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- 2021-07-01 发布
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第3课时 三角形中的几何计算
1.掌握三角形的面积公式的应用.(重点)
2.掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用.(难点)
[基础·初探]
教材整理 三角形面积公式
阅读教材P10探索与研究~P11,完成下列问题.
1.三角形的面积公式
(1)S=a·ha=b·hb=c·hc(ha,hb,hc分别表示a,b,c边上的高);
(2)S=absin C=bcsin_A=casin_B;
(3)S=(a+b+c)·r(r为内切圆半径).
2.三角形中常用的结论
(1)∠A+∠B=π-∠C,=-;
(2)在三角形中大边对大角,反之亦然;
(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;
(4)三角形的诱导公式
sin(A+B)=sin_C,cos(A+B)=-cos_C,
tan(A+B)=-tan_C,
sin =cos ,
cos =sin .
1.下列说法中正确的是________(填序号).
9
(1)已知三角形的三边长为a,b,c,内切圆的半径为r,则三角形的面积S=(a+b+c)r;
(2)在△ABC中,若c=b=2,S△ABC=,则∠A=60°;
(3)在△ABC中,若a=6,b=4,∠C=30°,则S△ABC的面积是6;
(4)在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则∠A=∠B.
【解析】 (1)错误.因为一个三角形可以分割成三个分别以a,b,c为底,以内切圆的半径为高的三角形,所以三角形的面积为S=ar+br+cr=(a+b+c)r.
(2)错误.由三角形面积公式S=bcsin A得,
×2×2×sin A=,所以sin A=,则∠A=60°或∠A=120°.
(3)正确.因为三角形的面积S=absin C=×6×4×sin 30°=6.
(4)错误.因为在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则2∠A=2∠B或2∠A=π-2∠B,即∠A=∠B或∠A=-∠B.
【答案】 (3)
2.在△ABC中,a=6,∠B=30°,∠C=120°,则△ABC的面积为________
【解析】 由题知∠A=180°-120°-30°=30°.∴=,∴b=6,∴S=×6×6×sin 120°=9.
【答案】 9
3.在△ABC中,ab=60,S△ABC=15,△ABC的外接圆半径为,则边c的长为________.
【解析】 S△ABC=absin C=15,∴sin C=.
由正弦定理=2R,∴c=2R×sin C=3.
【答案】 3
4.若△ABC的面积为,BC=2,∠C=60°,则边AB的长度等于________.
【解析】 在△ABC中,由面积公式得S=BC·AC·sin C=×2·AC·sin 60°=AC=,
∴AC=2.
∵BC=2,C=60°,
∴△ABC为等边三角形.
9
∴AB=2.
【答案】 2
[小组合作型]
三角形面积的计算
(1)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,∠B=,∠C=,则△ABC的面积为( )
A.2+2 B.+1
C.2-2 D.-1
(2)在△ABC中,S△ABC=(a2+b2-c2),则∠C=________________.
(3)在△ABC中,∠A=60°,AB=2,且△ABC的面积S△ABC=,则边BC的长为________.
【导学号:18082012】
【精彩点拨】 (1)利用正弦定理求边c,然后利用三角形面积公式求解.
(2)由三角形面积S=absin C与余弦定理cos C=相结合求解.
(3)由已知可先利用三角形面积公式S=bcsin A求出AC,然后利用余弦定理求BC.
【自主解答】 (1)由正弦定理=及已知条件得c=2,又sin A=sin(B+C)=×+×=.
从而S△ABC=bcsin A=×2×2×=+1.
(2)由S△ABC=(a2+b2-c2)得
absin C=(a2+b2-c2),即sin C=.
∴sin C=cos C,即tan C=1,∴∠C=.
(3)由S△ABC=,得AB·AC·sin A=,
即×2AC×=,
9
∴AC=1.由余弦定理得
BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A
=22+12-2×2×1×=3.∴BC=.
【答案】 (1)B (2) (3)
1.由于三角形的面积公式有三种形式,实际使用时要结合题目的条件灵活运用.
2.如果已知两边及其夹角可以直接求面积,否则先用正、余弦定理求出需要的边或角,再套用公式计算.
[再练一题]
1.已知在△ABC中,cos A=-,cos B=,BC=5,求△ABC的面积.
【解】 由cos A=-,得sin A==.
由cos B=,得sin B==.
所以sin C=sin(A+B)
=sin Acos B+cos Asin B
=×+×=-=.
由正弦定理得AC===.
所以△ABC的面积为S=·BC·AC·sin C=×5××=.
三角形的证明问题
在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c.
证明:=.
【精彩点拨】 由左往右证,可由边化角展开;由右往左证,可由角化边展开.
【自主解答】 法一:由余弦定理
a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,
∴a2-b2=b2-a2-2bccos A+2accos B,
整理得:=.
9
依正弦定理有=,=,
∴==.
法二:=
===.
1.三角恒等式证明的三个基本原则
(1)统一边角关系.
(2)由繁推简.
(3)目标明确,等价转化.
2.三角恒等式证明的基本途径
(1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系,然后进行化简、变形.
