- 4.74 MB
- 2021-07-01 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
H 解析几何
H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
22.H1、H2、H7[2012·浙江卷] 如图1-6,在直角坐标系xOy中,点P到抛物线C:y2=2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分.
(1)求p,t的值;
(2)求△ABP面积的最大值.
图1-6
22.解:(1)由题意知
得
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为Q(m,m),
由题意知,设直线AB的斜率为k(k≠0).
由得
(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2.
故k·2m=1.
所以直线AB方程为y-m=(x-m),
即x-2my+2m2-m=0.
由消去x,整理得
y2-2my+2m2-m=0,
所以Δ=4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1·y2=2m2-m.
从而|AB|=·|y1-y2|
=·.
设点P到直线AB的距离为d,则
d=.
设△ABP的面积为S,则
S=|AB|·d=|1-2(m-m2)|·.
由Δ=4m-4m2>0,得0<m<1.
令u=,0<u≤,则
S=u(1-2u2),
设S(u)=u(1-2u2),0<u≤,则S′(u)=1-6u2.
由S′(u)=0得u=∈,所以
S(u)max=S=.
故△ABP面积的最大值为.
17.H1、H7[2012·浙江卷] 定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a=________.
17.[答案]
[解析] 本题在新定义背景下考查直线、圆和抛物线的方程,一、二次曲线之间的位置关系与导数几何意义等基础知识,考查学生综合运用知识的能力和学情,考查函数方程和数形结合的数学思想.求出曲线C1到直线l的距离和曲线C2到直线l的距离,建立等式,求出参数a的值. 曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为圆心到直线的距离与圆的半径之差,即d-r=-=,由y=x2+a可得y′=2x,令y′=2x=1,则x=,在曲线C1上对应的点P,所以曲线C1到直线l的距离即为点P到直线l的距离,故=,所以=,可得=2,a=-或a=,当a=-时,曲线C1:y=x2-与直线l:y=x相交,两者距离为0,不合题意,故a=.
4.H1、F1[2012·上海卷] 若d=(2,1)是直线l的一个方向向量,则l的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示).
4.arctan [解析] 考查直线的方向向量、斜率与倾斜角三者之间的关系,关键是求出直线的斜率.
由已知可得直线的斜率k=,k=tanα,所以直线的倾斜角α=arctan.
20.H5、F1、H1[2012·陕西卷] 已知椭圆C1:+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程.
20.解:(1)由已知可设椭圆C2的方程为+=1(a>2),
其离心率为,故=,则a=4,
故椭圆C2的方程为+=1.
(2)解法一:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),
由=2及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,
因此可设直线AB的方程为y=kx.
将y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以x=,
将y=kx代入+=1中,得(4+k2)x2=16,所以x=,
又由=2得x=4x,即=,
解得k=±1,故直线AB的方程为y=x或y=-x.
解法二:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),
由=2及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,
因此可设直线AB的方程为y=kx.
将y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以x=,
由=2得x=,y=,
将x,y代入+=1中,得=1,
即4+k2=1+4k2,解得k=±1,
故直线AB的方程为y=x或y=-x.
H2 两直线的位置关系与点到直线的距离
22.H1、H2、H7[2012·浙江卷] 如图1-6,在直角坐标系xOy中,点P到抛物线C:y2=2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分.
(1)求p,t的值;
(2)求△ABP面积的最大值.
图1-6
22.解:(1)由题意知
得
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为Q(m,m),
由题意知,设直线AB的斜率为k(k≠0).
由得
(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2.
故k·2m=1.
所以直线AB方程为y-m=(x-m),
即x-2my+2m2-m=0.
由消去x,整理得
y2-2my+2m2-m=0,
所以Δ=4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1·y2=2m2-m.
从而|AB|=·|y1-y2|
=·.
设点P到直线AB的距离为d,则
d=.
设△ABP的面积为S,则
S=|AB|·d=|1-2(m-m2)|·.
由Δ=4m-4m2>0,得0<m<1.
令u=,0<u≤,则
S=u(1-2u2),
设S(u)=u(1-2u2),0<u≤,则S′(u)=1-6u2.
由S′(u)=0得u=∈,所以
S(u)max=S=.
