【数学】山东省枣庄市第八中学2019-2020学年高一下学期复学检测试题（解析版） 15页

山东省枣庄市第八中学2019-2020学年 高一下学期复学检测试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 复数z的实部为3 B. 复数z的共轭复数为：‎ C. 复数z部虚部为： D. 复数z的模为5‎ ‎【答案】B ‎【解析】，则实部为，虚部为，共轭复数为：，模为．选B.‎ ‎2.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近表示满意度越高.现随机抽取位北京市民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的分位数是（ ）‎ A. 7 B. C. 8 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，这10个人的幸福指数已经从小到大排列，‎ 因为，‎ 所以这10个人的分位数是从小到大排列后第8个人的幸福指数，即8.‎ 故选：C ‎3.已知向量，，向量与的夹角为，则的值为（ ）‎ A. 7 B. C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】因，所以，‎ 又因为，且向量与的夹角为，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：A ‎4.如右图在一个二面角的棱上有两个点，，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，则这个二面角的度数为( )‎ A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°‎ ‎【答案】B ‎【解析】过点作且，连接，则，即为二面角的平面角，由题意，得，由余弦定理，得，则，即这个二面角的度数为；故选B.‎ ‎5.三棱锥的四个顶点都在球的表面积上，平面，，‎ ‎，，则球的表面积为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由于平面，，故可将三棱锥补全成一个长方体，这个长方体长宽高分别为，其对角线长为，故圆的半径为，表面积为.‎ ‎6.若四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】四边形是边长为2的菱形，，‎ 可得，‎ 则 ‎，故选A.‎ ‎7.在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，点E、F分别是棱B1B、B‎1C中点，点G是棱CC1的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为（　　　　）‎ A. 矩形 B. 三角形 C. 正方形 D. 等腰梯形 ‎【答案】D ‎【解析】取的中点，如图连接、、、，‎ 由题意得：，，‎ 不在平面内，平面内，∴平面.‎ 不在平面内，平面内，∴平面.‎ ‎，平面，‎ 平面平面，‎ 过线段且平行于平面的截面图形为等腰梯形．‎ 故选：D．‎ ‎8.在中，，，其面积，则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为在中，，，其面积为，‎ 所以，因此，‎ 所以，所以，‎ 由正弦定理可得：，‎ 所以.‎ 故选A 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9.（多选题）某人向正东走了后向右转了150°，然后沿新方向走‎3km，结果离出发点恰好，那么x的值是（ ）‎ A. B. C. 3 D. 6‎ ‎【答案】AB ‎【解析】如图，，，，．‎ 由余弦定理得．‎ 解得或，故选：AB．‎ ‎10.抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,‎6”‎为事件A,“向上的点数是1,‎2”‎为事件B,“向上的点数是1,2,‎3”‎为事件C,“向上的点数是1,2,3,‎4”‎为事件D,则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有（ ）‎ A. A与B是互斥事件但不是对立事件 B. A与C是互斥事件也是对立事件 C. A与D是互斥事件 D. C与D不是对立事件也不是互斥事件 ‎【答案】ABD ‎【解析】抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,‎6”‎为事件A,“向上的点数是1,‎2”‎为事件B,‎ ‎“向上的点数是1,2,‎3”‎为事件C,“向上的点数是1,2,3,‎4”‎为事件D,‎ 在A中,A与B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故A正确；‎ 在B中, A与C是互斥事件也是对立事件,故B正确；‎ 在C中,A与D能同时发生,不是互斥事件,故C错误；‎ 在D中,C与D能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故D正确.‎ 故选：ABD.‎ ‎11.如图,在棱长均相等的四棱锥中, 为底面正方形的中心, ,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有：( )‎ A. ∥平面 B. 平面∥平面 C. 直线与直线所成角的大小为 D. ‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】选项A,连接BD，显然O为BD的中点，又N为PB的中点，所以∥ON,由线面平行的判定定理可得，∥平面；选项B, 由,分别为侧棱,的中点,得MN∥AB,又底面为正方形，所以MN∥CD，由线面平行的判定定理可得，CD∥平面OMN,又选项A得∥平面，由面面平行的判定定理可得，平面∥平面；选项C,因为MN∥CD，所以∠ PDC为直线与直线所成的角，又因为所有棱长都相等，所以∠ PDC=，故直线与直线所成角的大小为；选项D，因底面为正方形，所以,又所有棱长都相等，所以,故,又∥ON，所以，故ABD均正确.‎ ‎12.在给出的下列命题中，正确的是（ ）‎ A. 设是同一平面上的四个点，若，则点必共线 B. 若向量是平面上的两个向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的 C. 已知平面向量满足则为等腰三角形 D. 