【数学】2020届一轮复习北师大版 集合与常用逻辑用语 课时作业 6页

‎2020届一轮复习北师大版 集合与常用逻辑用语 课时作业 一、选择题 ‎1．若p是真命题，q是假命题，则(　　)‎ A．p且q是真命题 B．p或q是假命题 C．非p是真命题 D．非q是真命题 ‎[答案]　D ‎[解析]　本题主要考查逻辑联结词．利用命题真值表进行判断．根据命题真值表知，q是假命题，非q是真命题．‎ ‎2．设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图像关于直线x＝对称．则下列判断正确的是(　　)‎ A．p为真 B．非q为假 C．p且q为假 D．p或q为真 ‎[答案]　C ‎[解析]　本题考查命题真假的判断．p为假命题，q为假命题．所以p∧q为假命题．‎ 对“p且q”真假判定：全真为真，一假则假．‎ ‎3．下列命题中既是“p或q”形式，又是真命题的是(　　)‎ A．方程x2－x＋2＝0的两根是－2,1‎ B．方程x2＋x＋1＝0没有实根 C．2n－1(n∈Z)是奇数 D．a2＋b2≥0(a，b∈R)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　A选项中－2,1都不是方程的根；B选项不是“p或q”的形式；C选项也不是“p或q”的形式；D选项中a2＋b2≥0由a2＋b2>0或a2＋b2＝0构成，且是真命题，故选D．‎ ‎4．如果命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，则(　　)‎ A．命题p和命题q都是假命题 B．命题p和命题q都是真命题 C．命题p和命题“非q”真值不同 D．命题p和命题“非q”真值相同 ‎[答案]　D ‎[解析]　“p或q”为真，“p且q”为假，则p、q一个真一个假，故命题p和命题“非q”真值相同．‎ ‎5．已知p与q是两个命题，给出下列命题：‎ ‎①只有当命题p与q同时为真时，命题“p或q”才能为真；‎ ‎②只有当命题p与q同时为假时，命题“p或q”才能为假；‎ ‎③只有当命题p与q同时为真时，命题“p且q”才能为真；‎ ‎④只有当命题p与q同时为假时，命题“p且q”才能为假．‎ 其中真命题是(　　)‎ A．③　　　　　　 B．②和③‎ C．②和④ D．③和④‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　利用“p或q”与“p且q”真假表判断．‎ ‎6．p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在抛物线y＝－x2上，则使“p且q”为真命题的一个点P(x，y)是(　　)‎ A．(0，－3) B．(1,2)‎ C．(1，－1) D．(－1,1)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由题意知点P(x，y)的坐标满足 ，验证各选项知，只有C成立．‎ 二、填空题 ‎7．分别用“p或q”、“p且q”、“非p”填空：‎ ‎(1)命题“2是偶数且为质数”是________________的形式；‎ ‎(2)命题“|x－1|>1的解为x>2或x<‎0”‎的是________________的形式；‎ ‎(3)命题“－3不小于零”是________________的形式．‎ ‎[答案]　(1)p且q　(2)p或q　(3)非p ‎8．已知命题p：函数f(x)＝log0.5(3－x)的定义域为(－∞，3)；命题q：若k<0，则函数h(x)＝在(0，＋∞)上是增函数．则下列结论中错误的是________________．‎ ‎①命题“p且q”为真； ②命题“p或¬q”为假；‎ ‎③命题“p或q”为假； ④命题“非p且非q”为假．‎ ‎[答案]　②③‎ ‎[解析]　由3－x>0，得x<3，所以命题p为真，命题¬p为假．‎ 又由k<0，易知函数h(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，所以命题q为真，命题¬q为假．‎ 综上可知命题“p且q”为真，命题“p或¬q”为真，命题“p或q”为真，命题“¬p且¬q”为假．‎ 三、解答题 ‎9．分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题的真假：‎ ‎(1)p：2＋2＝5，q：3>2；‎ ‎(2)p：9是质数，q：8是12的约数；‎ ‎(3)p：∅{0}，q：∅＝{0}．‎ ‎[解析]　(1)p假q真 故“p且q”为假，“p或q”为真，“非p”为真 ‎(2)p假q假 故“p且q”为假，“p或q”为假，“非p”为真 ‎(3)p真q假 故“p且q”为假，“p或q”为真，“非p”为假．‎ ‎10．指出下列命题的真假：‎ ‎(1)命题：“不等式|x＋2|≤0没有实数解”；‎ ‎(2)命题：“－1是偶数或奇数”；‎ ‎(3)命题：“属于集合Q，也属于集合R”；‎ ‎(4)命题：“A⃘(A∪B)”．‎ ‎[解析]　(1)此命题是“非p”的形式，其中，p：不等式|x＋2|≤0有实数解．因为x＝－2是该不等式的一个解，所以命题p是真命题，即非p为假命题．所以原命题为假命题．‎ ‎(2)此命题是“p或q”的形式，其中，p：－1是偶数；q：－1是奇数．因为命题p为假命题，命题q为真命题，所以命题“p或q”为真命题．故原命题为真命题．‎ ‎(3)此命题为“p且q”的形式，其中，p：∈Q；q：∈R，因命题p为假命题，命题q为真命题，所以，命题“p且q”为假命题，故原命题为假命题．‎ ‎(4)此命题为“非p”的形式，其中，p：A⊆(A∪B)．因p是真命题，所以“非p”是假命题．故原命题为假命题．‎ 一、选择题 ‎1．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是(　　)‎ A．(非p)或q B．p且q C．(非p)或(非q) D．(非p)且(非q)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　本题考查命题的真假．‎ 命题p：所有有理数都是实数为真命题．‎ 命题q：正数的对数都是负数是假命题．‎ 非p为假命题，非q是真命题，(非p)或(非q)是真命题，故选C．‎ ‎2．命题s具有“p或q”形式，已知“p且r”是真命题，那么s是(　　)‎ A．