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- 2021-07-01 发布
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2.2.3 向量的数乘
整体设计
教学分析
向量的数乘运算,其实是加法运算的推广及简化,与加法、减法统称为向量的三大线性
运算.教学时从加法入手,引入数乘运算,充分展现了数学知识之间的内在联系.实数与向
量的乘积,仍然是一个向量,既有大小,也有方向.特别是所得向量与已知向量是共线向量,
进而引出共线向量定理.共线向量定理是本章节中重要的内容,应用相当广泛,且容易出
错.尤其是定理的前提条件:向量 a 是非零向量.共线向量定理的应用主要用于证明点共线
或平行等几何性质,且与后续的知识有着紧密的联系.
三维目标
1.通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程,掌握实数与向量积的定义,理解实
数与向量积的几何意义.掌握实数与向量的积的运算律.理解两个向量共线的等价条件,能
够运用两向量共线条件判定两向量是否平行.
2.通过探究,体会类比迁移的思想方法,渗透研究新问题的思想和方法,培养创新能
力和积极进取精神.通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用.
重点难点
教学重点:1.实数与向量积的意义.
2.实数与向量积的运算律.
3.两个向量共线的等价条件及其运用.
教学难点:对向量共线的等价条件的理解运用.
课时安排
1 课时
教学过程
导入新课
思路 1.(直接引入)前面两节课,我们一起学习了向量加减法运算,这一节,我们将在
加法运算的基础上研究相同向量和的简便计算及推广.在代数运算中,a+a+a=3a,故实
数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法,所以相同向量的求和运算也有类似的简便
计算.
思路 2.(问题引入)一物体做匀速直线运动,一秒钟的位移对应的向量为 a,那么在同一
方向上 3 秒钟的位移对应的向量怎样表示?是 3a 吗?怎样用图形表示?由此展开新课.
推进新课
新知探究
实数与向量积的定义及运算律.
活动:教师引导学生回顾相关知识并猜想结果,对于运算律的验证,点拨学生通过作图
来进行.通过学生的动手作图,让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义.教师要引
导学生特别注意 0·a=0,而不是 0·a=0.这个零向量是一个特殊的向量,它似乎很不起眼,
但又处处存在,稍不注意就会出错,所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间
的关系.实数与向量可以求积,但是不能进行加、减运算,比如λ+a,λ-a 都无法进行.向
量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似,只是数乘运算的分配律有两种不同的形
式:(λ+μ)a=λa+μa 和λ(a+b)=λa+λb,数乘运算的关键是等式两边向量的模相
等,方向相同.判断两个向量是否平行(共线),实际上就是看能否找出一个实数,使得这个
实数乘以其中一个向量等于另一个向量.一定要切实理解两向量共线的条件,它是证明几何
中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段.
实数λ与向量 a 相乘,叫做向量的数乘(scalar multiplication of vectors).
事实上,通过作图 1 可发现,OC→=OA→+AB→+BC→=a+a+a.类似数的乘法,可把 a+a+a
记作 3a,即OC→=3a.显然 3a 的方向与 a 的方向相同,3a 的长度是 a 的长度的 3 倍,
即|3a|=3|a|.同样,由图可知,
PN→=PQ→+QM→+MN→=(-a)+(-a)+(-a),
图 1
即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).显然 3(-a)的方向与 a 的方向相反,3(-a)的长度
是 a 的长度的 3 倍,这样,3(-a)=-3a.
上述过程推广后即为实数与向量的积.
我们规定实数λ与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,它的
长度与方向规定如下:
(1)|λa|=|λ||a|.
(2)当λ>0 时,λa 的方向与 a 的方向相同;当λ<0 时,λa 的方向与 a 的方向相反.
由(1)可知,λ=0 时,λa=0.
根据实数与向量的积的定义,我们可以验证下面的运算律.
设λ、μ为实数,那么
1λ μ a =λμ a;
2λ +μ a=λa+μa;
3λ a+b =λa+λb.
