湖北省武汉市新洲一中阳逻校区2019-2020学年高一上学期九月摸底考试数学试题 17页

www.ks5u.com 新洲一中阳逻校区2022届高一年级九月摸底考试 数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.设集合，，则下列关系中正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 为元素, 是集合,且属于集合,故应该用元素与集合之间的关系.‎ ‎【详解】因为成立所以属于 ,所以 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查元素与集合的关系.‎ ‎2.下列函数中，是同一函数的是（ ）‎ A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 逐一考查所给函数的性质：‎ A．与函数对应关系不一致，不是同一个函数；‎ B．两函数的对应关系不一致，不是同一个函数；‎ C．函数的定义域为，函数的定义域为R，不是同一个函数；‎ D．函数与定义域和对应关系都相同，是同一个函数.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：‎ 判断两个函数是否为相同函数．一是定义域是否相同，二是对应关系即解析式是否相同(注意解析式可以等价化简).‎ ‎3.已知集合，，则=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对集合进行化简，然后求出。‎ ‎【详解】,，‎ ‎,故本题选A。‎ ‎【点睛】本题考查了集合的交集运算。对于本题来说，易错点是集合的元素特征，‎ 它其实就是求函数值域。‎ ‎4.下列函数中，在上为增函数的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 对于A,函数的图象是抛物线，对称轴是x=2，当x<2时是减函数，x>2时是增函数，∴不满足题意；‎ 对于B,函数，∴当 时，是增函数，x<1时，是减函数，∴满足题意；‎ 对于C,函数，当x<−1，x>−1时，函数是减函数，∴不满足题意；‎ 对于D,函数的图象是抛物线，对称轴是x=−1，当x>−1时是减函数，x<−1时是增函数，∴不满足题意；故选B.‎ ‎5.已知函数g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝(x≠0)，则f()等于(　　)‎ A. 1 B. 3 C. 15 D. 30‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 令1－2x＝，得x＝，∴f()＝＝15，故选C ‎6.已知的定义域为，则函数,则的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，则，即定义域为，故选A。‎ ‎7.已知函数满足，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将换成得出关系式算出的表达式,再代入算.‎ ‎【详解】由,将换成有,‎ 即,故有 ‎ ,两式相减化简得 ‎,故.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】已知,故可以考虑将换成再得出新的关系式,从而算得.‎ ‎8.下面四个函数：①②③④.其中值域为的函数有（ ）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：注意到分段函数值域是每支函数值域的并集，显然①④值域为R，②的值域，③的值域为 考点：函数的值域 ‎9.若不等式的解集是，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可得2,3为的两根,利用韦达定理算出的关系式,再将换成同一参数再求的根即可.‎ ‎【详解】因为不等式的解集是,‎ 故且2,3为的两根.‎ 根据韦达定理有 ,故,故可写成 ‎,因为所以 解得或,即 故选：A.‎ ‎【点睛】二次不等式的解集的端点值为二次函数的零点,注意二次函数开口方向影响不等式的取值在区间内还是区间外.‎ ‎10.函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），则实数a的取值范围是( )‎ A. （﹣∞，+∞） B. [0，） C. （，+∞） D. [0，]‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得ax2+4ax+3≠0恒成立，讨论a为0和不为0，判别式小于0，解不等式即可得到所求范围．‎ ‎【详解】函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），‎ 可得ax2+4ax+3≠0恒成立，‎ 当a＝0时，3≠0恒成立；‎ 当a≠0时，△＜0，即16a2﹣12a＜0，‎ 解得0＜a．‎ 综上可得a的范围是[0，）．‎ 故答案为B．‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义域为R，求参数的范围，注意运用分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎11.已知函数在上递增，则a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分和两种情况分别求解，可得所求范围．