故△ABP面积的最大值为.
H3 圆的方程
20.H3、H7、H8[2012·课标全国卷] 设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.
(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;
(2)若A、B、F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.
20.解:(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p.
由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=p.
因为△ABD的面积为4,
所以|BD|·d=4,即·2p·p=4,
解得p=-2(舍去),p=2.
所以F(0,1),圆F的方程为
x2+(y-1)2=8.
(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.
由抛物线定义知
|AD|=|FA|=|AB|,
所以∠ABD=30°,m的斜率为或-.
当m的斜率为时,由已知可设n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0.
由于n与C只有一个公共点,故Δ=p2+8pb=0.
解得b=-.
因为m的截距b1=,=3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.
当m的斜率为-时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.
21.H3、H7、H8[2012·福建卷] 如图1-4所示,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上.
图1-4
(1)求抛物线E的方程;
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q,证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.
21.解:解法一:(1)依题意,|OB|=8,∠BOy=30°.
设B(x,y),则x=|OB|sin30°=4,y=|OB|cos30°=12.
因为点B(4,12)在x2=2py上,所以(4)2=2p×12,解得p=2.
故抛物线E的方程为x2=4y.
(2)由(1)知y=x2,y′=x.
设P(x0,y0),则x0≠0,且l的方程为
y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-x.
由得
所以Q.
假设以PQ为直径的圆恒过定点M,由图形的对称性知M必在y轴上,设M(0,y1),令·=0对满足y0=x(x0≠0)的x0,y0恒成立.
由于=(x0,y0-y1),=.
由·=0,得-y0-y0y1+y1+y=0.
即(y+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)
由于(*)式对满足y0=x(x0≠0)的y0恒成立,所以
解得y1=1.
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).
解法二:
(1)同解法一.
(2)由(1)知y=x2,y′=x,
设P(x0,y0),则x0≠0,且l的方程为
y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-x.
由得
所以Q.
取x0=2,此时P(2,1),Q(0,-1),以PQ为直径的圆为(x-1)2+y2=2,交y轴于点M1(0,1)或M2(0,-1);取x0=1,此时P,Q,以PQ为直径的圆为2+2=,交y轴于M3(0,1)或M4.
故若满足条件的点M存在,只能是M(0,1).
以下证明点M(0,1)就是所要求的点.
因为=(x0,y0-1),=,
·=-2y0+2=2y0-2-2y0+2=0.
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M.
21.H3、H5、H8[2012·湖北卷] 设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点,l是过点A与x轴垂直的直线,D是直线l与x轴的交点,点M在直线l上,且满足|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1).当点A在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;
(2)过原点斜率为k的直线交曲线C于P,Q两点,其中P在第一象限,且它在y轴上的射影为点N,直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m,使得对任意的k>0,都有PQ⊥PH?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
21.解:(1)如图(1),设M(x,y),A(x0,y0),则由|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1),
可得x=x0,|y|=m|y0|,所以x0=x,|y0|=|y|.①
因为A点在单位圆上运动,所以x+y=1.②
将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x2+=1(m>0,且m≠1).
因为m∈(0,1)∪(1,+∞),所以
当0<m<1时,曲线C是焦点在x轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为(-,0),(,0);
当m>1时,曲线C是焦点在y轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为(0,-),(0,).
(2)方法1:如图(2)、(3),对任意k>0,设P(x1,kx1),H(x2,y2),则Q(-x1,-kx1),N(0,kx1),直线QN的方程为y=2kx+kx1,将其代入椭圆C的方程并整理可得(m2+4k2)x2+4k2x1x+k2x-m2=0.
依题意可知此方程的两根为-x1,x2,于是由韦达定理可得
-x1+x2=-,即x2=.
因为点H在直线QN上,
所以y2-kx1=2kx2=.
于是=(-2x1,-2kx1),=(x2-x1,y2-kx1)=.
而PQ⊥PH等价于·==0,
即2-m2=0,又m>0,得m=,
故存在m=,使得在其对应的椭圆x2+=1上,对任意的k>0都有PQ⊥PH.