已知平面向量满足，且，则是等边三角形 ‎【答案】ACD ‎【解析】对于A，，‎ ‎∴，∴，且有公共点C，‎ ‎∴则点A、B、C共线，命题A正确；‎ 对于B，根据平面向量的基本定理缺少条件不共线，故B错误；‎ 对于C，由于，即，，‎ 得，即OA为BC的垂线，‎ 又由于，可得OA在的角平分线上，‎ 综合得为等腰三角形，故C正确；‎ 对于D，平面向量、、满足，且，‎ ‎∴，∴，‎ 即，∴，‎ ‎∴、的夹角为，同理、的夹角也为，‎ ‎∴是等边三角形，故D正确；‎ 故选ACD.‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.在复平面内，复数对应的点为(-2，2)，复数对应的点为(1，-1)，复数，则对应的点在第_______象限.‎ ‎【答案】四 ‎【解析】由题意，复数对应的点为(-2，2)，复数对应的点为(1，-1)，‎ 可得，所以复数，‎ 所以复数对应的点的坐标为位于第四象限.‎ 故答案为：四.‎ ‎14.一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为‎6cm的正方形，则它的体积为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为‎6cm的正方形，‎ ‎∴这个正三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，‎ 这个正三棱柱的高为6，‎ ‎∴它的体积为.‎ 故答案为：.‎ ‎15.在中，，，的角平分线，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由正弦定理可得，‎ 所以．‎ 在中，所以，‎ 所以在中．又因为，所以．所以，所以＝，‎ 所以．‎ ‎16.在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.下图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从‎2月7日到‎2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：‎ 根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处.‎ ‎①_________________________________________________.‎ ‎②_________________________________________________.‎ ‎【答案】 (1). 甲省比乙省的新增人数的平均数低 (2). 甲省比乙省的方差要大 ‎【解析】根据折线图知：‎ ‎①甲省比乙省的新增人数的平均数低；②甲省比乙省的方差要大.‎ 故答案为：甲省比乙省的新增人数的平均数低；甲省比乙省的方差要大.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知复数满足，且复数为实数 ‎（1）求复数 ‎（2）求的值 ‎【解】（1）设，则 因为复数为实数，则，又， ‎ 解得 或 故或 ‎（2）‎ ‎18.已知向量，求：‎ ‎(1)；(2) 的值．‎ ‎【解】(1)因为，所以＝4×3＋5cos α×(－4tan α)＝0，‎ 解得sin α＝.又因为α∈(0，)，所以cos α＝，tan α＝，‎ 所以＝(7,1)，因此＝.‎ ‎(2)cos(α＋)＝cos αcos－sin αsin.‎ ‎19.一道题目因纸张破损，其中的一个条件不清楚，具体如下：在中，已知，_______，，经过推断破损处的条件为该三角形一边的长度，且该题的答案为，那么缺失的条件是什么呢？‎ 问题：（1）如何根据题目条件求出的大小？‎ ‎（2）由求得的的值和正弦定理如何求出的值？‎ ‎（3）破损处的条件应该用边的长度还是用边的长度，还是二者均可？为什么？‎ ‎【解】（1）由，‎ 即 又 所以，又 所以，则 ‎（2）由且 所以可知 由 所以 ‎（3）只能用，若用，则 那么或，故有两个值，所以不能用 ‎20.如图，在四棱锥中，底面，，点在线段上，且.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若，，，，求四棱锥的体积.‎ ‎【解】（Ⅰ）证明：因为底面，平面，‎ 所以.因为，，‎ 所以.又，‎ 所以平面. ‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，‎ 在中，，‎ ‎，‎ 又因为，则.‎ 又，，‎ 所以四边形为矩形，四边形为梯形.‎ 因为，所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ 于是四棱锥的体积为.‎ ‎21.滕州市教育局为了解学生网络教学期间的学习情况，从初中及高中共抽取了50名学生，对他们每天平均学习时间进行统计．请根据下面的各班人数统计表和学习时间的频率分布直方图解决下列问题：‎ 年级 人数 初一 ‎4‎ 初二 ‎4‎ 初三 ‎6‎ 高一 ‎12‎ 高二 ‎6‎ 高三 ‎18‎ 合计 ‎50‎ ‎（1）抽查的50人中，每天平均学习时间为6～8小时的人数有多少？‎ ‎（2）经调查，每天平均学习时间不少于6‎ 小时的学生均来自高中．现采用分层抽样的方法，从学习时间不少于6小时的学生中随机抽取6名学生进行问卷调查，求这三个年级各抽取了多少名学生；‎ ‎（3）在（2）抽取的6名学生中随机选取2人进行访谈，求这2名学生来自不同年级的概率．‎ ‎【解】（1）由直方图知，学习时间为6～8小时的频率为 ‎，‎ ‎∴学习时间为6～8小时的人数为（人）；‎ ‎（2）由直方图可得，学习时间不少于6小时的学生有人．‎ ‎∵从中抽取6名学生的抽取比例为，高中三个年级的人数分别为12、6、18，‎ ‎∴从高中三个年级依次抽取2名学生，1名学生，3名学生；‎ ‎（3）设高一的2名学生为，高二的1名学生为，高三的3名学生为，，．‎ 则从6名学生中选取2人所有可能的情形有，，，，，，，，，，，，，，，共15种可能．‎ 其中2名学生来自不同年级的有，，，，，，，，，，，共11种情形，‎ 故所求概率为．‎ ‎22.如图,四边形为矩形,且平面, ,为的中点.‎ ‎（1）求证:；‎ ‎（2）求三棱锥的体积；‎ ‎（3）探究在上是否存在点,使得平面，并说明理由.‎ ‎【解】(1)连结,∵为的中点,,‎ ‎∴为等腰直角三角形,‎ 则,同理可得,∴,∴, ‎ 又,且, ∴, ‎ 又∵,∴,又,∴.‎ ‎(2)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形,‎ ‎∴,而是三棱锥的高,‎ ‎∴. ‎ ‎(3)在上存在中点,使得.理由如下:‎ 取的中点,连结. ‎ ‎∵是的中点, ∴,且, ‎ 又因为E为BC的中点,且四边形ABCD为矩形,所以EC//AD,且EC=AD,‎ 所以EC//GH,且EC=GH,所以四边形EGHC是平行四边形,所以EG//CH,‎ 又EG平面PCD,CH平面PCD,所以EG//平面PCD.‎