河南省郑州市2020届高三高中毕业年级第三次质量预测数学（文）试题评分标准 6页

‎2020年郑州市高三三测数学文科试题 评分参考 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C C A A D B B B A D B 二、填空题 ‎13. 8 ； 14.11； 15.； 16.‎ 三、解答题 ‎17．（1）由，得，所以.……………2分 ‎.……………………………………5分 由（1），得，………8分 Sn‎=‎1‎‎3‎‎1-‎1‎‎4‎+‎1‎‎4‎-‎1‎‎7‎+⋯+‎1‎‎3n-2‎-‎‎1‎‎3n+1‎=‎1‎‎3‎‎1-‎‎1‎‎3n+1‎=‎n‎3n+1‎‎.12分 ‎18．（1）因为 ，……………2分 所以有97.5％的把握认为参与马拉松赛事与性别有关.……………3分 ‎（2）（i）根据分层抽样方法得，男生人，女生2人，‎ 所以选取的‎8‎人中，男生有‎6‎人，女生有‎2‎人.……………5分 ‎（ii）设抽取的‎6‎名男生分别为，2名女生为；‎ 从中抽取两人，分别记为‎(A,B)‎，,,‎(B,C)‎,‎ ‎,,,,,,共‎2‎8种情形，……………8分 其中‎2‎男的共‎1‎5种情形，……………10分 所以，所求概率.……………12分 ‎19．（1）证明：由题意，‎ 所以‎∠BAP=‎‎90‎‎°‎，则PA⊥AB，……………2分 又侧面PAB⊥‎底面ABCD，面PAB∩‎面ABCD=AB，PA⊂‎面PAB，‎ 则PA⊥‎面ABCD.……………4分 BD⊂‎面ABCD，则PA⊥BD,又因为‎∠BCD=‎‎120‎‎∘‎，ABCD为平行四边形，‎ 则‎∠ABC=‎‎60‎‎∘‎，又AB=AC，‎ 则ΔABC为等边三角形，则ABCD为菱形，则BD⊥AC.‎ 又PA∩AC=A，则BD⊥‎面PAC.……………6分 ‎（2）由，则M`为PB中点，‎ 由AB=AC=2‎，‎∠BCD=‎‎120‎‎°‎，得BD=2‎‎3‎.……………8分 由I知，……………10分 ‎……………12分 ‎20.⑴由题易知C‎1‎的半径r‎1‎‎=‎‎3‎，C‎2‎圆的半径r‎2‎‎=2‎.……………2分 又‎∵‎椭圆与C‎1‎‎、‎C‎2‎同时相切，则……………4分 则C：x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎.……………5分 ⑵①当l斜率为0时，l与椭圆C相切，不符合题意.……………6分 ②l斜率不为0时，设l：x=my+n，‎ 原点到l的距离d=nm‎2‎‎+1‎=r‎1‎=‎‎3‎.‎ 则n‎2‎‎=3m‎2‎+3 ‎i 由……………7分 可得：‎3m‎2‎+4‎y‎2‎‎+6mny+3n‎2‎-12=0‎，‎ 设Ax‎1‎‎,‎y‎1‎ Bx‎2‎‎,‎y‎2‎，由求根公式得:‎ y‎1‎‎+y‎2‎=-‎‎6mn‎3m‎2‎+4‎‎，y‎1‎y‎2‎‎=‎‎3n‎2‎-12‎‎3m‎2‎+4‎，‎ AB‎=m‎2‎‎+1‎y‎1‎‎+‎y‎2‎‎2‎‎-4‎y‎1‎y‎2‎=‎m‎2‎‎+1‎‎48‎‎3m‎2‎-n‎2‎+4‎‎3m‎2‎+4‎‎2‎‎，‎ 将i代入得AB‎=m‎2‎‎+1‎‎4‎‎3‎‎3m‎2‎+4‎=‎‎4‎‎3‎‎3m‎2‎‎+1‎+‎‎1‎m‎2‎‎+1‎，……………9分 令t=‎m‎2‎‎+1‎则t≥1‎，‎ gt‎=3t+‎1‎t在‎1，‎‎+∞‎上单调递增，……………11分 则t=1‎，即m=0‎时，ABmax‎=‎‎3‎.……………12分 ‎21.（1）依题意知fx的定义域为‎0,+∞‎，……………1分 当时，‎ ‎∴……………2分 令，解得 则当01时，f‎'‎x>0, fx单调递增，……………3分 当‎1‎‎4‎0‎‎，所以lnxx‎=m-1‎，．……………7分 令gx=1+lnxx(x>0)‎，则g‎′‎x‎=‎‎1−lnxx‎2‎，‎ 由g‎'‎x‎≥0‎，得‎1≤x≤e；由g‎'‎x‎≤0‎，得，……………8分 ‎∴ gx在区间‎[1,e]‎上是增函数，在区间上是减函数.‎ ‎∴当x=e时函数gx有最大值，且最大值为ge=1+‎‎1‎e，……………9分 又……………10分 ‎∴ 当时，方程在区间上有两个实数解.……………11分 ‎∴实数m的取值范围为．……………12分 ‎22.（Ⅰ）曲线的普通方程为：,‎ 曲线的普通方程为：;………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）将 （t为参数）‎ 代入：化简整理得：‎(sin‎2‎θ+3)t‎2‎+6tcosθ-9=0‎,‎ 设A、B两点对应的参数分别为t‎1‎‎、‎t‎2‎，则Δ=36cos‎2‎θ+36(sin‎2‎θ+3)=144>0‎恒成立，‎ t‎1‎‎+t‎2‎=‎-6cosθsin‎2‎θ+3‎,t‎1‎t‎2‎=‎‎-9‎sin‎2‎θ+3‎‎，‎ ‎∴PA+PB=t‎1‎+t‎2‎=t‎1‎‎-‎t‎2‎=‎(t‎1‎+t‎2‎)‎‎2‎‎-4‎t‎1‎t‎2‎=‎‎12‎sin‎2‎θ+3‎‎ ,‎ ‎∵sin‎2‎θ∈[0,1]‎‎ ‎∴PA+PB∈[3,4]‎.……………………………………………10分 ‎23.（1）当时，，‎ 原不等式等价于 或 或， ‎ 解得：或无解或， ‎ 所以，的解集为．………………………………………5分 ‎（2）．‎ 则 ‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增．‎ 所以当x=‎‎1‎‎2‎时，f(x)‎取得最小值，． ‎ 因为对任意恒成立，‎ 所以.‎ 又因为，所以，‎ 解得 （不合题意）．‎ 所以的最小值为1．……………………………………………10分