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- 2021-07-01 发布
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阶段滚动检测(六)
考生注意:
1.本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分,共4页.
2.答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上.
3.本次考试时间120分钟,满分160分.
4.请在密封线内作答,保持试卷清洁完整.
第Ⅰ卷
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在题中横线上)
1.(2016·苏北四市联考)设集合A={x|lg(10-x2)>0},集合B={x|2x<},则A∩B=__________.
2.(2016·常州模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acos A=bcos B,则△ABC的形状是______________三角形.
3.已知函数f(x)=x2-ax+3在(0,1)上为减函数,函数g(x)=x2-aln x在(1,2)上为增函数,则a=______.
4.(2016·苏北四市)已知矩形ABCD的边AB=4,BC=3,若沿对角线AC折叠,使平面DAC⊥平面BAC,则三棱锥D—ABC的体积为________.
5.(2016·扬州模拟)各项都为正数的数列{an},其前n项和为Sn,且Sn=(+)2 (n≥2,n∈N*),若bn=+,且数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=____________.
6.(2016·陕西尧山补习学校质检)在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC=________.
7.(2016·湖南长郡中学第四次月考)已知“若点P(x0,y0)在双曲线C:-=1(a>0,b>0)上,则C在点P处的切线方程为C:-=1”,现已知双曲线C:-=1和点Q(1,t)(t≠±),过点Q作双曲线C的两条切线,切点分别为M,N,则直线MN过定点__________.
8.(2016·河北衡水中学调研)设x,y满足约束条件若目标函数z=x+y(m>0)的最大值为2,则y=sin(mx+)的图象向右平移个单位长度后的表达式为________________.
9.(2016·泰州模拟)已知ab=,a,b∈(0,1),则+的最小值为________.
10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=,则的值为________.
11.(2016·南京师大附中检测)下列四个命题:①在△ABC中,“sin A>sin B”是“A>B”的充要条件;②命题“∃x0∈R,x-x0-1<0”的否定是“∀x∈R,x2-x-1<0”;③若圆C:若x2+y2=4上恰有三个点到直线l:x+y+c=0的距离为1,则c∈{-1,1};④若f(x)=ln(e2x+1)+ax是偶函数,则a=-1.其中是真命题的有____________.(填序号)
12.已知椭圆E:+=1的长轴的两个端点分别为A1,A2,点P在椭圆E上,如果△A1PA2的面积等于9,那么·=________.
13.(2016·江苏启东测试)正实数x1,x2及f(x)满足f(x)=,且f(x1)+f(x2)=1,则f(x+y)的最小值为________.
14.(2016·陕西五校联考)椭圆+=1(a为定值且a>)的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A、B,若△FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是____________.
第Ⅱ卷
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(14分)(2016·扬州模拟)已知函数f(x)=cos2ωx+sin ωxcos ωx (ω>0)的周期为π.
(1)求函数y=f(x),x∈[0,]的值域;
(2)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C所对应的边,若f()=,且a=4,b+c=5,求△ABC的面积.
16.(14分)(2016·南京一模)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O,E分别为B1D,AB的中点.
(1)求证:OE∥平面BCC1B1;
(2)求证:平面B1DC⊥平面B1DE.
17.(14分)设数列{an}共有m(m≥3)项,记该数列前i项a1,a2,…,ai中的最大项为Ai,该数列后m-i项ai+1,ai+2,…,am中的最小项为Bi,ri=Ai-Bi(i=1,2,3,…,m-1).
(1)若数列{an}的通项公式为an=2n,求数列{ri}的通项公式;
(2)若数列{an}是单调数列,且满足a1=1,ri=-2,求数列{an}的通项公式;
(3)试构造一个数列{an},满足an=bn+cn,其中{bn}是公差不为零的等差数列,{cn}是等比数列,使得对于任意给定的正整数m,数列{ri}都是单调递增的,并说明理由.
18.(16分)(2016·湖南雅礼中学月考(五))已知函数f(x)=ln-ax2+x(a>0).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,证明:f(x1)+f(x2)>3-2ln 2.
19.(16分)(2016·泰安一模)如图,A,B,C是椭圆+=1(a>b>0)的顶点,
点F(c,0)为椭圆的右焦点,原点O到直线CF的距离为c,且椭圆过点(2,1).
(1)求椭圆的方程;
(2)若P是椭圆上除顶点外的任意一点,直线CP交x轴于点E,直线BC与AP相交于点D,连结DE.设直线AP的斜率为k,直线DE的斜率为k1,问是否存在实数λ,使得λk1=k+成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
20.(16分)已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x∈(0,1)时,f(x)=.
(1)求函数f(x)在(-1,1)上的解析式;
(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性;
(3)当λ取何值时,方程f(x)=λ在(-1,1)上有实数解?
答案解析
1.{x|-30}={x|-30)过点C(1,1)时,z取最大值,即1+=2,解得m=2,
从而y=sin(mx+)=sin(2x+),
其图象向右平移个单位长度后的表达式为y=sin[2(x-)+]=sin 2x.
9.4+
解析 +=+
=2+(+)
=2+(+)·
=2+2+[+]
≥4+×2 =4+,
当且仅当=时取等号.
