高考卷 普通高等学校招生全国统一考试数学（福建卷·文科）（附答案，完全word版） 12页

2008 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（文史类）（福建卷） 第Ⅰ卷（选择题共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. （1）若集合 A={x|x2-x＜0},B={x|0＜x＜3},则 A∩B 等于 A.{x|0＜x＜1} B.{x|0＜x＜3} C.{x|1＜x＜3} D.￠ （2）“a=1”是“直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 （3）设|an|是等左数列，若 a2=3,a1=13,则数列{an}前 8 项的和为 A.128 B.80 C.64 D.56 （4）函数 f(x)=x3+sinx+1(x∈R)，若 f(a)=2,则 f(-a)的值为 A.3 B.0 C.-1 D.-2 (5)某一批花生种子，如果每 1 粒发芽的概率为 4 5 ，那么播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率 是 A. 12 125 B. 16 125 C. 48 125 D. 96 125 (6)如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=BC=2，AA1=1， 则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为 A. 2 2 3 B. 2 3 C. 2 4 D. 1 3 （7）函数 y=cosx(x∈R)的图象向左平移 2  个单位后，得到 函数 y=g(x)的图象，则 g(x)的解析式为 A.-sinx B.sinx C.-cosx D.cosx (8)在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2+c2-b2 3 ac,则角 B 的值为 A. 6  B. 3  C. 6  或 5 6  D. 3  或 2 3  (9)某班级要从 4 名男士、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生， 那么不同的选派方案种数为 A.14 B.24 C.28 D.48 (10)若实数 x、y 满足 1 0, 0, 2, x y x x        则 y x 的取值范围是 A.（0，2） B.（0，2） C.(2,+∞) D.[2，+∞) （11）如果函数 y=f(x)的图象如右图，那么 导函数 y=f(x)的图象可能是 （12）双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞0）的两个焦点为 F1、F2，若 P 为其上一点，且|PF1|=2|PE2|， 则双曲线离心率的取值范围为 A.（1，3） B.（1，3） C.（3，+∞） D. [3，+∞] 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卡的相应位置. （13）（x+ 1 x ）9 展开式中 x2 的系数是 .（用数字作答） （14）若直线 3x+4y+m=0 与圆 x2+y2-2x+4y+4=0 没有公共点，则实数 m 的取值范围是 . （15）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是 . （16）设 P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 a、b∈P，都有 a+b、a-b、ab、 a b ∈ P（除数 b≠0）则称 P 是一个数域，例如有理数集 Q 是数域，有下列命题： ①数域必含有 0，1 两个数； ②整数集是数域； ③若有理数集 Q  M,则数集 M 必为数域; ④数域必为无限集. 其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号都填上） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分 12 分） 已知向量 (sin ,cos ), (1, 2)m A A n   ,且 0.m n  (Ⅰ)求 tanA 的值； (Ⅱ)求函数 ( ) cos2 tan sin (f x x A x x   R)的值域. （18）（本小题满分 12 分） 三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为 1 1 1, , ,5 4 3 且他们是否破译 出密码互不影响. (Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率； (Ⅱ)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由. （19）（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P—ABCD 中，侧面 PAD⊥底面 ABCD，侧棱 PA＝PD= 2 ,底面 ABCD 为直角梯 形，其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O 为 AD 中点. (Ⅰ)求证:PO⊥平面 ABCD； (Ⅱ)求异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值； (Ⅲ)求点 A 到平面 PCD 的距离. （20）（本小题满分 12 分） 已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（ 1,n na a  ）（nN*）在函数 y=x2+1 的图象上. (Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式； (Ⅱ)若列数｛bn｝满足 b1=1,bn+1=bn+ 2 na ，求证：bn ·bn+2＜b2n+1. (21)（本小题满分 12 分） 已知函数 3 2( ) 2f x x mx nx    的图象过点（-1，-6），且函数 ( ) ( ) 6g x f x x  的图象 关于 y 轴对称. (Ⅰ)求 m、n 的值及函数 y=f(x)的单调区间； (Ⅱ)若 a＞0，求函数 y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值. (22)（本小题满分 14 分） 如图，椭圆 2 2 2 2: 1x yC a b   （a＞b＞0）的一个焦 点为 F(1,0)，且过点（2，0）. （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）若 AB 为垂直于 x 轴的动弦，直线 l:x=4 与 x 轴交于点 N，直线 AF 与 BN 交于点 M. (ⅰ)求证：点 M 恒在椭圆 C 上； (ⅱ)求△AMN 面积的最大值. 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（文史类）（福建卷）参考答案 一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算.