‎ ‎【详解】①当时，，在上没有单调性，不合题意；‎ ‎②当时，函数图象的对称轴为,‎ ‎∵函数在上递增，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】解答本题时注意两点：（1）对的取值要进行分类讨论，以确定函数的类型；（2）二次函数在给定区间上的单调性取决于抛物线的开口方向和对称轴与区间的关系，解题时要结合函数的图象求解，以增强解题的直观性．‎ ‎12.用表示非空集合中的元素个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值集合是，则（ ）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为等价于或，且 ‎，所以要么是单元素集，要么是三元素集。‎ ‎（1）若是单元素集，则方程有两个相等实数根，方程无实数根，故；‎ ‎（2）若是三元素集，则方程有两个不相等实数根，方程有两个相等且异于方程的实数根，即且。‎ 综上所求或，即，故，应选答案B。‎ 点睛：解答本题的关键是充分借助题设中的新定义的新概念及新运算，运用等价转化的数学思想将问题进行等价转化，从而使得问题巧妙获解。‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.函数的定义域为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 函数有意义，则：，‎ 求解关于实数的不等式组可得：，‎ 则不等式的解集为：.‎ ‎14.已知，，，则的值为________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可知,再根据集合中的包含关系得出再分析计算即可.‎ ‎【详解】由,可得,又故,所以 ‎,解得 故答案为：3‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的互异性,由此列出相应的表达式进行求解.‎ ‎15.已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可知为单调递增函数,故利用分段函数的单调性需要满足的关系式进行列式求解.‎ ‎【详解】由可知为单调递增函数,故中 有与均为增函数,且在处的值小于.可得 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】分段函数单调递增,需满足在各自区间上单调递增,且在分段处的函数值也满足单调性.‎ ‎16.已知定义在上的函数满足，且当时，．若对定义域上任意都有成立，则的最小值是_______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可先算出定义在中的函数表达式,再由求的最大值即可.‎ ‎【详解】由题意,当时, ,故由且当时，有,‎ 即,即.‎ 又当时为减函数,故当,,‎ 又当时,为增函数,故当时,,‎ 故在上, ,又对定义域上任意都有成立,故的最小值是2.‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题主要考查根据不同区间上的函数之间的关系,求解不同区间上的函数表达式问题.‎ 方法是将所求的区间上的定义域凑到满足区间条件的定义域中去,从而利用已知的函数表达式求所求区间的函数表达式.‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.已知集合，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简集合,画出数轴，由交集运算即可求解；（2）在数轴上画出集合，由知的位置，即可求解.‎ ‎【详解】当时，，，‎ 由图可知， .‎ ‎（2），由（1）知，若，则由图可知，‎ 故实数取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的运算和集合间的基本关系，在已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，考查数形结合与运算能力，属于基础题.‎ ‎18.已知函数 的定义域为集合 ，‎ ‎ ，‎ ‎（1）求， ；‎ ‎（2）若 ，求实数 的取值范围．‎ ‎【答案】（1） , （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出集合A，化简集合B，根据 根据集合的运算求，（CRA）∩B；‎ ‎（2）若A∪C=R，则可以比较两个集合的端点，得出参数所满足的不等式解出参数的取值范围．‎ ‎【详解】（1）由题意，解得7＞x≥3，故A={x∈R|3≤x＜7}，‎ B={x∈Z|2＜x＜10}═{x∈Z|3，4，5，6，7，8，9}，‎ ‎∴（CRA）∩B={7，8，9}‎ ‎（2）∵A∪C=R，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}‎ ‎∴解得3≤a＜6‎ 实数a取值范围是3≤a＜6‎ ‎【点睛】本题考查集合关系中的参数取值问题，解题的关键是理解集合运算的意义，能借助数轴等辅助工具正确判断两个集合的关系及相应参数的范围，本题中取参数的范围是一个难点，易因为错判出错，求解时要注意验证等号能否成立．‎ ‎19.已知定义在的一次函数为单调增函数，且值域为．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求函数的解析式并确定其定义域．‎ ‎【答案】（1），；（2）；定义域为．