2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§11-3　条件概率、二项分布及正态分布（讲解部分） 15页

§11.3 条件概率、二项分布及正态分布 高考数学 考点一　条件概率、相互独立事件及二项分布 　　1.条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件 A 和 B ,在已知事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率 叫做条件概率,用符号 P ( B | A )来表示,其公式为 P ( B | A )=①             . 考点清单 (2)条件概率具有的性质 (i)0 ≤ P ( B | A ) ≤ 1; (ii)如果 B 和 C 是两个互斥事件,则 P ( B ∪ C | A )= P ( B | A )+ P ( C | A ). 2.相互独立事件 (1)对于事件 A 、 B ,若 A 的发生与 B 的发生互不影响,则称 A 、 B 是相互独立事件. (2)若 A 与 B 相互独立,则 P ( B | A )= P ( B ), P ( AB )= P ( B | A )· P ( A )= P ( A )· P ( B ). (3)若 A 与 B 相互独立,则 A 与   ,   与 B ,   与   也都相互独立. (4)若 P ( AB )= P ( A ) P ( B ),则 A 与 B 相互独立. 3.独立重复试验与二项分布 　　4.二项分布的均值与方差 若 X ~ B ( n , p ),则 EX =②      np      , DX =③      np (1- p )     . 独立重复试验 二项分布 定义 一般地,在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验 一般地,在 n 次独立重复试验中,设事件 A 发生的次数为 X ,在每次试验中事件 A 发生的概率为 p ,此时称随机变量 X 服从二项分布,记作 X ~ B ( n , p ) 计算 公式 用 A i ( i =1,2, … , n )表示第 i 次试验结果,则 P ( A 1 A 2 … A n )= P ( A 1 )· P ( A 2 ) … P ( A n ) 在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P ( X = k )=   p k (1- p ) n - k ( k =0,1,2, … , n ) 考点二　正态分布 　　1.正态曲线及其特点 (1)正态曲线的定义 函数 φ μ , σ ( x )=   ·   , x ∈(- ∞ ,+ ∞ )(其中实数 μ 和 σ ( σ >0)为参数)的图象为 正态分布密度曲线,简称正态曲线. (2)正态曲线的特点 (i)曲线位于 x 轴上方且与 x 轴不相交; (ii)曲线是单峰的,它关于直线④      x = μ      对称; (iii)曲线在 x = μ 处达到峰值   ; (iv)曲线与 x 轴之间的面积为1; (v)当 σ 一定时,曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴移动; (vi)当 μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定, σ 越小,曲线越“瘦高”; σ 越大,曲线越 “矮胖”. 2.正态分布 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数 a , b ( a < b ),随机变量 X 满足 P ( a < X ≤ b )=   φ μ , σ ( x )d x ,则称 X 的 分布为正态分布,记作⑤      X ~ N ( μ , σ 2 )     . (2)正态分布的三个常用数据 (i) P ( μ - σ < X ≤ μ + σ ) ≈ 0.682 7; (ii) P ( μ -2 σ < X ≤ μ +2 σ ) ≈ 0.954 5; (iii) P ( μ -3 σ < X ≤ μ +3 σ ) ≈ 0.997 3. 考法一 　独立重复试验及二项分布问题的求解方法 知能拓展 例1     (2018广东顺德一模,19)某市市民用水拟实行阶梯水价,每人月用水 量不超过 w 立方米的部分按4元/立方米收费,超出 w 立方米的部分按10元/ 立方米收费,从该市随机调查了100位市民,获得了他们某月的用水量数据, 整理得到如下频率分布直方图,并且前四组频数成等差数列. (1)求 a , b , c 的值及居民月用水量在2~2.5内的频数; (2)根据此次调查,为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米,应将 w 定为 多少?(精确到小数点后2位) (3)若将频率视为概率,现从该市随机调查3名居民的月用水量,将月用水量 不超过2.5立方米的人数记为 X ,求其分布列及均值. 解题导引        (2)利用频率分布直方图估计 w .   解析 　(1)∵前四组频数成等差数列, ∴所对应的   也成等差数列, 设 a =0.2+ d , b =0.2+2 d , c =0.2+3 d , ∴0.5 × (0.2+0.2+ d +0.2+2 d +0.2+3 d +0.2+ d +0.1+0.1+0.1)=1, 解得 d =0.1,∴ a =0.3, b =0.4, c =0.5. 居民月用水量在2~2.5内的频率为0.5 × 0.5=0.25. 