,试验属于几何概型.晚报在晚餐 开始之前被送到,当且仅当 y