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- 2021-07-01 发布
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长郡中学高一年级“停课不停学”线上教学效果检测考试
数学
时量:120分钟 满分:100分
得分_____________
一、选择题:本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个项中,只有一项是符合题目要求的
1.圆的方程为,则圆心坐标为( )
A. B. C. D.
2.在等差数列中,,,则( )
A.32 B.45 C.64 D.96
★3.已知的内角、、的对边分别为、、,且a,若,则的外接圆的半径为( )
A. B. C.3 D.6
★4.经过点,的直线在轴上的截距为( )
A.2 B.27 C. D.
★5.平面与平面平行的条件可以是( )
A.内有无数多条直线都与平行
B.直线,,且,
C.直线,,且直线不在内,也不在内
D.一个平面内两条不平行的直线都平行于另一个平面
6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
7.在中,,则一定是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
8.已知直线与圆相交所得的弦长为,则的值为( )
A.2 B.1 C. D.
★9.已知圆柱的高为1,它的外接球的直径为2,则该圆柱的表面积为( )
A. B. C. D.
★10.已知各项均为正数的等比数列的前项和为,且满足,,成等差数列,则( )
A.3 B.9 C.10 D.13
★11.如图,在三棱锥中,为棱的中点.若,,则异面直线与所成的角为( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
12.各项均为实数的等比数列前项之和记为,若,,则等于( )
A.150 B. C.150或 D.或400
13.在中,角,,所对的边分别为,,,已知,,为使此三角形有两个,则满足的条件是( )
A. B. C. D.或
14.三棱锥中,平面且,是边长为的等边三角形,则该三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
15.对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下:若两直线中至少有一条与圆相切,则称该位置关系为“平行相切”;若两直线都与圆相离,则称该位置关系为“平行相离”;否则称为“平行相交”已知直线,与圆的位置关系是“平行相交”,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分.
★16.若等差数列的前项和,则实数的值为________.
★17.入射光线从出发,经轴反射后,通过点,则入射光线所在直线的方程为________.
★18.在正方体中,截面与底面所成的面角的正切值为________.
★19.如图,在中,是边上的点,且,,,则的值为_________.
20.如图,正方形的边长为,已知,将沿边折起,折起后
点在平面上的射影为点,则翻折后的几何体中有如下描述:
①与所成角的正切值是;
②;
③的体积是;
④平面平面;
⑤直线与平面所成角为30°.
其中正确的有________.(填写你认为正确的序号)
三、解答题:本大题共5个小题,每小题8分,共40分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
21.在中,角,,所对的边分别是,,,若,且.
(1)求的值;
(2)若,求.
★22.如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,,平面,,.
(1)证明:平面平面;
(2)求点到平面的距离.
★23.已知圆.
(1)若直线与圆相切,求实数的值;
(2)若圆与圆无公共点,求的取值范围.
24.如图,四边形是边长为3的正方形,平面,平面,.
(1)证明:平面平面;
(2)在上是否存在一点,使平面将几何体分成上下两部分的体积比为3∶11?若存在,求出点的位置;若不存在,请说明理由.
25.已知数列中,,前项和.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为,是否存在实数,使得对一切正整数都成立?若存在,求出的最小值;若不存在,请说明理由.
长郡中学高一年级“停课不停学”线上教学交果检测考试
数学参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
答案
D
B
A
B
D
A
C
C
A
C
B
A
C
C
D
12.A 【解析】因为是等比数列,所以有,,
二式相除得,,整理得,解得或(舍),
所以有,所以,故答案为A.
13.C 【解析】到的距离。
∴当时,符合条件的三角形有两个,故答案为C.
14.C 【解析】根据已知中底面是边长为的正三角形,底面,
可得此三棱锥外接球,即为以为底面,以为高的正三棱柱的外接球,
∵是边长为的正三角形,∴的外接圆半径,
球心到的外接圆圆心的距离,故球的半径,
故三棱锥外接球的表面积,故答案为C.
15.D 【解析】圆的标准方程为.由两直线平行,可得,
解得或.
当时,直线与重合,舍去;当时,,.
由与圆相切,得,由与圆相切,得.
当、与圆都外离时,.
所以,当、与圆“平行相交”时,满足
故实数的取值花围是.故答案为D.
二、填空题
16. 17. 18.
19. 【解析】设,∴,,在
中,由余弦定理得,∴,∴,在中,由正弦定理得,∴,∴.
20.①②④⑤ 【解析】由题意,,,平面,,.由于,∴(或其补角)为与所成角,
∵,,,∴,∴,故①正确;
由图象可知与是异面垂直,故②正确;
的体积是,故③错误;
∵平面,平面,∴,
∵,,∴平面,
∵平面,∴平面平面,故④正确;
连接交于,则,∵平面平面,∴平面,连接,则为直线与平面所成角,在中,,,∴,则,故⑤正确.
三、解答题
21.【解析】(1)由,可得,
即,即,
由余弦定理可得.
(2)由(1)及三角函数的基本关系式,可得,
在中,由正弦定理可得,所以.
22.【解析】(1)证明:由已知得,
,,∴,∴,
∵平面,平面,∴,∵,∴平面,
∵平面,∴平面平面.
(2)由(1)得平面,∴,,,
设点到平面的距离为,∵,
∴,∴,
解得,∴点到平面的距离为.
23.【解析】(1)圆的标准方程为,
∴圆的圆心为,半径为,
若直线与圆相切,则有,解得或,
故实数的值为1或.
(2)圆的圆心为,圆的圆心为,则,
若圆与圆无公共点,则或,
解得或,故的取值范围为.
24.【解析】(1)∵平面,平面,
∴,∴平面,
∵是正方形,,∴平面,
∴,平面,平面,
∴平面平面.
(2)假设存在一点,过作交于,连接,,,
,
设,而,
过点作,交于点,连接.
设到的距离为,则,,,
∴,解得,即存在点且满足条件.
25.【解析】(1)∵,∴,
∴,
整理得,∴,
两式相减得,
即,∴,
即,∴数列是等差数列,且,得,则公差,
∴.
(2)由(1)知,∴,
∴,
则要使得对一切正整数都成立,只要,所以只要,
∴存在实数,使得对一切正整数都成立,且的最小值为.