假命题 B．真命题 C．与命题q的真假性有关 D．与命题r的真假性有关 ‎[答案]　B ‎[解析]　由题意可知，“p且r”是真命题，则可知p是真命题，则可知“p或q”是真命题．‎ ‎3．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R为减函数．‎ 则在命题q1：p1或p2，q2：p1且p2，q3：(非p1)或p2和q4：p1且(非p2)中，真命题是(　　)‎ A．q1，q3 B．q2，q3‎ C．q1，q4 D．q2，q4‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　本小题考查了命题的相关知识，结合指数函数的单调性，综合考查了含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题真假．‎ p1是真命题，则非p1为假命题；p2是假命题，则非p2为真命题；‎ ‎∴q1：p1或p2是真命题，q2：p1且p2是假命题，‎ ‎∴q3：(非p1)或p2为假命题，q4：p1且(非p2)为真命题．‎ ‎∴真命题是q1，q4，故选C．‎ ‎4．已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥‎0”‎，命题q：“存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0.”若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．{a|a≤－2或a＝1} B．{a|a≤－2或1≤a≤2}‎ C．{a|a≥1} D．{a|－2≤a≤1}‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　“p且q”为真，即p、q同为真．对于命题p，任意x∈[1,2]，x2－a≥0恒成立，只需12－a≥0成立，即a≤1；对于命题q，存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0成立，只需保证判别式Δ＝‎4a2－4(2－a)≥0，∴a≤－2或a≥1，∴a≤－2或a＝1，故选A．‎ 二、填空题 ‎5．已知命题p：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2，命题q：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3，那么p且q：________________，其真假是________________；p或q：________________，其真假是________________．‎ ‎[答案]　方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2且方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3　假命题 方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2或方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3　假命题 ‎[解析]　∵p：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2，‎ q：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3，‎ ‎∴p且q：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2且方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3，为假命题．‎ p或q：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2或方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3，为假命题．‎ ‎6．已知命题p：函数f(x)＝lg的定义域为R；命题q：关于x的不等式＜1＋ax对一切正实数均成立．如果命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，则实数a的取值范围为____________________．‎ ‎[答案]　1≤a≤2‎ ‎[解析]　因为f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，所以即a＞2.因为＜1＋ax(x＞0)⇒a＞⇒a＞恒成立，又因为x＞0，所以＜1，解得a≥1.因为命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，所以p，q中一个为真一个为假．所以或解得1≤a≤2.‎ 三、解答题 ‎7．写出下列命题的否定：‎ ‎(1)a、b、c都相等；‎ ‎(2)任何三角形的外角都至少有两个钝角；‎ ‎(3)(x－2)(x＋5)>0.‎ ‎[解析]　(1)a、b、c不都相等，也就是说a、b、c中至少有两个不相等．‎ ‎(2)存在一个三角形，其外角最多有一个是钝角．‎ ‎(3)因为(x－2)(x＋5)>0表示x<－5或x>2，‎ 所以它的否定是x≥－5且x≤2，即－5≤x≤2.‎ 另解：(x－2)(x＋5)>0的否定是(x－2)(x＋5)≤0，‎ 即－5≤x≤2.‎ ‎8．设有两个命题，命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数，如果p且q为假命题，p或q为真命题，求a的取值范围．‎ ‎[解析]　对于p：因为不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅，所以Δ＝[－(a＋1)]2－4＜0.解这个不等式得：－3＜a＜1.对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数，则有a ‎＋1＞1，所以a＞0.又p且q为假命题，p或q为真命题，所以p、q必是一真一假．‎ 当p真q假时有－3＜a≤0，当p假q真时a≥1.‎ 综上所述，a的取值范围是(－3,0]∪[1，＋∞)．‎