- 151.64 KB
- 2021-07-01 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
§3.4 基本不等式: ab≤a+b
2 (二)
课时目标
1.熟练掌握基本不等式及变形的应用;
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
1.设 x,y 为正实数
(1)若 x+y=s(和 s 为定值),则当 x=y 时,积 xy 有最大值,且这个值为s2
4.
(2)若 xy=p(积 p 为定值),则当 x=y 时,和 x+y 有最小值,且这个值为 2 p.
2.利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时,需满足:
(1)x,y 必须是正数;
(2)求积 xy 的最大值时,应看和 x+y 是否为定值;求和 x+y 的最小值时,应看积 xy 是
否为定值.
(3)等号成立的条件是否满足.
利用基本不等式求最值时,一定要注意三个前提条件,这三个前提条件概括为“一正、
二定、三相等”.
一、选择题
1.函数 y=log2
x+ 1
x-1
+5
(x>1)的最小值为( )
A.-3 B.3 C.4 D.-4
答案 B
2.已知点 P(x,y)在经过 A(3,0),B(1,1)两点的直线上,则 2x+4y 的最小值为( )
A.2 2 B.4 2 C.16 D.不存在
答案 B
解析 ∵点 P(x,y)在直线 AB 上,∴x+2y=3.
∴2x+4y≥2 2x·4y=2 2x+2y=4 2(x=3
2
,y=3
4
时取等号).
3.已知 x≥5
2
,则 f(x)=x2-4x+5
2x-4
有( )
A.最大值5
2 B.最小值5
4 C.最大值 1 D.最小值 1
答案 D
解析 f(x)=x2-4x+5
2x-4
=x-22+1
2x-2
=1
2
x-2+ 1
x-2 ≥1.
当且仅当 x-2= 1
x-2
,即 x=3 时等号成立.
4.函数 y= x2+5
x2+4
的最小值为( )
A.2 B.5
2 C.1 D.不存在
答案 B
解析 y= x2+5
x2+4
= x2+4+ 1
x2+4
∵ x2+4≥2,而 1
x2+4
≤1
2
,所以不能用基本不等式求最小值,用函数的单调性求最值,
函数 y=x+1
x
在(1,+∞)上是增函数,∴在[2,+∞)上也是增函数.
∴当 x2+4=2 即 x=0 时,ymin=5
2.
5.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( )
A.3 B.4 C.9
2 D.11
2
答案 B
解析 ∵8-(x+2y)=2xy=x·(2y)≤(x+2y
2
)2.
∴原式可化为(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0.
∵x>0,y>0,∴x+2y≥4.
当 x=2,y=1 时取等号.
6.若 xy 是正数,则 x+ 1
2y 2+ y+ 1
2x 2 的最小值是( )
A.3 B.7
2 C.4 D.9
2
答案 C
解析 x+ 1
2y 2+ y+ 1
2x 2
=x2+y2+1
4
1
x2
+1
y2 +x
y
+y
x
= x2+ 1
4x2 + y2+ 1
4y2 +
x
y
+y
x ≥1+1+2=4.
当且仅当 x=y= 2
2
或 x=y=- 2
2
时取等号.
二、填空题
7.设 x>-1,则函数 y=x+5x+2
x+1
的最小值是________.
答案 9
解析 ∵x>-1,∴x+1>0,
设 x+1=t>0,则 x=t-1,
于是有 y=t+4t+1
t
=t2+5t+4
t
=t+4
t
+5≥
2 t·4
t
+5=9,
当且仅当 t=4
t
,即 t=2 时取等号,此时 x=1.
∴当 x=1 时,
函数 y=x+5x+2
x+1
取得最小值为 9.
8.已知正数 a,b 满足 a+b-ab+3=0,则 ab 的最小值是________.
答案 9
解析 ∵a+b-ab+3=0,
∴ab=a+b+3≥2 ab+3.
令 ab=t,则 t2≥2t+3.
解得 t≥3(t≤-1 舍).即 ab≥3.
∴ab≥9.当且仅当 a=b=3 时,取等号.
9.建造一个容积为 8 m3,深为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方
米分别为 120 元和 80 元,那么水池的最低总造价为________元.
答案 1 760
解析 设水池的造价为 y 元,长方形底的一边长为 x m,由于底面积为 4 m2,所以另一
边长为4
x m.那么
y=120·4+2·80· 2x+2·4
x =480+320 x+4
x
≥480+320·2 x·4
x
=1 760(元).
