高考理科数学复习练习作业39 13页

专题层级快练(三十九)‎ ‎(第一次作业)‎ ‎1．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝(　　)‎ A．2　　　　　　　　　　　 B．－2‎ C. D．－ 答案　D 解析　S1＝a1，S2＝a1＋a2＝2a1－1，S4＝4a1－6.‎ ‎∵S22＝S1S4，∴(2a1－1)2＝a1(4a1－6)．∴4a12－4a1＋1＝4a12－6a1⇒a1＝－.‎ ‎2．(2017·山西四校联考)已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则＝(　　)‎ A．1＋ B．1－ C．3＋2 D．3－2 答案　C 解析　因为a1，a3，2a2成等差数列，所以a3×2＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，所以q2＝1＋2q，解得q＝1＋或q＝1－(舍)，所以＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2.‎ ‎3．已知{an}是等差数列，a1＝15，S5＝55，则过点P(3，a2)，Q(4，a4)的直线的斜率为(　　)‎ A．4 B. C．－4 D．－ 答案　C 解析　S5＝5a1＋d，所以5×15＋10d＝55，即d＝－2.所以kPQ＝＝2d＝－4.‎ ‎4．(2016·四川)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)‎ ‎(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)‎ A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年 答案　B 解析　根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{an}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1>200，两边同时取对数，得n－1>，又≈＝3.8，则n>4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.‎ ‎5．已知各项均不为0的等差数列{an}，满足2a3－a72＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝(　　)‎ A．2 B．4‎ C．8 D．16‎ 答案　D 解析　因为{an}为等差数列，所以a3＋a11＝2a7，所以已知等式可化为4a7－a72＝0，解得a7＝4或a7＝0(舍去)，又{bn}为等比数列，所以b6b8＝b72＝a72＝16.‎ ‎6．某林厂年初有森林木材存量S立方米，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x立方米，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x的值是 ‎(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　[(1＋)S－x](1＋)－x＝(1＋)S，x＝.‎ ‎7．已知{an}，{bn}均为等差数列，且a2＝8，a6＝16，b2＝4，b6＝a6，则由{an}，{bn}的公共项组成的新数列{cn}的通项公式cn＝(　　)‎ A．3n＋4 B．6n＋2‎ C．6n＋4 D．2n＋2‎ 答案　C 解析　设{an}的公差为d1，{bn}的公差为d2，‎ 则d1＝＝＝2，d2＝＝＝3.∴an＝a2＋(n－2)×2＝2n＋4，‎ bn＝b2＋(n－2)×3＝3n－2.‎ ‎∴数列{an}为6，8，10，12，14，16，18，20，22，…，数列{bn}为1，4，7，10，13，16，19，22，….‎ ‎∴{cn}是以10为首项，以6为公差的等差数列．‎ ‎∴cn＝10＋(n－1)×6＝6n＋4.‎ ‎8．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于(　　)‎ A．24 B．32‎ C．48 D．64‎ 答案　D 解析　依题意有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1.两式相除，得＝2.‎ 所以a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…也成等比数列．‎ 而a1＝1，a2＝2，所以a10＝2·24＝32，a11＝1·25＝32.‎ 又因为an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64.‎ ‎9．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为(　　)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ a b c A.1 B．2‎ C．3 D．4‎ 答案　A 解析　由题意知，a＝，b＝，c＝.故a＋b＋c＝1，故选A.‎ ‎10．(2017·衡水中学调研卷)在1到104之间所有形如2n与形如3n(n∈N*)的数，它们各自之和的差的绝对值为(lg2≈0.301 0)(　　)‎ A．1 631 B．6 542‎ C．15 340 D．17 424‎ 答案　B 解析　由2n<104，得n<≈13.29，故数列{2n}在1到104之间的项共有13项，它们的和S1＝＝16 382；同理，数列{3n}在1到104之间的项共有8项，它们的和S2＝＝9 840，∴|S1－S2|＝6 542.‎ ‎11．数列{an}是等差数列，若a1，a3，a4是等比数列{bn}中的连续三项，则数列{bn}的公比为________．‎ 答案　或1‎ 解析　设数列{an}的公差为d，由题可知，a32＝a1·a4，可得(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，整理得(a1＋4d)d＝0，解得d＝0或a1＝－4d.当d＝0时，等比数列{bn}的公比为1；当a1＝－4d时，a1，a3，a4分别为－4d，－2d，－d，所以等比数列{bn}的公比为.‎ ‎12．(2017·广东潮州期末)从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.‎ 答案　4‎ 解析　设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为1，操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比a1＝，设操作n次后，纯酒精体积与总溶液体积之比为an，则an＋1＝an·，∴an＝a1qn－1＝()n，∴()n<，解得n≥4.‎ ‎13．(2016·四川)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.‎ ‎(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝2，求e12＋e22＋…＋en2.‎ 答案　(1)an＝2n－1(n∈N*)　(2)n＋(3n－1)‎ 解析　(1)由已知Sn＋1＝qSn＋1，得Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1.‎ 又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，故an＋1＝qan对所有n≥1都成立．‎ 所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．从而an＝qn－1.‎ 由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，‎ 所以a3＝2a2，故q＝2，所以an＝2n－1(n∈N*)．‎ ‎(2)由(1)可知，an＝qn－1.