方法2:如图(2)、(3),对任意x1∈(0,1),设P(x1,y1),H(x2,y2),则Q(-x1,-y1),N(0,y1),
因为P,H两点在椭圆C上,所以两式相减可得m2(x-x)+(y-y)=0.③
依题意,由点P在第一象限可知,点H也在第一象限,且P,H不重合,
故(x1-x2)(x1+x2)≠0.于是由③式可得
=-m2.④
又Q,N,H三点共线,所以kQN=kQH,即=.
于是由④式可得kPQ·kPH=·=·=-,
而PQ⊥PH等价于kPQ·kPH=-1,即-=-1,又m>0,得m=,
故存在m=,使得在其对应的椭圆x2+=1上,对任意的k>0,都有PQ⊥PH.
H4 直线与圆、圆与圆的位置关系
6.H4[2012·陕西卷] 已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则( )
A.l与C相交 B.l与C相切
C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能
6.A [解析] 本小题主要考查直线与圆的位置关系,解题的突破口为熟练掌握判断直线与圆位置关系的方法.x2+y2-4x=0是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,而点P(3,0)到圆心的距离为d==1<2,点P(3,0)恒在圆内,过点P(3,0)不管怎么样画直线,都与圆相交.故选A.
7.H4[2012·辽宁卷] 将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是( )
A.x+y-1=0 B.x+y+3=0
C.x-y+1=0 D.x-y+3=0
7.C [解析] 本小题主要考查直线与圆的位置关系.解题的突破口为弄清平分线的实质是过圆心的直线,即圆心符合直线方程.
圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4,所以圆心为(1,2),把点(1,2)代人A、B、C、D,不难得出选项C符合要求.
5.H4[2012·湖北卷] 过点P(1,1)的直线,将圆形区域分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( )
A.x+y-2=0 B.y-1=0
C.x-y=0 D.x+3y-4=0
5.A [解析] 要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大,通过观察图形,显然只需该直线与直线OP垂直即可,又已知P(1,1),则所求直线的斜率为-1,又该直线过点P(1,1),易求得该直线的方程为x+y-2=0.故选A.
8.H4[2012·广东卷] 在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点,则弦AB的长等于( )
A.3 B.2
C. D.1
8.B [解析] 考查直线与圆相交求弦长,突破口是“弦心距、半径、弦长之半构成直角三角形”,利用勾股定理计算.由点到直线的距离得,弦心距d==1,所以弦长AB=2=2,所以选择B.9.H4[2012·北京卷] 直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得的弦长为________.
9.2 [解析] 本题考查直线和圆的位置关系、考查简单的平面几何知识.
法一:几何法:圆心到直线的距离为d==,圆的半径r=2,所以弦长为l=2×=2=2;
法二:代数法:联立直线和圆的方程 消去y可得x2-2x=0,所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2),(0,0),弦长为=2.
9.H4[2012·安徽卷] 若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是( )
A.[-3,-1] B.[-1,3]
C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
9.C [解析] 因为直线x-y+1=0与圆2+y2=2有公共点,所以圆心到直线的距离d=≤r=,可得≤2,即a∈.
7.H4[2012·福建卷] 直线x+y-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长度等于( )
A.2 B.2 C. D.1
7.B [解析] 根据圆的方程知,圆的圆心为(0,0),半径R=2,弦心距d==1,所以弦长|AB|=2=2,所以选择B.
12.H4[2012·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是________.
12. [解析] 本题考查用几何方法判定两圆的位置关系.解题突破口为设出圆的圆心坐标.
圆C方程可化为(x-4)2+y2=1圆心坐标为(4,0),半径为1,由题意,直线y=kx-2上至少存在一点(x0,kx0-2),以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,因为两个圆有公共点,故≤2,整理得(k2+1)x2-(8+4k)x+16≤0,此不等式有解的条件是Δ=(8+4k)2-64(k2+1)≥0,解之得0≤k≤,故最大值为.
14.H4[2012·江西卷] 过直线x+y-2=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P的坐标是________.
14.(,) [解析] 设切点为A,B,设P(x,2-x),连结PA,PB,PO,则|PO|=2|OA|=2,即x2+(2-x)2=4,整理得x2-2x+2=0,解得x=,故P的坐标为(,).
22.H6、H4[2012·上海卷] 在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:2x2-y2=1.