每小题 5 分，满分 60 分. （1）A （2）C (3)C (4)B (5)C (6)D （7）A （8）A (9)A (10)D (11)A (12)B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分. （13）84 （14）( ,0) (10, )   （15）9  （16）①④ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一 元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力，满分 12 分. 解：（Ⅰ）由题意得 m·n=sinA-2cosA=0, 因为 cosA≠0,所以 tanA=2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知 tanA=2 得 2 21 3( ) cos2 2sin 1 2sin 2sin 2(sin ) .2 2f x x x x x x         因为 xR,所以  sin 1,1x  . 当 1sin 2x  时，f(x)有最大值 3 2 ， 当 sinx=-1 时，f(x)有最小值-3， 所以所求函数 f(x)的值域是 33, .2     （18）本小题主要考查概率的基本知识与分类思想，考查运用数学知识分析问题、解决问题 的能力.满分 12 分. 解：记“第 i 个人破译出密码”为事件 A1(i=1,2,3)，依题意有 1 2 3 1 1 1( ) , ( ) , ( ) ,5 4 .3P A P A P A   且 A1，A2，A3 相互独立. （Ⅰ）设“恰好二人破译出密码”为事件 B，则有 B＝A1·A2· 3A ·A1· 2A ·A3+ 1A ·A2·A3 且 A1·A2· 3A ，A1· 2A ·A3， 1A ·A2·A3 彼此互斥 于是 P(B)=P(A1·A2· 3A )+P（A1· 2A ·A3）+P（ 1A ·A2·A3） ＝ 3 1 4 1 5 4 3 1 4 3 5 1 3 2 4 1 5 1  ＝ 20 3 . 答：恰好二人破译出密码的概率为 20 3 . （Ⅱ）设“密码被破译”为事件 C，“密码未被破译”为事件 D. D＝ 1A · 2A · 3A ，且 1A ， 2A ， 3A 互相独立，则有 P（D）＝P（ 1A ）·P（ 2A ）·P（ 3A ）＝ 3 2 4 3 5 4  ＝ 5 2 . 而 P（C）＝1-P（D）＝ 5 3 ，故 P（C）＞P（D）. 答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大. （19）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知 识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力.满分 12 分. 解法一： （Ⅰ）证明：在△PAD 卡中 PA＝PD，O 为 AD 中点，所以 PO⊥AD. 又侧面 PAD⊥底面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，PO  平面 PAD， 所以 PO⊥平面 ABCD. （Ⅱ）连结 BO，在直角梯形 ABCD 中，BC∥AD,AD=2AB=2BC， 有 OD∥BC 且 OD＝BC，所以四边形 OBCD 是平行四边形， 所以 OB∥DC. 由（Ⅰ）知 PO⊥OB，∠PBO 为锐角， 所以∠PBO 是异面直线 PB 与 CD 所成的角. 因为 AD＝2AB＝2BC＝2，在 Rt△AOB 中，AB＝1，AO＝1，所以 OB＝ 2 ， 在 Rt△POA 中，因为 AP＝ 2 ，AO＝1，所以 OP＝1， 在 Rt△PBO 中，PB＝ 322  OBOP , cos∠PBO= 3 6 3 2  PB OB , 所以异面直线 PB 与 CD 所成的角的余弦值为 3 6 . (Ⅲ)由（Ⅱ）得 CD＝OB＝ 2 ， 在 Rt△POC 中，PC＝ 222  OPOC ， 所以 PC＝CD＝DP，S△PCD= 4 3 ·2= 2 3 . 又 S△= ,12 1  ABAD 设点 A 到平面 PCD 的距离 h， 由 VP-ACD=VA-PCD， 得 3 1 S△ACD·OP＝ 3 1 S△PCD·h， 即 3 1 ×1×1＝ 3 1 × 2 3 ×h， 解得 h＝ 3 32 . 解法二： （Ⅰ）同解法一， （Ⅱ）以 O 为坐标原点， OPODOC 、、 的方向分 别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz. 则 A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0）， D（0，1，0），P（0，0，1）. 所以 CD ＝（-1，1，0）， PB ＝（t，-1，-1）， ∞〈 PB 、CD 〉= 3 6 23 11    ＝＝ CDPB CDPB ， 所以异面直线 PB 与 CD 所成的角的余弦值为 3 6 ， （Ⅲ）设平面 PCD 的法向量为 n＝（x0,y0,x0）， 由（Ⅱ）知CP =（-1，0，1），CD ＝（-1，1，0）， 则 n·CP ＝0，所以 -x0+ x0=0, n·CD ＝0， -x0+ y0=0， 即 x0=y0=x0, 取 x0=1，得平面的一个法向量为 n=(1,1,1). 又 AC =(1,1,0). 从而点 A 到平面 PCD 的距离 d＝ .3 32 3 2   n nAC （20）本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与 运算能力.满分 12 分. 解法一： （Ⅰ）由已知得 an+1=an+1、即 an+1-an=1，又 a1=1, 所以数列｛an｝是以 1 为首项，公差为 1 的等差数列. 故 an=1+(a-1)×1=n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n 从而 bn+1-bn=2n. bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1 =2n-1+2n-2+···+2+1 ＝ 21 21   n =2n-1. 因为 bn·bn+2-b 2 1n =(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2 =(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1) =-5·2n+4·2n =-2n＜0, 所以 bn·bn+2＜b 2 1n , 解法二： （Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）因为 b2=1, bn·bn+2- b 2 1n =(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b 2 1n =2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1 ＝2n（bn+1-2n+1） =2n（bn+2n-2n+1） =2n（bn-2n） =… =2n（b1-2） =-2n〈0， 所以 bn-bn+2得 x>2 或 x<0, 故 f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）； 由 f′(x)<0 得 0