山东省济宁市汶上圣泽中学2019-2020学年高一月考数学试卷 11页

‎ 数学试题 ‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、 单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若复数z满足z（1﹣2i）＝10，则复数z在复平面内对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．设（1+i）（a+bi）＝2，其中a，b是实数，i为虚数单位，则|3a+2bi|＝（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎3．如图，已知△OAB的直观图△O'A'B'是一个直角边长是1的等腰直角三角形，那么△OAB的面积是（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎4．样本中共有五个个体,其值分别是,1,2,3,4,若样本的平均数是2,则样本的极差和标准差分别是（ ）‎ A．5和2 B．5和 C．4和2 D．4和 ‎5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，已知2ccosB-bcosA＝acosB，则∠B＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知||＝||＝，且（﹣2）与垂直，则与的夹角是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中，任意取出2张，观察上面的数字，则这两个数字之和是3的倍数的概率为(　 　)‎ ‎8．已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则该正四棱锥外接球的表面积为（　　）‎ A．16π B．24π C．36π D．64π 二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.‎ ‎9．甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（ ）‎ A．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件 B．甲的不同的选法种数为15‎ C．已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是 D．乙、丙两名同学都选物理的概率是 ‎10．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于M，设，，则下列结论正确的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎11．在某次高中学科知识竞赛中，对4000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（ ）‎ A．成绩在的考生人数最多 B．不及格的考生人数为1000‎ C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分 D．考生竞赛成绩的中位数为75分 ‎12．下列说法中正确的有（ ）‎ A．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为 B．用斜二测法作△ABC的直观图得到边长为a的正三角形，则△ABC面积为 C．三个平面可以将空间分成4，6，7或者8个部分 D．已知四点不共面，则其中任意三点不共线．‎ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13．已知x，y∈R，若2+xi＝y﹣i，则x﹣y＝　　．‎ ‎14．已知甲运动员的投篮命中率为0.6,若甲投篮两次（两次投篮命中与否互不影响），则其两次投篮都没命中的概率为_________________.‎ ‎15．已知向量，，若与共线．则实数λ＝　　．‎ ‎16．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为 ，若a2sinC＝5sinA，（a+c）2＝16+b2则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为　　．‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．(本题10分）已知复数z＝（2﹣mi）（1﹣i）（m∈R）．‎ ‎（1）若z是纯虚数，求m的值；‎ ‎（2）若在复平面上对应的点在第四象限，求m的取值范围．‎ ‎18．(本题12分）已知向量＝（1，2），＝（4，﹣3）．‎ ‎（1）若向量∥，且||＝2，求的坐标；‎ ‎（2）若向量+k与﹣k互相垂直，求实数k的值．‎ ‎19．(本题12分）在△ABC中，，　选择①（或②或③）　．求BC边上的高．‎ ‎，②sinA＝3sinC，③a﹣c＝2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．‎ ‎20．(本题12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求分数内的频率，并补全这个频率分布直方图；‎ ‎（2）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；‎ ‎（3）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率.‎ ‎21．(本题12分）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试在每一次报名中，每个学员有次参加科目二考试的机会（这次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或次都没有通过，则需要重新报名），其中前次参加科目二考试免费，若前次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交 元的补考费．某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为．现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.‎ ‎（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；‎ ‎（2）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元的概率．‎ ‎22．(本题12分）已知的内角的对边分别为，的面积为S，.‎ ‎（1）求sinC；‎ 数学试题 一、选择题 ‎1--4 ABDD 5--8 B ABC 二、多项选择题:9、BD 10、ABD 11、ABC 12、ACD 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13．﹣3 14．0.16 15．﹣ 16．2‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．【解析】（1）z＝（2﹣mi）（1﹣i）＝（2﹣m）﹣（2+m）i，‎ ‎∵z是纯虚数，∴，‎ 得m＝2；‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎∵复数在复平面上对应的点在第四象限，‎ ‎∴，解得m＜﹣2，‎ ‎∴m的取值范围为（﹣∞，﹣2）．‎ ‎18．【解析】（1）∵向量＝（1，2），＝（4，﹣3），若向量∥，则 ＝（λ，2λ），‎ 再根据||＝2，可得 ＝2，求得λ＝±2，∴＝（2，4），或 ＝（﹣2，﹣4）．‎ ‎（2）若向量+k与﹣k互相垂直，则（+k）•（﹣k）＝0．‎ 而（+k）＝（ 1+4k，2﹣3k），（﹣k）＝（1﹣4k，2+3k），‎ ‎∴（ 1+4k，2﹣3k）•（1﹣4k，2+3k）＝1﹣16k2+4﹣9k2，求得k＝±．‎ ‎19．【解析】选择①，在△ABC中，由正弦定理得＝，‎ 即＝，解得a＝2；‎ 由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，‎ 即＝22+c2﹣2×2×c×，‎ 化简得c2﹣2c﹣3＝0，解得c＝3或c＝﹣1（舍去）；‎ 所以BC边上的高为h＝csinB＝3×＝．‎ 选择②，在△ABC中，由正弦定理得＝，‎ 又因为sinA＝3sinC，所以＝，即a＝3c；‎ 由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，‎ 即＝（3c）2+c2﹣2×3c×c×，‎ 化简得7c2＝7，解得c＝1或c＝﹣1（舍去）；‎ 所以BC边上的高为h＝csinB＝1×＝．‎ 选择③，在△ABC中，由a﹣c＝2，得a＝c+2；‎ 由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，‎ 即＝（c+2）2+c2﹣2×（c+2）×c×，‎ 化简得c2+2c﹣3＝0，解得c＝1或c＝﹣3（舍去）；‎ 所以BC边上的高为h＝csinB＝1×＝．‎ ‎20．【答案】(1)见解析(2) (3) ‎ ‎【解析】（1）设分数在内的频率为，根据频率分布直方图，‎ 则有，可得，‎ 所以频率分布直方图为：‎ ‎（2）以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线把频率分布直方图分成面积相等的两个部分，由频率分布直方图知中位数要把最高的小长方形三等分，‎ 所以中位数是，所以估计本次考试成绩的中位数为 ‎（3）设所抽取2人成绩之差的绝对值大于10为事件，‎ 第1组学生数：人（设为1，2，3，4，5，6）‎ 第6组学生数：人（设为）‎ 所有基本事件有：12，13，14，15，16，，23，24，25，26，，，，34，35，36，，，，45，46，，,，56，，，，，，，，，共有35种，‎ 事件包括的基本事件有：，，，，，，，，,，，，，，，共有18种 所以. ‎ ‎21．【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，“妻子在科目二考试中第次通过”为事件，则，.‎ 设事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，事件“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”.‎ 则，‎ ‎，．‎ 因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；‎ ‎（2）设事件“丈夫参加科目二考试需交补考费元”，事件“妻子参加科目二考试需交补考费元”，事件 ‎“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元”，则，，．‎ 因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元的概率为．‎ ‎22．（本小题满分 14 分）解：(1)∵，‎ ‎，，即 ‎，，……………………………………………………2分 ‎，；…………………………………4分 所以，……………………………………………………5分 ‎(2)由题意得,，‎ ‎∴由正弦定理得，sinAcosB+3sinBsinA=sinC,‎ ‎，‎ 所以，sinAcosB+3sinBsinA=sinAcosB+sinBcosA，‎ 所以，3sinBsinA=sinBcosA，‎ ‎，，3sinA=cosA，……………………………………8分 ‎，‎ ‎……………………………………10分 又由1知，，‎ ‎………………………………………………12分 由正弦定理得，‎ ‎ ………………………………………………………………………14分