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  • 2021-07-01 发布

高二数学人教a必修5练习:3-4基本不等式(二)word版含解析

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§3.4 基本不等式: ab≤a+b 2 (二) 课时目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用; 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 1.设 x,y 为正实数 (1)若 x+y=s(和 s 为定值),则当 x=y 时,积 xy 有最大值,且这个值为s2 4. (2)若 xy=p(积 p 为定值),则当 x=y 时,和 x+y 有最小值,且这个值为 2 p. 2.利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时,需满足: (1)x,y 必须是正数; (2)求积 xy 的最大值时,应看和 x+y 是否为定值;求和 x+y 的最小值时,应看积 xy 是 否为定值. (3)等号成立的条件是否满足. 利用基本不等式求最值时,一定要注意三个前提条件,这三个前提条件概括为“一正、 二定、三相等”. 一、选择题 1.函数 y=log2 x+ 1 x-1 +5 (x>1)的最小值为( ) A.-3 B.3 C.4 D.-4 答案 B 2.已知点 P(x,y)在经过 A(3,0),B(1,1)两点的直线上,则 2x+4y 的最小值为( ) A.2 2 B.4 2 C.16 D.不存在 答案 B 解析 ∵点 P(x,y)在直线 AB 上,∴x+2y=3. ∴2x+4y≥2 2x·4y=2 2x+2y=4 2(x=3 2 ,y=3 4 时取等号). 3.已知 x≥5 2 ,则 f(x)=x2-4x+5 2x-4 有( ) A.最大值5 2 B.最小值5 4 C.最大值 1 D.最小值 1 答案 D 解析 f(x)=x2-4x+5 2x-4 =x-22+1 2x-2 =1 2 x-2+ 1 x-2 ≥1. 当且仅当 x-2= 1 x-2 ,即 x=3 时等号成立. 4.函数 y= x2+5 x2+4 的最小值为( ) A.2 B.5 2 C.1 D.不存在 答案 B 解析 y= x2+5 x2+4 = x2+4+ 1 x2+4 ∵ x2+4≥2,而 1 x2+4 ≤1 2 ,所以不能用基本不等式求最小值,用函数的单调性求最值, 函数 y=x+1 x 在(1,+∞)上是增函数,∴在[2,+∞)上也是增函数. ∴当 x2+4=2 即 x=0 时,ymin=5 2. 5.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( ) A.3 B.4 C.9 2 D.11 2 答案 B 解析 ∵8-(x+2y)=2xy=x·(2y)≤(x+2y 2 )2. ∴原式可化为(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0. ∵x>0,y>0,∴x+2y≥4. 当 x=2,y=1 时取等号. 6.若 xy 是正数,则 x+ 1 2y 2+ y+ 1 2x 2 的最小值是( ) A.3 B.7 2 C.4 D.9 2 答案 C 解析 x+ 1 2y 2+ y+ 1 2x 2 =x2+y2+1 4 1 x2 +1 y2 +x y +y x = x2+ 1 4x2 + y2+ 1 4y2 + x y +y x ≥1+1+2=4. 当且仅当 x=y= 2 2 或 x=y=- 2 2 时取等号. 二、填空题 7.设 x>-1,则函数 y=x+5x+2 x+1 的最小值是________. 答案 9 解析 ∵x>-1,∴x+1>0, 设 x+1=t>0,则 x=t-1, 于是有 y=t+4t+1 t =t2+5t+4 t =t+4 t +5≥ 2 t·4 t +5=9, 当且仅当 t=4 t ,即 t=2 时取等号,此时 x=1. ∴当 x=1 时, 函数 y=x+5x+2 x+1 取得最小值为 9. 8.已知正数 a,b 满足 a+b-ab+3=0,则 ab 的最小值是________. 答案 9 解析 ∵a+b-ab+3=0, ∴ab=a+b+3≥2 ab+3. 令 ab=t,则 t2≥2t+3. 