(1)设F是C的左焦点,M是C右支上一点.若|MF|=2,求点M的坐标;
(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积;
(3)设斜率为k(|k|<)的直线l交C于P、Q两点.若l与圆x2+y2=1相切,求证:OP⊥OQ.
22.解:(1)双曲线C:-y2=1,左焦点F,
设M(x,y),则|MF|2=2+y2=2,
由M点是右支上一点,知x≥,所以|MF|=x+=2,得x=,
所以M.
(2)左顶点A,渐近线方程:y=±x.
过点A与渐近线y=x平行的直线方程为
y=,即y=x+1.
解方程组得
所以所求平行四边形的面积为S=|OA||y|=.
(3)证明:设直线PQ的方程是y=kx+b,因直线PQ与已知圆相切,故=1,即b2=k2+1(*).
由得(2-k2)x2-2kbx-b2-1=0.
设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则
又y1y2=(kx1+b)(kx2+b),所以
·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2
=++b2=.
由(*)知,·=0,所以OP⊥OQ.
20.H4、H5[2012·辽宁卷] 如图1-7,动圆C1:x2+y2=t2,1b>0),右焦点为F2(c,0).
因△AB1B2是直角三角形且|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2为直角,从而|OA|=|OB2|,
即b=.结合c2=a2-b2得4b2=a2-b2,故a2=5b2,
c2=4b2,所以离心率e==.
在Rt△AB1B2中,OA⊥B1B2,故
S△AB1B2=·|B1B2|·|OA|=|OB2|·|OA|=·b=b2,
由题设条件S△AB1B2=4得b2=4,从而a2=5b2=20.
因此所求椭圆的标准方程为:+=1.
(2)由(1)知B1(-2,0)、B2(2,0).由题意,直线PQ的倾斜角不为0,故可设直线PQ的方程为:x=my-2.代入椭圆方程得
(m2+5)y2-4my-16=0.(*)
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1,y2是上面方程的两根,因此
y1+y2=,y1·y2=.
又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),所以
·=(x1-2)(x2-2)+y1y2
=(my1-4)(my2-4)+y1y2
=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16
=-+16
=-,
由PB2⊥QB2,知·=0,即16m2-64=0,解得m=±2.
当m=2时,方程(*)化为:9y2-8y-16=0,
故y1=,y2=,|y1-y2|=,
△PB2Q的面积S=|B1B2|·|y1-y2|=.
当m=-2时,同理可得(或由对称性可得)△PB2Q的面积S=.
综上所述,△PB2Q的面积为.
8.H5、H6[2012·浙江卷] 如图1-3,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,
则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
图1-3
A.3 B.2
C. D.
8.B [解析] 本题考查了椭圆与双曲线的简单几何性质,考查了学生对书本知识掌握的熟练程度,属于送分题.设椭圆、双曲线的方程分别为 + = 1(a1>b1>0),
-=1(a2>0,b2>0),由题意知c1=c2且a1=2a2,则===2.
19.H5、H8[2012·天津卷] 已知椭圆+=1(a>b>0),点P在椭圆上.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设A为椭圆的左顶点,O为坐标原点,若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线OQ的斜率的值.
19.解:(1)因为点P在椭圆上,故+=1,可得=,
于是e2==1-=,
所以椭圆的离心率e=.
(2)设直线OQ的斜率为k,则其方程为y=kx.设点Q的坐标为(x0,y0).
由条件得消去y0并整理得
x=.①
由|AQ|=|AO|,A(-a,0)及y0=kx0,得(x0+a)2+k2x=a2.整理得,(1+k2)x+2ax0=0.而x0≠0,故x0=,代入①,整理得(1+k2)2=4k2·+4.
由(1)知=,故(1+k2)2=k2+4,即5k4-22k2-15=0,可得k2=5.
所以直线OQ的斜率k=±.
4.H5[2012·课标全国卷] 设F1,F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )
A. B. C. D.
4.C [解析] 根据题意直线PF2的倾斜角是,所以a-c=|PF2|=|F1F2|=×2c,解得e=.故选C.
16.A2、H5[2012·上海卷] 对于常数m、n,“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
16.B [解析] 考查充分条件和必要条件,以及椭圆方程.判断充分条件和必要条件,首先要确定条件与结论.