当 x=2,即底为边长为 2 m 的正方形时,水池的造价最低,为 1 760 元.
10.函数 y=loga(x+3)-1 (a>0,a≠1)的图象恒过点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0
上,其中 mn>0,则1
m
+2
n
的最小值为________.
答案 8
解析 ∵A(-2,-1)在直线 mx+ny+1=0 上,
∴-2m-n+1=0,
即 2m+n=1,mn>0,∴m>0,n>0.
∴1
m
+2
n
=2m+n
m
+4m+2n
n
=2+n
m
+4m
n
+2≥4+2· n
m·4m
n
=8.
当且仅当n
m
=4m
n
,即 m=1
4
,n=1
2
时等号成立.
故1
m
+2
n
的最小值为 8.
三、解答题
11.已知 x>0,y>0,且1
x
+9
y
=1,求 x+y 的最小值.
解 方法一 ∵1
x
+9
y
=1,
∴x+y=(x+y)·
1
x
+9
y =10+y
x
+9x
y .
∵x>0,y>0,∴y
x
+9x
y
≥2 y
x·9x
y
=6.
当且仅当y
x
=9x
y
,即 y=3x 时,取等号.
又1
x
+9
y
=1,∴x=4,y=12.
∴当 x=4,y=12 时,x+y 取最小值 16.
方法二 由1
x
+9
y
=1,得 x= y
y-9
,
∵x>0,y>0,∴y>9.
x+y= y
y-9
+y=y+y-9+9
y-9
=y+ 9
y-9
+1
=(y-9)+ 9
y-9
+10.
∵y>9,∴y-9>0,
∴y-9+ 9
y-9
+10≥2 y-9· 9
y-9
+10=16,
当且仅当 y-9= 9
y-9
,即 y=12 时取等号.
又1
x
+9
y
=1,则 x=4,
∴当 x=4,y=12 时,x+y 取最小值 16.
12.某种生产设备购买时费用为 10 万元,每年的设备管理费共计 9 千元,这种生产设
备的维修费各年为:第一年 2 千元,第二年 4 千元,第三年 6 千元,而且以后以每年 2 千元
的增量逐年递增,问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用
最少)?
解 设使用 x 年的年平均费用为 y 万元.
由已知,得 y=
10+0.9x+0.2x2+0.2x
2
x
,
即 y=1+10
x
+ x
10(x∈N*).
由基本不等式知 y≥1+2 10
x · x
10
=3,当且仅当10
x
= x
10
,即 x=10 时取等号.因此使
用 10 年报废最合算,年平均费用为 3 万元.
能力提升
13.若关于 x 的不等式(1+k2)x≤k4+4 的解集是 M,则对任意实常数 k,总有( )
A.2∈M,0∈M B.2∉M,0∉M C.2∈M,0∉M D.2∉M,0∈M
答案 A
解析 ∵(1+k2)x≤k4+4,∴x≤k4+4
1+k2.
∵k4+4
1+k2
=1+k22-21+k2+5
1+k2
=(1+k2)+ 5
1+k2
-2≥2 5-2.
∴x≤2 5-2,M={x|x≤2 5-2},∴2∈M,0∈M.
14.设正数 x,y 满足 x+ y≤a· x+y恒成立,则 a 的最小值是______.
答案 2
解析 ∵ x+ y
2
≤ x+y
2
成立,
∴ x+ y≤ 2· x+y,∴a≥ 2.
1.利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件,并且和为定值,
积有最大值;积为定值,和有最小值.
2.使用基本不等式求最值时,若等号取不到,则考虑用函数单调性求解.
3.解决实际应用问题,关键在于弄清问题的各种数量关系,抽象出数学模型,利用基
本不等式解应用题,既要注意条件是否具备,还要注意有关量的实际含义.
相关文档
- 2020_2021学年新教材高中数学第一2021-07-0119页
- 2012高中数学 3章整合课时同步练习2021-07-0110页
- 2020年高中数学第二章随机变量及其2021-07-014页
- 人教A版高中数学2-2-2对数函数及其2021-07-014页
- 高中数学必修1教案:第五章(第5课时)实2021-07-017页
- 高中数学必修2教案:第四章 4_2_1直2021-07-0110页
- 2020_2021学年新教材高中数学第四2021-07-0142页
- 高中数学人教A版必修一教学训练(学2021-07-011页
- 高中数学必修4:2_3_2平面向量正交分2021-07-018页
- 2020版高中数学 第1章 解三角形 第2021-07-019页