10.3
解析 由正弦定理===2R,
得===,
即(cos A-3cos C)sin B=(3sin C-sin A)cos B,
化简可得sin(A+B)=3sin(B+C),
又A+B+C=π,所以sin C=3sin A,
因此=3.
11.①④
解析 由正弦定理和三角形中边角关系可知①正确;命题“∃x0∈R,x-x0-1<0”的否定是“∀x∈R,x2-x-1≥0”,②错误;③中若圆心C(0,0)到直线l的距离为1,则=1,解得c=±,③错误;若f(x)=ln(e2x+1)+ax是偶函数,则f(-x)=f(x),即ln(e-2x+1)-ax=ln(e2x+1)+ax,解得a=-1,④正确,故其中是真命题的有①④.
12.-
解析 设P(x1,y1),A1(-5,0),A2(5,0),
则·=(-5-x1,-y1)·(5-x1,-y1)=x+y-25,①
又S△PA1A2=×A1A2×|y1|=5|y1|=9,解得|y1|=,
代入椭圆方程+=1,得x=16,
代入①式可得·=x+y-25=16+-25=-.
13.
解析 由f(x1)+f(x2)=1得4x1=,
因为4x1>0,4x2>0,所以4x2-1>0,
所以f(x1+x2)==1-
=1-≥1-=1-=,
当且仅当4x2-1=,即4x2=3时,等号成立.
14.
解析 设椭圆的右焦点为E,如图.
由椭圆的定义得△FAB的周长为
AB+AF+BF=AB+(2a-AE)+(2a-BE)=4a+AB-AE-BE.
∵AE+BE≥AB,
∴AB-AE-BE≤0,
当AB过点E时取等号,
∴△FAB的周长为AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤4a,
∴△FAB的周长的最大值为4a=12,
∴a=3,
∴e===.
15.解 (1)f(x)=(1+cos 2ωx)+sin 2ωx=sin(2ωx+)+,
∵f(x)的周期为π且ω>0,∴=π,解得ω=1,
∴f(x)=sin(2x+)+.
又0≤x≤,
∴≤2x+≤,-≤sin(2x+)≤1,
∴0≤sin(2x+)+≤+1,
即函数y=f(x)在x∈[0,]上的值域为[0,+1].
(2)由(1)知f()=sin(A+)+=,∴sin(A+)=.
由A∈(0,π),得0,不满足ri=-2,
所以{an}单调递增.
则Ai=ai,Bi=ai+1,所以ri=ai-ai+1=-2,即ai+1-ai=2,1≤i≤m-1且i∈N*,
所以{an}是公差为2的等差数列,
an=1+2(n-1)=2n-1 (1≤n≤m-1且n∈N*).
(3)构造an=n-()n,其中bn=n,cn=-()n.
下证数列{an}满足题意:
因为an=n-()n,所以数列{an}单调递增,
所以Ai=ai=i-()i,Bi=ai+1=i+1-()i+1且i∈N*.
所以ri=ai-ai+1=-1-()i+1,1≤i≤m-1,
因为ri+1-ri=[-1-()i+2]-[-1-()i+1]=()i+2>0,
所以数列{ri}单调递增,满足题意.
18.(1)解 函数f(x)的定义域为(0,+∞).
f′(x)=--2ax+1=,a>0,
设g(x)=-2ax2+x-1,Δ=1-8a.
①当a≥时,Δ≤0,g(x)≤0,
∴f′(x)≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;
②当00,由f′(x)=0可得
x1=,x2=.
x,f(x),f′(x)的变化情况如下表:
x
(0,x1)
x1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
极小值
极大值
函数f(x)的单调递减区间为(0,x1),(x2,+∞),单调递增区间为(x1,x2).
综上,当a≥时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;
当0h()=ln++ln 2+1=3-2ln 2,
∴f(x1)+f(x2)>3-2ln 2.
19.解 (1)由题意,得C(0,b),
∴直线CF的方程为y=-x+b,即bx+cy-bc=0.
又原点O到CF的距离为c,故有=c,可得c2=3b2,
∴a2=b2+c2=4b2,a=2b,椭圆方程为+=1.
又椭圆过点(2,1),∴+=1,
解得a2=16,b2=4.
∴椭圆的方程为+=1.
(2)由(1)知B(-4,0),C(0,2),
故直线BC的方程为y=x+2.
∵直线AP的斜率为k,点A(4,0),
∴直线AP的方程为y=k(x-4).
联立整理得(4k2+1)x2-32k2x+64k2-16=0.
又点P(xP,yP)在椭圆上,故有4xP=.
∴xP=,yP=k(-4)=.
∴P(,).
故直线CP的方程为
y=x+2,即y=x+2.
又点E为直线CP与x轴的交点,令y=0,得x=.
∴E(,0).
将直线BC与直线AP联立解得
∴D(,).
故直线DE的斜率为k1===(2k+1)=(k+),
即2k1=k+,∴λ=2.
20.解 (1)∵f(x)是x∈R上的奇函数,∴f(0)=0.
设x∈(-1,0),则-x∈(0,1),f(-x)===-f(x),
∴f(x)=-,
∴f(x)=
(2)设020=1,
∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x)在(0,1)上为减函数.
(3)∵f(x)在(0,1)上为减函数,∴
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