条件是“mn>0”,结论是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”, 方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆,可以得出mn>0,且m>0,n>0,m≠n,而由条件“mn>0”推不出“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”.所以为必要不充分条件,选B.
20.H5、F1 [2012·陕西卷] 已知椭圆C1:+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程.
20.解:(1)由已知可设椭圆C2的方程为+=1(a>2),
其离心率为,故=,则a=4,
故椭圆C2的方程为+=1.
(2)解法一:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),
由=2及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,
因此可设直线AB的方程为y=kx.
将y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以x=,
将y=kx代入+=1中,得(4+k2)x2=16,所以x=,
又由=2得x=4x,即=,
解得k=±1,故直线AB的方程为y=x或y=-x.
解法二:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),
由=2及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,
因此可设直线AB的方程为y=kx.
将y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以x=,
由=2得x=,y=,
将x,y代入+=1中,得=1,
即4+k2=1+4k2,解得k=±1,
故直线AB的方程为y=x或y=-x.
21.H3、H5、H8[2012·湖北卷] 设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点,l是过点A与x轴垂直的直线,D是直线l与x轴的交点,点M在直线l上,且满足|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1).当点A在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;
(2)过原点斜率为k的直线交曲线C于P,Q两点,其中P在第一象限,且它在y轴上的射影为点N,直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m,使得对任意的k>0,都有PQ⊥PH?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
21.解:(1)如图(1),设M(x,y),A(x0,y0),则由|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1),
可得x=x0,|y|=m|y0|,所以x0=x,|y0|=|y|.①
因为A点在单位圆上运动,所以x+y=1.②
将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x2+=1(m>0,且m≠1).
因为m∈(0,1)∪(1,+∞),所以
当0<m<1时,曲线C是焦点在x轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为(-,0),(,0);
当m>1时,曲线C是焦点在y轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为(0,-),(0,).
(2)方法1:如图(2)、(3),对任意k>0,设P(x1,kx1),H(x2,y2),则Q(-x1,-kx1),N(0,kx1),直线QN的方程为y=2kx+kx1,将其代入椭圆C的方程并整理可得(m2+4k2)x2+4k2x1x+k2x-m2=0.
依题意可知此方程的两根为-x1,x2,于是由韦达定理可得
-x1+x2=-,即x2=.
因为点H在直线QN上,
所以y2-kx1=2kx2=.
于是=(-2x1,-2kx1),=(x2-x1,y2-kx1)=.
而PQ⊥PH等价于·==0,
即2-m2=0,又m>0,得m=,
故存在m=,使得在其对应的椭圆x2+=1上,对任意的k>0都有PQ⊥PH.
方法2:如图(2)、(3),对任意x1∈(0,1),设P(x1,y1),H(x2,y2),则Q(-x1,-y1),N(0,y1),
因为P,H两点在椭圆C上,所以两式相减可得m2(x-x)+(y-y)=0.③
依题意,由点P在第一象限可知,点H也在第一象限,且P,H不重合,
故(x1-x2)(x1+x2)≠0.于是由③式可得
=-m2.④
又Q,N,H三点共线,所以kQN=kQH,即=.
于是由④式可得kPQ·kPH=·=·=-,
而PQ⊥PH等价于kPQ·kPH=-1,即-=-1,又m>0,得m=,
故存在m=,使得在其对应的椭圆x2+=1上,对任意的k>0,都有PQ⊥PH.
21.H5、H8[2012·山东卷] 如图1-7所示,椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8.
图1-7
(1)求椭圆M的标准方程;
(2)设直线l:y=x+m(m∈R)与椭圆M有两个不同的交点P,Q,l与矩形ABCD有两个不同的交点S,T.求的最大值及取得最大值时m的值.
21.解:(1)设椭圆M的半焦距为c,由题意知
所以a=2,b=1,
因此椭圆M的标准方程为+y2=1.
(2)由整理得
5x2+8mx+4m2-4=0,
由Δ=64m2-80(m2-1)=80-16m2>0.
得-b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)已知△AF1B的面积为40,求a,b的值.
图1-4
20.解: (1)由题意可知,△AF1F2为等边三角形,a=2c,所以e=.