‎ 所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝.‎ 由e2＝＝2解得q＝.‎ 所以e12＋e22＋…＋en2＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)]‎ ‎＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]＝n＋＝n＋(3n－1)．‎ ‎14．(2017·江西省宜春中学与新余一中联考)设函数f(x)＝＋sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}．‎ ‎(1)求数列{xn}的通项公式；‎ ‎(2)令bn＝，设数列{}的前n项和为Sn，求证Sn<.‎ 答案　(1)xn＝2nπ－(n∈N*)　(2)略 解析　(1)f(x)＝＋sinx，令f′(x)＝＋cosx＝0，得x＝2kπ±(k∈Z)．‎ 由f′(x)>0⇒2kπ－b2 B．a3b5 D．a6>b6‎ 答案　A 解析　设等差数列的公差、等比数列的公比分别为d，q，则由题意得解得则a2－b2＝3－>3－＝0；故选A.‎ ‎4．(2017·保定模拟)如图所示，矩形AnBnCnDn的一个边AnBn在x轴上，另外两个顶点Cn，Dn在函数f(x)＝x＋(x>0)的图像上．若点Bn的坐标为(n，0)(n≥2，n∈N*)，记矩形AnBnCnDn的周长为an，则a2＋a3＋…＋a10等于(　　)‎ A．208 B．216‎ C．212 D．220‎ 答案　B 解析　由Bn(n，0)，得Cn(n，n＋)，令x＋＝n＋，即x2－(n＋)x＋1＝0，得x＝n或x＝，所以Dn(，n＋)，所以矩形AnBnCnDn的周长an＝2(n－)＋2(n＋)＝4n.所以a2＋a3＋…＋a10＝4(2＋3＋…＋10)＝216.故选B.‎ ‎5．(2017·遵义一中月考)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S9＝－36，S13＝－104，等比数列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7，则b6＝________．‎ 答案　±4 解析　在等差数列{an}中，由S9＝－36，S13＝－104，得 即 解得a1＝4，d＝－2.所以a5＝a1＋4d＝－4，a7＝a1＋6d＝－8，所以b5＝－4，b7＝－8，在等比数列{bn}中，b62＝b5b7＝32，所以b6＝±＝±4.‎ ‎6．(2017·河北教学质量监测)已知函数y＝x2(x>0)的图像在点(ak，ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1(k∈N*)．若a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________．‎ 答案　21‎ 解析　由题意，得函数y＝x2(x>0)的图像在点(ak，ak2)处的切线方程是y－ak2＝2ak(x－ak ‎)．令y＝0，得x＝ak，即ak＋1＝ak，因此数列{ak}是以16为首项，为公比的等比数列，所以ak＝16·()k－1＝25－k，所以a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.‎ ‎7．(2017·合肥质检)一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过__________分钟，该病毒占据64MB内存(1MB＝210KB)．‎ 答案　45‎ 解析　依题意可知a0＝2，a1＝22，a2＝23，…，an＝2n＋1.‎ ‎64MB＝64×210＝216KB，令2n＋1＝216得n＝15.‎ ‎∴开机后45分钟该病毒占据64MB内存．‎ ‎8．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是－x，另一个是x＋3.设第n次生成的数的个数为an，则数列{an}的前n项和Sn＝________；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为Tn，则T4＝________．‎ 答案　2n－1，10‎ 解析　由题意可知，依次生成的数字个数是首项为1，公比为2的等比数列，‎ 故Sn＝＝2n－1.‎ 当x＝1时，第1次生成的数为1，第2次生成的数为－1，4，第3次生成的数为1，2；－4，7，第4次生成的数为－1，4；－2，5；4，－1；－7，10.故T4＝10.‎ ‎9．(2015·浙江)已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N*)．‎ ‎(1)求an与bn；‎ ‎(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.‎ 答案　(1)an＝2n，bn＝n　(2)Tn＝(n－1)2n＋1＋2‎ 解析　(1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*)．‎ 由题意知：当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2.‎ 当n≥2时，bn＝bn＋1－bn，整理得＝，所以bn＝n(n∈N*)．‎ ‎(2)由①知anbn＝n·2n，因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，‎ ‎2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1.‎ 故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*)．‎ ‎10．(2014·山东，理)已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4‎ 成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)令bn＝(－1)n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 答案　(1)an＝2n－1‎ ‎(2)Tn＝(或Tn＝)‎ 解析　(1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2，S4＝4a1＋×2＝4a1＋12，‎ 由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，所以an＝2n－1.‎ ‎(2)bn＝(－1)n－1＝(－1)n－1＝(－1)n－1(＋)．‎ 当n为偶数时，Tn＝(1＋)－(＋)＋…＋(＋)－(＋)＝1－＝.‎ 当n为奇数时，Tn＝(1＋)－(＋)＋…－(＋)＋(＋)＝1＋＝.‎ 所以Tn＝ ‎(或Tn＝)．‎ ‎11．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N＋)，等差数列{bn}满足b3＝3，b5＝9.‎ ‎(1)分别求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝(n∈N＋)，求证：cn＋1loga(1－a)对任意正整数n恒成立，求实数a的取值范围．‎ 答案　(1)an＝n　(2)(0，)‎ 解析　(1)∵点(n，Sn)在函数f(x)＝x2＋x的图像上，∴Sn＝n2＋n. ①‎ 当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)． ②‎ ‎①－②，得an＝n.当n＝1时，a1＝S1＝＋＝1，符合上式，∴an＝n.‎ ‎(2)由(1)得＝＝(－)，‎ ‎∴Tn＝＋＋＋…＋ ‎＝×(1－)＋×(－)＋×(－)＋…＋×(－)＋×(－)‎ ‎＝(1＋－－)＝－(＋)．‎ ‎∵Tn＋1－Tn＝>0，数列{Tn}单调递增．∴(Tn)min＝T1＝.‎ 要使不等式Tn>loga(1－a)对任意正整数n恒成立，只要>loga(1－a)即可．‎ ‎∵1－a>0，∴0a，得00时，2kπ－