(2)把边的关系转化为角的关系,一般是通过正弦定理,然后利用三角函数公式进行恒等变形.
[再练一题]
2.在△ABC中,求证:=.
【证明】 由正弦定理得右边=
=
=
===左边.
∴原等式成立.
[探究共研型]
三角形中的综合问题
探究1 如图1228所示,图中共有几个三角形?线段AD分别是哪些三角形的边,∠B是哪些三角形的内角?
9
图1228
【提示】 在图形中共有三个三角形,分别为△ABC,△ABD,△ADC;线段AD是△ADC与△ABD的公共边,∠B既是△ABC的内角,又是△ABD的内角.
探究2 在探究1中,若sin B=sin ∠ADB,则△ABD是什么形状的三角形?在此条件下若已知AB=m,DC=n,如何求出AC?
【提示】 若sin B=sin ∠ADB,则△ABD为等腰三角形,在此条件下,可在△ABD中先求出AD,然后利用余弦定理在△ADC中求出AC,也可以在△ABD中先求出BD,然后在△ABC中,利用余弦定理求出AC.
探究3 在探究1的图形中若已知∠B与∠C的大小如何表示(或求)∠A,如何用∠B与∠C的正、余弦值表示∠A的正弦值?
【提示】 ∠A=π-(∠B+∠C),sin A=sin[π-(B+C)]
=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知∠A=,bsin-csin=a.
(1)求证:∠B-∠C=;
(2)若a=,求△ABC的面积.
【导学号:18082013】
【精彩点拨】 (1)先由正弦定理化边为角,再化简已知三角形即证.
(2)结合第(1)问可直接求出∠B,∠C,再利用面积公式求值;也可以作辅助线导出b,c的大小关系,再由余弦定理求值,最后用面积公式求解.
【自主解答】 (1)由bsin-csin=a,应用正弦定理,
得sin Bsin-sin C·sin=sin A,
所以sin B-sin Csin B+cos B=,
整理得sin Bcos C-cos Bsin C=1,即sin(B-C)=1,
因为0<∠B<π,0<∠C<π,从而∠B-∠C=.
(2)因∠B+∠C=π-∠A=,所以∠B=π,∠C=.
9
由a=,∠A=得b==2sin ,c==2sin ,所以△ABC的面积S=bcsin A=sin ·sin =cos sin =.
1.解三角形综合问题,除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外,一般还要用到三角函数,三角恒等变换,平面向量等知识,因此掌握正、余弦定理,三角函数的公式及性质是解题关键.
2.三角形问题中,涉及变量取值范围或最值问题要注意函数思想的应用.
[再练一题]
3.如图1229,在四边形ABCD中,AC=CD=AB=1,·=1,sin∠BCD=.
图1229
(1)求BC边的长;
(2)求四边形ABCD的面积.
【解】 (1)∵AC=CD=AB=1,
∴·=||·||·cos∠BAC=2cos∠BAC=1,∴cos∠BAC=,∴∠BAC=60°.
在△ABC中,由余弦定理,有BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=22+12-2×2×1×=3,∴BC=.
(2)由(1)知,在△ABC中,有AB2=BC2+AC2,
∴△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°,
∴S△ABC=BC·AC=××1=.
又∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD,
sin∠BCD=,∴cos∠ACD=,
从而sin∠ACD==,
9
∴S△ACD=AC·CD·sin∠ACD=×1×1×=.
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=+=.
1.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,a=5,b=4,cos C=,则△ABC的面积是( )
A.8 B.6 C.4 D.2
【解析】 ∵cos C=,∠C∈(0,π),∴sin C=,
∴S△ABC=absin C=×5×4×=6.故选B.
【答案】 B
2.已知△ABC的面积为,且b=2,c=,则( )
A.∠A=30° B.∠A=60°
C.∠A=30°或150° D.∠A=60°或120°
【解析】 ∵S=bcsin A=,
∴×2×sin A=,∴sin A=,
∴∠A=60°或120°.故选D.
【答案】 D
3.在△ABC中,已知AB=3,∠A=120°,且△ABC的面积为,则BC边的长为________.
【解析】 ∵S△ABC=×3×b×sin 120°=,∴b=5,∴由余弦定理得a2=32+52-2×3×5×cos 120°=49,∴a=7,即BC=7.
【答案】 7
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知∠B+∠C=,a=,b=1,则S△ABC等于________.
【解析】 因为∠B+∠C=π,所以∠A=π-π=,
9
由=,得=,则sin B=,
因为a>b,所以∠A>∠B,则∠B=,
所以∠C=,
∴S△ABC=absin C=××1×1=.
【答案】
5.在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别为a,b,c,已知c=2,∠C=.
(1)若△ABC的面积等于,求a,b;
(2)若sin B=2sin A,求△ABC的面积.
【解】 (1)由余弦定理,得a2+b2-ab=4.
因为△ABC的面积等于,
所以absin C=,得ab=4.
联立方程
解得
(2)由正弦定理,已知条件可化为b=2a.
联立方程
解得
所以△ABC的面积S=absin C=.
9
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