解得 t≥3(t≤-1 舍).即 ab≥3. ∴ab≥9.当且仅当 a=b=3 时,取等号. 9.建造一个容积为 8 m3,深为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方 米分别为 120 元和 80 元,那么水池的最低总造价为________元. 答案 1 760 解析 设水池的造价为 y 元,长方形底的一边长为 x m,由于底面积为 4 m2,所以另一 边长为4 x m.那么 y=120·4+2·80· 2x+2·4 x =480+320 x+4 x ≥480+320·2 x·4 x =1 760(元). 当 x=2,即底为边长为 2 m 的正方形时,水池的造价最低,为 1 760 元. 10.函数 y=loga(x+3)-1 (a>0,a≠1)的图象恒过点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,其中 mn>0,则1 m +2 n 的最小值为________. 答案 8 解析 ∵A(-2,-1)在直线 mx+ny+1=0 上, ∴-2m-n+1=0, 即 2m+n=1,mn>0,∴m>0,n>0. ∴1 m +2 n =2m+n m +4m+2n n =2+n m +4m n +2≥4+2· n m·4m n =8. 当且仅当n m =4m n ,即 m=1 4 ,n=1 2 时等号成立. 故1 m +2 n 的最小值为 8. 三、解答题 11.已知 x>0,y>0,且1 x +9 y =1,求 x+y 的最小值. 解 方法一 ∵1 x +9 y =1, ∴x+y=(x+y)· 1 x +9 y =10+y x +9x y . ∵x>0,y>0,∴y x +9x y ≥2 y x·9x y =6. 当且仅当y x =9x y ,即 y=3x 时,取等号. 又1 x +9 y =1,∴x=4,y=12. ∴当 x=4,y=12 时,x+y 取最小值 16. 方法二 由1 x +9 y =1,得 x= y y-9 , ∵x>0,y>0,∴y>9. x+y= y y-9 +y=y+y-9+9 y-9 =y+ 9 y-9 +1 =(y-9)+ 9 y-9 +10. ∵y>9,∴y-9>0, ∴y-9+ 9 y-9 +10≥2 y-9· 9 y-9 +10=16, 当且仅当 y-9= 9 y-9 ,即 y=12 时取等号. 又1 x +9 y =1,则 x=4, ∴当 x=4,y=12 时,x+y 取最小值 16. 12.某种生产设备购买时费用为 10 万元,每年的设备管理费共计 9 千元,这种生产设 备的维修费各年为:第一年 2 千元,第二年 4 千元,第三年 6 千元,而且以后以每年 2 千元 的增量逐年递增,问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用 最少)? 解 设使用 x 年的年平均费用为 y 万元. 由已知,得 y= 10+0.9x+0.2x2+0.2x 2 x , 即 y=1+10 x + x 10(x∈N*). 由基本不等式知 y≥1+2 10 x · x 10 =3,当且仅当10 x = x 10 ,即 x=10 时取等号.因此使 用 10 年报废最合算,年平均费用为 3 万元. 能力提升 13.若关于 x 的不等式(1+k2)x≤k4+4 的解集是 M,则对任意实常数 k,总有( ) A.2∈M,0∈M B.2∉M,0∉M C.2∈M,0∉M D.2∉M,0∈M 答案 A 解析 ∵(1+k2)x≤k4+4,∴x≤k4+4 1+k2. ∵k4+4 1+k2 =1+k22-21+k2+5 1+k2 =(1+k2)+ 5 1+k2 -2≥2 5-2. ∴x≤2 5-2,M={x|x≤2 5-2},∴2∈M,0∈M. 14.设正数 x,y 满足 x+ y≤a· x+y恒成立,则 a 的最小值是______. 答案 2 解析 ∵ x+ y 2 ≤ x+y 2 成立, ∴ x+ y≤ 2· x+y,∴a≥ 2. 1.利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件,并且和为定值, 积有最大值;积为定值,和有最小值. 2.使用基本不等式求最值时,若等号取不到,则考虑用函数单调性求解. 3.解决实际应用问题,关键在于弄清问题的各种数量关系,抽象出数学模型,利用基 本不等式解应用题,既要注意条件是否具备,还要注意有关量的实际含义.