【数学】2021届一轮复习北师大版（理）12函数与方程作业 7页

函数与方程 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)‎ A．(0,1)　　 B．(1,2)　　‎ C．(2,3)　　 D．(3,4)‎ B　[∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，‎ ‎∴f(1)·f(2)＜0，‎ ‎∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图像是连续的，且为增函数，‎ ‎∴f(x)的零点所在的区间是(1,2)．]‎ ‎2．函数f(x)＝的零点个数为(　　)‎ A．3 B．2 ‎ C．7 D．0‎ B　[法一：(直接法)由f(x)＝0得 或 解得x＝－2或x＝e.‎ 因此函数f(x)共有2个零点．‎ 法二：(图像法)函数f(x)的图像如图所示，由图像知函数f(x)共有2个零点．]‎ ‎3．已知a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足(　　)‎ A．f(x0)＝0 B．f(x0)＞0‎ C．f(x0)＜0 D．f(x0)的符号不确定 C　[f(x)在(0，＋∞)上是增函数，‎ 若0＜x0＜a，‎ 则f(x0)＜f(a)＝0.]‎ ‎4．已知函数f(x)＝x－(x＞0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x的零点分别为x1，x2，x3，则(　　)‎ A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3‎ C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2‎ C　[作出y＝x与y1＝，y2＝－ex，y3＝－ln x的图像如图所示，可知选C.‎ ‎]‎ ‎5．(2019·长沙模拟)已知函数f(x)＝则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是(　　)‎ A．(1,2) B．(－∞，－2]‎ C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，1]∪[2，＋∞)‎ D　[当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x＞0时，x＋f(x)＝m，即x＋＝m，解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D.]‎ 二、填空题 ‎6．函数f(x)＝ax＋1－‎2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．‎ 　[∵函数f(x)的图像为直线，‎ 由题意可得f(－1)f(1)＜0，‎ ‎∴(－‎3a＋1)·(1－a)＜0，解得＜a＜1，‎ ‎∴实数a的取值范围是.]‎ ‎7．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)＞0的解集是________．‎ 　[∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2，3.‎ ‎∴－2，3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，‎ 由根与系数的关系知 ‎∴ ‎∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)＞0，‎ 即－(4x2＋2x－6)＞0⇔2x2＋x－3＜0，‎ 解集为.]‎ ‎8．(2019·漳州模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是________．‎ 　[作出函数f(x)的图像如图所示．‎ 当x≤0时，f(x)＝x2＋x＝2－≥－，若函数f(x)与y＝m的图像有三个不同的交点，则－＜m≤0，即实数m的取值范围是.]‎ 三、解答题 ‎9．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点．‎ ‎(1)求m的值．‎ ‎(2)求函数的零点．‎ ‎[解]　(1)因为f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．‎ 设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.‎ 当Δ＝0时，即m2－4＝0，‎ 所以m＝±2，‎ 当m＝－2时，t＝1；‎ 当m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)．‎ 所以2x＝1，x＝0符合题意．‎ 当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2，‎ t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，‎ 即f(x)有两个零点或没有零点．‎ 所以这种情况不符合题意．‎ 综上可知：当m＝－2时，f(x)有唯一零点．‎ ‎(2)由(1)可知，该函数的零点为0.‎ ‎10．设函数f(x)＝(x＞0)．‎ ‎(1)作出函数f(x)的图像；‎ ‎(2)当0＜a＜b，且f(a)＝f(b)时，求＋的值；‎ ‎(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．‎ ‎[解]　(1)如图所示．‎ ‎(2)因为f(x)＝＝ 故f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数．‎ 由0＜a＜b且f(a)＝f(b)，得0＜a＜1＜b，‎ 且－1＝1－，所以＋＝2.‎ ‎(3)由函数f(x)的图像可知，当0＜m＜1时，函数f(x)的图像与直线y＝m有两个不同的交点，即方程f(x)＝m有两个不相等的正根．‎ ‎1．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点有(　　)‎ A．多于4个 B．4个 C．3个 D．2个 B　[因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，故函数的周期为2.当x∈[0,1]时，f(x)＝x，故当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x.函数y＝f(x)－log3|x|的零点的个数等于函数y＝f(x)的图像与函数y＝log3|x|的图像的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y＝f(x)的图像与函数y＝log3|x|的图像，如图所示．‎ 显然函数y＝f(x)的图像与函数y＝log3|x|的图像有4个交点，故选B.]‎ ‎2．已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2的图像与y＝＋m的图像有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是(　　)‎ A．(0,1]∪[2，＋∞) B．(0,1]∪[3，＋∞)‎ C．(0，]∪[2，＋∞) D．(0，]∪[3，＋∞)‎ B　[在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2＝m22与g(x)＝＋m的大致图像．分两种情形：‎ ‎(1)当0＜m≤1时，≥1，如图①，当x∈[0,1]时，f(x)与g(x)的图像有一个交点，符合题意．‎ ‎①　　　　　　　　　②‎ ‎(2)当m＞1时，0＜＜1，如图②，要使f(x)与g(x)的图像在[0,1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．‎ 综上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)．故选B.]‎ ‎3．已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ＝________.‎ ‎－　[依题意，方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有1个解，故f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)有1个解，‎ ‎∴2x2＋1＝x－λ，即2x2－x＋1＋λ＝0有唯一解，‎ 故Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.]‎ ‎4．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝ ‎(1)求g(f(1))的值；‎ ‎(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)利用解析式直接求解得g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.‎ ‎(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)内有2个不同的解，‎ 则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图像有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t＜1)的图像(图略)，由图像可知，当1≤a＜时，函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.‎ ‎1．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．‎ 　[若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则f(x)的图像和直线y＝kx－有4个交点．作出函数f(x)的图像，如图，故点(1,0)在直线y＝kx－的下方．所以k·1－＞0，解得k＞.‎ 当直线y＝kx－和y＝ln x相切时，设切点横坐标为m，则k＝＝，所以m＝.此时，k＝＝，f(x)的图像和直线y＝kx－有3个交点，不满足条件，故要求的k的取值范围是.]‎ ‎2．已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0,2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的实根，求a的取值范围．‎ ‎[解]　由f(x－4)＝f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)，‎ 所以函数图像关于x＝2对称，且f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，要使方程f(x)＝logax有三个不同的根，则满足 解得＜a＜，故a的取值范围是(，)．‎