居民月用水量在2~2.5内的频数为0.25 × 100=25. (2)由题图及(1)可知,居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8,∴为使80%以 上居民月用水价格为4元/立方米,应规定 w =2.5+   × 0.5 ≈ 2.83. (3)将频率视为概率,设 A (单位:立方米)代表居民月用水量,可知 P ( A ≤ 2.5)= 0.7, 由题意, X ~ B (3,0.7), P ( X =0)=   × 0.3 3 =0.027, P ( X =1)=   × 0.3 2 × 0.7=0.189, P ( X =2)=   × 0.3 × 0.7 2 =0.441, P ( X =3)=   × 0.7 3 =0.343. ∴ X 的分布列为 　　∵ X ~ B (3,0.7),∴ E ( X )= np =2.1. X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 方法总结 　1. n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率求法: n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次可看作   个互斥事件的和,其中每 一个事件都可看作 k 个 A 事件与( n - k )个   事件同时发生,只是发生的次序不 同,其发生的概率都是 p k (1- p ) n - k (其中 p 为在一次试验中事件 A 发生的概率). 因此, n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率为   p k (1- p ) n - k . 2.写二项分布时,首先确定随机变量 X 的取值,然后用公式 P ( X = k )=   p k (1- p ) n - k 计算概率即可. 3.若离散型随机变量 X ~ B ( n , p ),则 E ( X )= np , D ( X )= np (1- p ),即其均值和方差的 求解既可以利用定义,也可以直接代入上述公式. 考法二 　正态分布问题的解题方法 例2     (2018河北石家庄新华模拟,19)“过大年,吃水饺”是我国不少地方 过春节的一大习俗.2018年春节前夕, A 市某质检部门随机抽取了100包某 种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标值,所得频率分布直方图如下: (1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数   (同一组中 的数据用该组区间的中点值作代表); (2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值 Z 服从正态分布 N ( μ , σ 2 ), 利用该正态分布,求 Z 落在(14.55,38.45)内的概率; ②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4 包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为 X ,求 X 的分布列和数 学期望. 附:计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为 σ =   ≈ 11.95; 若 ξ ~ N ( μ , σ 2 ),则 P ( μ - σ < ξ ≤ μ + σ )=0.682 6, P ( μ -2 σ < ξ ≤ μ +2 σ )=0.954 4. 解题导引      解析 　(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数   =5 × 0.1+15 × 0.2+25 × 0.3+35 × 0.25+45 × 0.15=26.5. (2)①∵ Z 服从正态分布 N ( μ , σ 2 ),且 μ =26.5, σ ≈ 11.95,∴ P (14.55< Z <38.45)= P (26.5-11.95< Z <26.5+11.95)=0.682 6,∴ Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.682 6. ②根据题意得 X ~ B   , P ( X =0)=     =   ; P ( X =1)=     =   ; P ( X =2)=     =   ; P ( X =3)=     =   ; P ( X =4)=     =   .∴ X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P           　　∴ E ( X )=4 ×   =2. 方法总结     1.对于正态分布 N ( μ , σ 2 ),由 x = μ 是正态曲线的对称轴知 (1) P ( X ≥ μ )= P ( X ≤ μ )=0.5; (2)对任意的 a 有 P ( X < μ - a )= P ( X > μ + a ); (3) P ( X < x 0 )=1- P ( X ≥ x 0 ); (4) P ( a < X < b )= P ( X < b )- P ( X ≤ a ). 2.服从 N ( μ , σ 2 )的随机变量 X 在某个区间内取值的概率的求法: (1)利用 P ( μ - σ < X ≤ μ + σ ), P ( μ -2 σ < X ≤ μ +2 σ ), P ( μ -3 σ < X ≤ μ +3 σ )的值直接求; (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间的面积为1这些特殊性质 求解.