北师大版高三数学复习专题-导数及其应用基础达标-第3章第4节 6页

第三章 第四节 一、选择题 1．设 f(x)＝ x2 x≥0 2x x<0 ，则错误! f(x)dx 的值是( ) A．错误!x2dx B．错误!2xdx C．错误!x2dx＋错误!2xdx D．错误!2xdx＋错误!x2dx [答案] D [解析] 由分段函数的积分公式知选 D． 2．一物体的下落速度为 v(t)＝9.8t＋6.5(单位：m/s)，则下落后第二个 4s 内经过的路程 是( ) A．249m B．261.2m C．310.3m D．450m [答案] B [解析] 所求路程为错误!(9.8t＋6.5)dt＝(4.9t2＋6.5t)|84 ＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4 ＝313.6＋52－78.4－26＝261.2(m)． 3．若 S1＝错误!x2dx，S2＝错误!1 xdx，S3＝错误!exdx，则 S1，S2，S3 的大小关系为( ) A．S12.7，∴S3>3>S1>S2.故选 B． 4．(2014·山东高考)直线 y＝4x 与曲线 y＝x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为 ( ) A．2 2 B．4 2 C．2 D．4 [答案] D [解析] 如图所示 由 y＝4x， y＝x3. 解得 x＝2， y＝8， 或 x＝－2， y＝－8. ∴第一象限的交点坐标为(2,8) 由定积分的几何意义得，S＝错误!(4x－x3)dx＝(2x2－x4 4)|20＝8－4＝4. 5．由曲线 y＝x2，y＝x3 围成的封闭图形面积为( ) A． 1 12 B．1 4 C．1 3 D． 7 12 [答案] A [解析] 由 y＝x2 y＝x3 得交点坐标为(0,0)，(1,1)． 因此所求图形面积为 S＝错误!(x2－x3)dx ＝ 1 3x3－1 4x4 |10＝ 1 12. 6.如图所示，在一个长为π，宽为 2 的矩形 OABC 内，曲线 y＝ sinx(0≤x≤π)与 x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形 OABC 内随机 投一点(该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落 在阴影部分的概率是( ) A．1 π B．2 π C．3 π D．4 π [答案] A [解析] 由题图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得 S＝ 错误!sinxdx＝－cosx|π0＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率是 S S 矩形 OABC ＝ 2 2π ＝1 π. 二、填空题 7.错误!|x＋2|dx＝________. [答案] 29 2 [解析] 原式＝错误!(－x－2)dx＋错误! (x＋2)dx＝29 2 . 8．(2014·皖南八校联考)错误! a2－x2dx＝________. [答案] πa2 4 [解析] 错误! a2－x2dx 表示圆 x2＋y2＝a2 在第二象限的面积，为πa2 4 . 9．(2015·江西七校联考)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 an＝错误!1 xdx(n∈N*)，则 S100 ＝________. [答案] ln101 [解析] 依题意，an＝lnx|n＋1n ＝ln(n＋1)－lnn，因此 S100＝(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋…＋ (ln101－ln100)＝ln101. 三、解答题 10．求下列定积分： (1)错误!(x2－x)dx； (4)设 f(x)＝ x2，x≤0 cosx－1，x>0 ，求 错误!f(x)dx. [解析] (1)错误!(x2－x)dx＝ 1 3x3－1 2x2 |10 ＝－1 6. (3)令 f(x)＝3x3＋4sinx，x∈ －π 2 ，π 2 ∵f(x)在 －π 2 ，π 2 上为奇函数， (4)错误! f(x)dx＝错误!－1x2dx＋错误!(cosx－1)dx ＝1 3x3|0－1＋(sinx－x)|10＝sin1－2 3. 一、选择题 1．与定积分 错误! 1－cosxdx 相等的是( ) A． 2错误!sinx 2dx B． 2错误!|sinx 2|dx C．| 2错误!sinx 2dx| D．以上结论都不对 [答案] B [解析] ∵1－cosx＝2sin2x 2 ， ∴错误! 1－cosxdx ＝错误! 2|sinx 2|dx＝ 2错误!|sinx 2|dx. 2．(2014·江西高考)若 f(x)＝x2＋2错误!f(x)dx，则 错误!f(x)dx＝( ) A．－1 B．－1 3 C．1 3 D．1 [答案] B [解析] 本题考查定积分的求法． 根据题设条件可得 错误!f(x)dx＝－x3 3|10＝－1 3. 二、填空题 3．已知 f(x)＝3x2＋2x＋1，若错误! f(x)dx＝2f(a)，则 a＝________. [答案] －1 或1 3 [解析] 错误!f(x)dx＝错误! (3x2＋2x＋1)dx ＝(x3＋x2＋x)|1－1＝4＝2f(a)． f(a)＝3a2＋2a＋1＝2，解得 a＝－1 或1 3. 4．(2015·洛阳统考)用 min{a，b}表示 a，b 两个数中的较小的数，设 f(x)＝min{x2， x}(x≥0)，那么由函数 y＝f(x)的图像、x 轴、直线 x＝1 2 和直线 x＝4 所围成的封闭图形的面 积为________． [答案] 119 24 [解析] 如图所示，所求图形的面积为阴影部分的面积，即 所求的面积 . 三、解答题 5．已知 f(x)为二次函数，且 f(－1)＝2，f ′(0)＝0，错误!f(x)dx＝－2， (1)求 f(x)的解析式； (2)求 f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值． [解析] (1)设 f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)， 则 f ′(x)＝2ax＋B． 由 f(－1)＝2，f ′(0)＝0，得 a－b＋c＝2 b＝0 ，即 c＝2－a b＝0 ，∴f(x)＝ax2＋(2－a)． 又 错误!f(x)dx＝错误![ax2＋(2－a)]dx ＝[1 3ax3＋(2－a)x]|10＝2－2 3a＝－2，∴a＝6， 从而 f(x)＝6x2－4. (2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]． ∴当 x＝0 时，f(x)min＝－4；当 x＝±1 时，f(x)max＝2. 6．已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，直线 l1：x＝2，直线 l2：y＝－t2＋8t(其中 0≤t≤2， t 为常数)．若直线 l1，l2 与函数 f(x)的图像以及 l2，y 轴与函数 f(x)的图像 所围成的封闭图形如图阴影所示． (1)求 a，b，c 的值； (2)求阴影面积 S 关于 t 的函数 S(t)的解析式． [解析] (1)由图形可知二次函数的图像过点(0,0)，(8,0)，并且 f(x)的最大值为 16， 则 c＝0， a·82＋b·8＋c＝0， 4ac－b2 4a ＝16， 解得 a＝－1， b＝8， c＝0. (2)由(1)，得 f(x)＝－x2＋8x，由 y＝－t2＋8t， y＝－x2＋8x， 得 x2－8x－t(t－8)＝0， ∴x1＝t，x2＝8－t. ∵0≤t≤2， ∴直线 l2 与 f(x)的图像的交点坐标为(t，－t2＋8t)． 由定积分的几何意义知： S(t)＝错误![(－t2＋8t)－(－x2＋8x)]dx＋错误![(－x2＋8x)－(－t2＋8t)]dx ＝[(－t2＋8t)x－(－x3 3 ＋4x2)]|t0＋[(－x3 3 ＋4x2)－(－t2＋8t)x]|2t ＝－4 3t3＋10t2－16t＋40 3 . 所以 S(t)＝－4 3t3＋10t2－16t＋40 3 (0≤t≤2)．