2021届高考数学一轮复习第七章解析几何第6讲双曲线课件 37页

第 6 讲 双曲线 课标要求 考情风向标 1. 了解圆锥曲线的实际背景，感 受圆锥曲线在刻画现实世界和 解决实际问题中的作用 . 2. 了解双曲线的定义、几何图形 和标准方程，知道双曲线的有 关性质 . 3. 通过圆锥曲线的学习，进一步 体会数形结合的思想 本节复习时，应紧扣双曲线的 定义，熟练掌握双曲线的标准 方程、几何图形以及简单的几 何性质 . 通过分析近几年的高考试题可 以看出，高考对双曲线的要求 比椭圆要低 . 以选择题、填空题 为主 1. 双曲线的概念 平面内与两个定点 F 1 ， F 2 (| F 1 F 2 | ＝ 2 c ＞ 0) 的距离之差的绝对 值为常数 ( 小于 | F 1 F 2 | 且不等于零 ) 的点的轨迹叫做双曲线 . 这两 个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距 . 集合 P ＝ { M ||| MF 1 | － | MF 2 || ＝ 2 a } ， | F 1 F 2 | ＝ 2 c ，其中 a ， c 为 常数且 a >0 ， c >0. a < c (1) 当 ________ 时，点 M 的轨迹是双曲线； (2) 当 a ＝ c 时，点 M 的轨迹是两条射线； (3) 当 a > c 时，点 M 不存在 . 标准方程 图形 性质 范围 x ≥______ 或 x ≤_____ ， y ∈ R x ∈ R ， y ≤ － a 或 y ≥ a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1 ( － a, 0) ， A 2 ( a, 0) A 1 (0 ，－ a ) ， A 2 (0 ， a ) 2. 双曲线的标准方程和几何性质 a － a ( 续表 ) a 2 ＋ b 2 3. 等轴双曲线 实轴和虚轴长相等的双曲线为等轴双曲线，其渐近线方程 B 2.(2019 年浙江 ) 渐近线方程为 x ± y ＝ 0 的双曲线的离心率是 ( ) C D D 考点 1 双曲线的定义及应用 是双曲线右支上的动点，则 | PF | ＋ | PA | 的最小值为 ________. 解析： 设双曲线的右焦点为 F 1 ，则由双曲线的定义，可知 | PF | ＝ 4 ＋ | PF 1 | ， ∴ 当 | PF 1 | ＋ | PA | 最小时满足 | PF | ＋ | PA | 最小 . 由双曲线的图象，可知当点 A ， P ， F 1 共线时，满足 | PF 1 | ＋ | PA | 最小， | AF 1 | 即 | PF 1 | ＋ | PA | 的最小值 . 又 | AF 1 | ＝ 5 ，故所求的最小值为 9. 答案： 9 (2)(2019 年湖南长沙模拟 ) △ ABC 的顶点 A ( － 5,0) ， B (5,0) ， △ ABC 的内切圆圆心在直线 x ＝ 3 上，则顶点 C 的轨迹方程是 ________. 解析： 如图 D53 ，令内切圆与三边的切点分别为 D ， E ， F ， 可知 | AD | ＝ | AE | ＝ 8 ， | BF | ＝ | BE | ＝ 2 ， | CD | ＝ | CF | ， ∴ | CA | － | CB | ＝ | AE | － | BE | ＝ 8 － 2 ＝ 6<| AB | ＝ 10. 根据双曲线定义，所求轨迹是 以 A ， B 为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支 ( 除去顶点 ) ，其方 图 D53 (3) 已知定点 A (0,7) ， B (0 ，－ 7) ， C (12,2) ，以 C 为一个焦点 作过 A ， B 的椭圆，则另一焦点 F 的轨迹方程为 ________. 解析： ( 利用定义求方程 ) 设 F ( x ， y ) 为轨迹上的任意一点， ∵ A ， B 两点在以 C ， F 为焦点的椭圆上， ∴| FA | ＋ | CA | ＝ 2 a ， | FB | ＋ | CB | ＝ 2 a ( 其中 a 表示椭圆的长半 轴长 ). ∴| FA | ＋ | CA | ＝ | FB | ＋ | CB |. 由双曲线的定义知， F 点在以 A ， B 为焦点， 2 为实轴长的 双曲线的下支上， 考点 2 求双曲线的标准方程 答案： D 答案： C 答案： D 考点 3 双曲线的几何性质 图 D54 答案： B 的右顶点为 A ，以 A 为圆心， b 为半径作圆 A ，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M ， N 两点 . 若 ∠ MAN ＝ 60° ，则 C 的离心率 为 ________. 解析： 如图 D55 ，作 AP ⊥ MN ， ∵ 圆 A 与双曲线 C 的一条 渐近线交于 M ， N 两点， 图 D55 答案： 2 难点突破 ⊙ 双曲线中的不等关系 答案： B 答案： A 【 跟踪训练 】 1. 双曲线定义的集合语言： P ＝ { M ||| MF 1 | － | MF 2 || ＝ 2 a, 0 ＜ 2 a ＜ | F 1 F 2 |} 是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对 所求结果进行必要的检验 . 涉及双曲线的定义时，要把握定义中 的关键词：绝对值保证双曲线有两支；当 2 a <2 c 时， M 的轨迹 为双曲线；当 2 a ＝ 2 c 时， M 的轨迹为以 F 1 ， F 2 为端点的两条 射线；当 2 a >2 c 时， M 的轨迹不存在 . 2. 讨论双曲线的几何性质时，离心率问题是重点 . 求离心率 求得； ② 列出关于 a ， b ， c 的齐次式 ( 或不等式 ) ，利用 b 2 ＝ c 2 － a 2 消去 b ，转化成 e 的方程 ( 或不等式 ) 求解 . 3. 双曲线中 c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 ，说明双曲线中 c 最大，解决双曲线 问题时不要忽略了这个结论，不要与椭 圆中的知识相混淆 . 4. 求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心 率的取值范围是 (1 ，＋ ∞ ) 这个前提条件，否则很容易产生增解 或扩大所求离心率的取值范围致错 . 6. 判断直线与双曲线的位置关系利用根的判别式，同时要 考虑二项式的系数，直线与双曲线交于一点时，不一定相切， 例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于 一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双 曲线仅有一个交点 .