特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.
关于向量共线的条件,教师要点拨学生做进一步深层探究,让学生思考,若去掉 a≠0
这一条件,上述条件成立吗?其目的是通过 0 与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条
件的认识.在判断两个非零向量是否共线时,只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可,
与这两个向量的长度无关.在没有指明非零向量的情况下,共线向量可能有以下几种情况:
(1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)同向且模相等;(4)同向且模不等;(5)反向
且模相等;(6)反向且模不等.
教师与学生一起归纳总结:数与向量的积仍是一个向量,向量的方向由实数的正负及原
向量的方向确定,大小由|λ||a|确定.
它的几何意义是把向量 a 沿 a 的方向或 a 的反方向放大或缩小.
向量的平行与直线的平行是不同的,直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共
点;而向量的平行既包含没有交点的情况,又包含两个向量在同一条直线上的情形.
应用示例
思路 1
例 1 课本本节例 2.
变式训练
1.计算:
(1)(-3)×4a;(2)3(a+b)-2(a-b)-a;(3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c).
解:(1)原式=(-3×4)a=-12a;(2)原式=3a+3b-2a+2b-a=5b;
(3)原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c.
点评:运用向量运算的运算律,解决向量的数乘.其运算过程可以仿照多项式运算中的“合
并同类项”.
2.若 3m+2n=a,m-3n=b,其中 a、b 是已知向量,求 m、n.
解:∵3m+2n=a,①
m-3n=b,②
3×②,得 3m-9n=3b,③
①-③,得 11n=a-3b,
∴n= 1
11
a- 3
11
b.④
将④代入②,有 m=b+3n= 3
11
a+ 2
11
b.
点评:此题可把已知条件看作向量 m、n 的方程,通过方程组的求解获得 m、n.在此题求解
过程中,利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律,从而解向量的二元一次
方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.
例 2 课本本节例 1.
变式训练
如图 2(1),已知任意两个非零向量 a、b,试作OA→=a+b,OB→=a+2b,OC→=a+3b.你能
判断 A、B、C 三点之间的位置关系吗?为什么?
活动:本题给出了利用向量共线判断三点共线的方法,这是判断三点共线常用的方法.教
学中可以先引导学生作图,通过观察图形得到 A、B、C 三点共线的猜想,再将平面几何中判
断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线.本题只需引导学生理清思路,具体过程
可由学生自己完成.另外,本题是一个很好的与信息技术整合的题材,教学中可以通过计算
机作图,进行动态演示,揭示向量 a、b 变化过程中,A、B、C 三点始终在同一条直线上的
规律.
(1) (2)
图 2
解:如图 2(2)分别作向量OA→、OB→、OC→,过点 A、C 作直线 AC〔如图 2(2)〕.观察发现,不
论向量 a、b 怎样变化,点 B 始终在直线 AC 上,猜想 A、B、C 三点共线.
事实上,因为AB→=OB→-OA→=a+2b-(a+b)=b,
而AC→=OC→-OA→=a+3b-(a+b)=2b,于是AC→=2AB→.
所以 A、B、C 三点共线.
点评:关于三点共线问题,学生接触较多,这里是用向量证明三点共线,方法是必须先
证明两个向量共线,并且有公共点.教师引导学生解完后进行反思,体会向量证法的新颖独
特.
例 3 课本本节例 3.
变式训练
如图 3, ABCD 的两条对角线相交于点 M,且AB→=a,AD→=b,你能用 a、b 表示MA→、MB→、
MC→和MD→吗?
图 3
活动:本题的解答要用到平行四边形的性质.另外,用向量表示几何元素(点、线段等)是用
向量方法证明几何问题的重要步骤,教学中可以给学生明确指出这一点.
