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- 2021-07-01 发布
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辽宁省沈阳市实验中学东戴河分校2019-2020学年
高一实验班上学期10月月考数学试题
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一.选择题(每小题5分)
1.已知集合,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】集合,则.
故选A.
2.已知集合,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解不等式得,
所以,
所以可以求得,故选B.
3.用反证法证明命题“已知,如果可被5整除,那么中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为( )
A. 都能被5整除 B. 都不能被5整除
C. 不都能被5整除 D. 不能被5整除
【答案】B
【解析】由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明命题时,可以设其否定成立进行推证,“中至少有一个能被5整除”的否定是“都不能被5整除”.故选B.
4.已知集合,,且,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由于,所以.故选:A.
5.集合的真子集的个数为( )
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
【答案】C
【解析】由于,,又因为,
则y可取0,1,2,∴,
故集合A的真子集个数为,
故选C.
6.设,则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】化简不等式,可知 推不出;
由能推出,
故“”是“”必要不充分条件,
故选B.
7.已知集合,集合,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知,
所以,故选B.
8.若,则下列不等式:①;②;③;④中,正确的不等式是( )
A. ①④ B. ②③ C. ①② D. ③④
【答案】A
【解析】由于,所以,由此可知:
①,所以①正确.
②,所以②错误.③错误.
④由于,所以,有基本不等式得,所以④正确.
综上所述,正确不等式的序号是①④.
故选:A
9.手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中一个重要参数,其值通常在(0,1)间,设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量,升级为一款新手机的外观,则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化?( )
A. “屏占比”不变 B. “屏占比”变小
C. “屏占比”变大 D. 变化不确定
【答案】C
【解析】设升级前“屏占比”为升级后“屏占比”为,
因为,所以手机“屏占比”和升级前比“屏占比”变大,选C.
10.下列选项正确的个数为( )
①已知数轴上且,则
②已知.
③命题“” 的否定形式为“” .
④已知多项式有一个因式为,则.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】对于①,可能为,所以①错误.
对于②,由,解得或,所以②正确.
对于③,全称命题在否定时,条件不用否定,正确否定形式为“” .所以③错误.
对于④,依题意可知是方程的根,故,解得.故④正确.
所以正确命题的个数为个.
故选:B
11.已知集合的元素个数为个且元素为正整数,将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合,即,,,,其中,,,若集合中的元素满足
,,则称集合为“完美集合”例如: “完美集合”此时.若集合,为“完美集合”,则不可能为( )
A. 7 B. 11 C. 13 D. 9
【答案】C
【解析】由于,且互不相等,而当时,最多只能等于,与矛盾.故不可能为.所以选C.
当时,;
当时,;
当时,.
故选:C
12.若命题“”是假命题,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】 “”假命题,
则成立,
即不等式解集非空,
即解集非空,
则或,解得,
故选A.
【点睛】本题考查全称命题的否定及一元二次不等式的应用,注意联系对应的二次函数的图象特征,体现了等价转化和分类讨论的数学思想,属于中档题.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二.填空题(每小题5分)
13.学校运动会上,某班有10人参加了篮球比赛,有12人参加排球比赛,两项都参加的有4人,则该班参加比赛的学生人数是_____人.
【答案】18
【解析】设参加篮球或排球比赛的人数构成的集合分别为A,B,
则card(A∩B)=4.card(A)=10,card(B)=12,
由公式card(A∪B)=card(A)+card(B)﹣card(A∩B)
知card(A∪B)=10+12﹣4=18
则该班的学生数是18人.
故答案为18.
故答案为18.
14.求的最大值___________.
【答案】
【解析】依题意,故当时,函数取得最大值为.
故答案为:
15.对于,不等式的解集为________.
【答案】.
【解析】由题知或,解得或,故答案为.
16.已知均为实数,且,求正数c的最小值__________ .
【答案】4
【解析】由于,所以,而为正数,所以为负数,而,所以都是负数.由得,所以.所以正数的最小值为.
故答案为:
三.解答题(共70分)
17.求关于x的方程至少有一个负根的充要条件.
解:①时,显然方程没有等于零的根.若方程有两异号实根,则;
若方程有两个负的实根,则必有.
②若时,可得也适合题意.
综上知,若方程至少有一个负实根,则.反之,若,则方程至少有一个负实根,
因此,关于的方程至少有一负的实根的充要条件是.
18.设集合.
(1)若,求实数的值;
(2)若,求实数的取值范围.
解:(1)集合,
若,则是方程的实数根,
可得:,解得或;
(2)∵,∴,
当时,方程无实数根,
即
解得:或;
当时,方程有实数根,
若只有一个实数根,,
解得:.
若只有两个实数根,x=1、x=2,,无解.
综上可得实数的取值范围是{a|a≤-3或a>}
19.(1)设,证明:;
(2)已知实数满足,,求的取值范围.
解:(1)因为
而
(2)因为,,而,所以,
即.
20.已知一元二次方程的两个根为和,求下列各式的值.
(1);
(2) ;
(3).
解:判别式,且.所以
(1).
(2).
(3).
21.若不等式的解集是.
(1)求不等式的解集;
(2)已知二次不等式的解集为,求关于的不等式的解集.
解:(1)由题意知,关于的二次方程的两根为和,且,
由韦达定理得,解得,
不等式即为,即,解得.
因此,不等式的解集为;
(2),由题意可知,关于的二次方程的两根为和,
由韦达定理得,解得,
所以,不等式即为,即,
解得,因此,关于的不等式的解集为.
22.已知条件:;:.若是一个充分不必要条件是,
求实数的取值范围.
解:命题中不等式等价为或,即或,
得,即:.
由得,即,
得,
对应方程的根为,或.
①若,即时,不等式的解为,
②若,即时,不等式等价为,此时无解,
③若,即时,不等式的解为,
若的一个充分不必要条件是,
∴的一个充分不必要条件是,
设对应的集合为,对应的集合为,
则满足
② 当时,满足,即,得,
②当时,,满足,
③当时,满足,得,得,
综上,即实数的取值范围是