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据一次函数可设,再根据单调性可知求解即可. (2)由(1)中算得的即可算得解析式,又的值域满足的定义域可求得.‎ ‎【详解】（1）根据题意，为一次函数且在单调增函数，‎ 设，‎ 又由其值域为，则有，解可得，‎ 则，；‎ ‎（2）由（1）的结论，，‎ 则；‎ 又由的定义域为，‎ 则有，解可得；‎ 则函数的定义域为．‎ ‎【点睛】(1)已知函数类型为一次函数可直接设再根据条件列式算. (2)复合函数中的内函数需满足的定义域 ‎20.已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值为12．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值．‎ ‎【答案】（1）．（2）.最小值 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据是二次函数，且的解集是可设出的零点式,再根据在区间上的最大值在对称轴处取得为12即可算出对应的参数.‎ ‎(2)由(1)求得后改写成顶点式,再根据对称轴与区间的位置关系,分情况进行讨论即可.‎ ‎【详解】（1）是二次函数，且的解集是，‎ ‎∴可设，‎ 可得在区间在区间上函数是减函数，区间上函数是增函数．‎ ‎∵，，，‎ ‎∴在区间上的最大值是，得．‎ 因此，函数的表达式为．‎ ‎（2）由（1）得，函数图象的开口向上，对称轴为，‎ ‎①当时，即时，在上单调递减，‎ 此时的最小值；‎ ‎②当时，在上单调递增，‎ 此时的最小值；‎ ‎③当时，函数在对称轴处取得最小值，‎ 此时，，‎ 综上所述，得的表达式为，‎ 当，取最小值 ‎【点睛】本题主要考查二次函数的性质.遇到含参数的最值问题时,注意讨论对称轴与区间的位置关系,分别为对称轴在区间左侧,右侧与对称轴在区间内即可.‎ ‎21.小张经营某一消费品专卖店，已知该消费品的进价为每件40元，该店每月销售量（百件）与销售单价x（元/件）之间的关系用下图的一折线表示，职工每人每月工资为1000元，该店还应交付的其它费用为每月10000元.‎ ‎（1）把y表示为x的函数；‎ ‎（2）当销售价为每件50元时，该店正好收支平衡（即利润为零），求该店的职工人数；‎ ‎（3）若该店只有20名职工，问销售单价定为多少元时，该专卖店可获得最大月利润？（注：利润=收入-支出）‎ ‎【答案】（1）（2）30名员工（3）销售单价定为55或70元时，该专卖店月利润最大 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用待定系数法分别求出当和时的解析式，进而可得所求结果；（2）设该店有职工m名，根据题意得到关于m的方程，求解可得所求；（3）由题意得到利润的函数关系式，根据分段函数最值的求法可得所求．‎ ‎【详解】（1）当时，设，‎ 由题意得点在函数的图象上，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴当时，．‎ 同理，当时，．‎ ‎∴所求关系式为 ‎（2）设该店有职工m名，‎ 当x=50时，该店的总收入为元，‎ 又该店的总支出为1000m+10000元，‎ 依题意得40000=1000m+10000,‎ 解得：m=30.‎ 所以此时该店有30名员工．‎ ‎（3）若该店只有20名职工，‎ 则月利润 ‎①当时，，‎ 所以x=55时，S取最大值15000元； ‎ ‎②当时，，‎ 所以x=70时，S取最大值15000元；‎ 故当x=55或x=70时，S取最大值15000元，‎ 即销售单价定为55或70元时，该专卖店月利润最大．‎ ‎【点睛】解决函数应用问题重点解决以下几点：‎ ‎（1）阅读理解、整理数据：通过分析快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；‎ ‎（2）建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记函数的定义域；‎ ‎（3）求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值；‎ ‎（4）回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来．‎ ‎22.设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数，都有；②当时， ；③.‎ ‎（1）求， 的值；‎ ‎（2）证明在上是减函数；‎ ‎（3）如果不等式成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) （2）减函数（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）运用赋值法对①式中的进行赋值可得，结合③与①可得；（2）运用函数单调性的定义和条件①，可证函数单调递减；（3）利用①与，可将原不等式转化为，利用函数单调性和定义域可将其转化为具体的不等式求解，得结果．‎ 试题解析：（1）令易得，而，‎ 且，得；‎ ‎（2），‎ ‎∴，‎ ‎∴在上为减函数.‎ ‎（3）由条件（1）及（1）的结果得：，其中，‎ 由（2）得：，解得的范围是.‎ 点睛：本题主要考查函数的奇偶性与单调性.对于抽象函数不等式,一般根据函数的奇偶性将它转化为的形式,然后利用函数的单调性将抽象函数不等式转化成具体的不等式,但不能改变变量的定义域. 对于奇函数,其图像关于原点中心对称,由图知其在关于原点对称的区间单调性相同;偶函数的图像关于 轴对称,偶函数在关于原点对称的区间单调性相反.‎ ‎ ‎