解:在 ABCD 中,
∵AC→=AB→+AD→=a+b,DB→=AB→-AD→=a-b,
又∵平行四边形的两条对角线互相平分,
∴MA→=-1
2
AC→=-1
2
(a+b)=-1
2
a-1
2
b,
MB→=1
2
DB→=1
2
(a-b)=1
2
a-1
2
b,
MC→=1
2
AC→=1
2
a+1
2
b,MD→=-MB→=-1
2
DB→=-1
2
a+1
2
b.
点评:结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则,将两个向量的和或差表示
出来,这是解决这类几何题的关键.
思路 2
例 1 凸四边形 ABCD 的边 AD、BC 的中点分别为 E、F,求证:EF→=1
2
(AB→+DC→).
活动:教师引导学生探究,能否构造三角形,使 EF 作为三角形的中位线,借助于三角
形中位线定理解决.或创造相同起点,以建立向量间的关系.鼓励学生多角度观察思考问题.
图 4
证明:方法一:过点 C 在平面内作CG→=AB→,则四边形 ABGC 是平行四边形,故 F 为 AG
的中点(如图 4).
∴EF 是△ADG 的中位线.
∴EF 1
2
DG,∴EF→=1
2
DG→.
而DG→=DC→+CG→=DC→+AB→,
∴EF→=1
2
(AB→+DC→).
方法二:如图 5,连 EB、EC,则有EB→=EA→+AB→,EC→=ED→+DC→,
图 5
又∵E 是 AD 的中点,∴有EA→+ED→=0,即有EB→+EC→=AB→+DC→.
以EB→与EC→为邻边作 EBGC,则由 F 是 BC 的中点,可得 F 也是 EG 的中点.∴EF→=1
2
EG→=
1
2
(EB→+EC→)=1
2
(AB→+DC→).
点评:向量的运算主要从以下几个方面加强练习:(1)加强数形结合思想的训练,画出
草图帮助解决问题;(2)加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习.做到准确熟练运用.
例 2 课本本节例 4.
变式训练
1.若非零向量 a、b 满足|a+b|=|b|,则( )
A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b|
C.|2b|>|a+2b| D.|2b|<|a+2b|
答案:C
2.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若AD→=2DB→,CD→=1
3
CA→+λCB→,则λ等于( )
A.2
3
B.1
3
C.-1
3
D.-2
3
答案:A
知能训练
课本本节练习.
课堂小结
1.让学生回顾本节学习的数学知识,向量的数乘运算法则,向量的数乘运算律,向量
共线的条件.体会本节学习中用到的思想方法:特殊到一般、归纳、猜想、类比、分类讨论、
等价转化.
2.向量及其运算与数及其运算可以类比,这种类比是我们提高思想性的有效手段,在
今后的学习中应予以充分的重视,它是我们学习中伟大的引路人.
作业
课本习题 2.2 8、9.
设计感想
1.本教案的设计流程符合新课程理念,充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证
等活动,引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题.先由学生探究向量数乘的结果还是向
量(特别地,0·a=0),它的几何意义是把向量 a 沿 a 的方向或 a 的反方向放大或缩小,当
λ>0 时,λa 与 a 方向相同,当λ<0 时,λa 与 a 方向相反;向量共线定理用来判断两个向
量是否共线,然后对所探究的结果进行运用拓展.
2.向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现,因而成为中学
数学知识网络的一个交汇点,由此可看出在中学数学教材中的地位的重要,也成为近几年各
地高考命题的重点和热点,教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理.
备课资料
一、向量的数乘运算律的证明
设 a、b 为任意向量,λ、μ为任意实数,则有
(1)λ(μa)=(λμ)a;①
(2)(λ+μ)a=λa+μa;②
(3)λ(a+b)=λa+λb.③
证明:(1)如果λ=0 或μ=0 或 a=0,则①式显然成立.
如果λ≠0,μ≠0,且 a≠0,则根据向量数乘的定义有:
|λ(μa)|=|λ||μa|=|λ||μ||a|,
|(λμ)a|=|λμ||a|=|λ||μ||a|,
所以|λ(μa)|=|(λμ)a|.
如果λ、μ同号,则①式两边向量的方向都与 a 同向;如果λ、μ异号,则①式两边向
量的方向都与 a 反向.
因此,向量λ(μa)与(λμ)a 有相等的模和相同的方向,所以这两个向量相等.
(2)如果λ=0 或μ=0 或 a=0,则②显然成立.
如果λ≠0,μ≠0 且 a≠0,可分如下两种情况:
当λ、μ同号时,则λa 和μa 同向,所以
|(λ+μ)a|=|λ+μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|,
|λa+μa|=|λa|+|μa|=|λ||a|+|μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|,
即有|(λ+μ)a|=|λa+μa|.
由λ、μ同号,知②式两边向量的方向或都与 a 同向,或都与 a 反向,即②式两边向量
的方向相同.
综上所述,②式成立.
如果λ、μ异号,当λ>μ时,②式两边向量的方向都与λa 的方向相同;当λ<μ时,
②式两边向量的方向都与μa 的方向相同.
还可证|(λ+μ)a|=|λa+μa|.因此②式也成立.
(3)当 a=0,b=0 中至少有一个成立,或λ=0,λ=1 时,③式显然成立.
当 a≠0,b≠0 且λ≠0,λ≠1 时,可分如下两种情况:
当λ>0 且λ≠1 时,如图 6,在平面内任取一点 O 作OA→=a,AB→=b,OA1
→=λa,A1B1
→ =
λb;则OB→=a+b,OB1
→=λa+λb.
图 6
由作法知AB→∥A1B1
→ ,有∠OAB=∠OA1B1,|A1B1
→ |=λ|AB→|,
所以
|OA1
→|
|OA→|
=
|A1B1
→ |
|AB→|
=λ.所以△AOB∽△A1OB1.
所以
|OB1
→|
|OB→|
=λ,∠AOB=∠A1OB1.
因此 O、B、B1 在同一条直线上,|OB1
→|=|λOB→|,OB1
→与λOB→的方向也相同.
所以λ(a+b)=λa+λb.
当λ<0 时,由图 7 可类似证明λ(a+b)=λa+λb.
图 7
所以③式也成立.
二、备用习题
1.1
3
[1
2
(2a+8b)-(4a-2b)]等于( )
A.2a-b B.2b-a C.b-a D.a-b
2.设两非零向量 e1、e2 不共线,且 ke1+e2 与 e1+ke2 共线,则 k 的值为( )
A.1 B.-1
C.±1 D.0
3.若向量方程 2x-3(x-2a)=0,则向量 x 等于( )
A.6
5
a B.-6a
C.6a D.-6
5
a
4.在△ABC 中,AE→=1
5
AB→,EF∥BC,EF 交 AC 于 F,设AB→=a,AC→=b,则BF→用 a、b 表示
的形式是BF→=________.
5.在△ABC 中,M、N、P 分别是 AB、BC、CA 边上的靠近 A、B、C 的三等分点,O 是△ABC
平面上的任意一点,若OA→+OB→+OC→=1
3
e1-1
2
e2,则OM→+ON→+OP→=________.
6.已知△ABC 的重心为 G,O 为坐标原点,OA→=a,OB→=b,OC→=c,
求证:OG→=1
3
(a+b+c).
参考答案:
1.B 2.C 3.C
4.-a+1
5
b 5.1
3
e1-1
2
e2
6.证明:连结 AG 并延长,设 AG 交 BC 于 M.
∵AB→=b-a,AC→=c-a,BC→=c-b,
∴AM→=AB→+1
2
BC→=(b-a)+1
2
(c-b)=1
2
(c+b-2a).
∴AG→=2
3
AM→=1
3
(c+b-2a).
∴OG→=OA→+AG→=a+1
3
(c+b-2a)=1
3
(a+b+c).
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