(2)( 方法一)a2=4c2,b2=3c2.
直线AB的方程可为y=-(x-c).
将其代入椭圆方程3x2+4y2=12c2,
得B.
所以|AB|=·=c.
由S△AF1B=|AF1|·|AB|sin∠F1AB
=a·c·=a2=40,
解得a=10,b=5.
(方法二)设|AB|=t.
因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a.
由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a可知,|BF1|=3a-t.
再由余弦定理(3a-t)2=a2+t2-2atcos60°可得,
t=a.
由S△AF1B=a·a·=a2=40知,a=10,b=5.
5.H5[2012·全国卷] 椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
5.C [解析] 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质.解题的突破口为焦距、准线与a、b、c的关系.
∵焦距为4,一条准线为x=-4,∴c=2,=4,∴a2=8,b2=4,故选C.
20.H5、H7、H8[2012·广东卷] 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.
20.解:(1)由C1的左焦点F1的坐标为(-1,0)知c=1.
因为点P(0,1)在C1上,所以b=1.
于是a=.
故C1的方程为+y2=1.
(2)由题设l同时与C1和C2相切,设切点分别为A和B,点B的坐标为(x0,y0),显然x0>0.当点B在第一象限时,点B的坐标为(x0,2).
考虑抛物线C2在第一象限的方程
y=2,x>0.
因为y′=,
所以l的斜率为,从而l的方程为:y=+.
由假设直线l与椭圆C1相切,因此方程组
有唯一解,将①代入②并整理得:
(x0+2)x2+4x0x+2x0(x0-1)=0,
所以Δ=16x-8(x0+2)x0(x0-1)
=-8x0(x0+1)(x0-2)=0.
因为x0>0,所以x0=2.
当x0=2时,直线l的方程为:y=x+.
易验证l是C1的切线.
由对称性,当切点B在第四象限时,可得l的方程为:y=-x-.
综上所述,同时与C1和C2相切的直线方程为:
y=x+,或y=-x-.
21.H5、H10[2012·湖南卷] 在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C:x2+y2-4x+2=0的圆心.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线l1,l2.当直线l1,l2都与圆C相切时,求P的坐标.
21.解:(1)由x2+y2-4x+2=0得(x-2)2+y2=2,故圆C的圆心为点(2,0).
从而可设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),其焦距为2c.由题设知c=2,e==.所以a=2c=4,b2=a2-c2=12.故椭圆E的方程为+=1.
(2)设点P的坐标为(x0,y0),l1,l2的斜率分别为k1,k2.则l1,l2的方程分别为l1:y-y0=k1(x-x0),l2:y-y0=k2(x-x0),且k1k2=.
由l1与圆C:(x-2)2+y2=2相切得
=.
即[(2-x0)2-2]k+2(2-x0)y0k1+y-2=0.
同理可得[(2-x0)2-2]k+2(2-x0)y0k2+y-2=0.
从而k1,k2是方程[(2-x0)2-2]k2+2(2-x0)y0k+y-2=0的两个实根.于是
①
且k1k2==.
由得5x-8x0-36=0.
解得x0=-2,或x0=.
由x0=-2得y0=±3;由x0=得y0=±,它们均满足①式.
故点P的坐标为(-2,3),或(-2,-3),或,或.
8.H5[2012·江西卷] 椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.-2
8.B [解析] 由椭圆的定义知,|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c.∵|AF1|,|F1F2|,|BF1|成等比数列,因此4c2=(a-c)(a+c),整理得5c2=a2,两边同除以a2得5e2=1,解得e=.故选B.
20.H4、H5[2012·辽宁卷] 如图1-7,动圆C1:x2+y2=t2,1)的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A、B,△FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是________.
15. [解析] 如图,设椭圆右焦点为F′,直线x=m与x轴相交于C,
由椭圆第一定义,|AF|+|AF′|=|BF|+|BF′|=2a,
而|AB|=|AC|+|BC|≤|AF′|+|BF′|,
∴当且仅当AB过F′时,△ABF周长最大.
此时,由|AF|+|AB|+|BF|=4a=12,
得a=3,进而c==2,
∴椭圆离心率为e==.
H6 双曲线及其几何性质
11.H6[2012·天津卷] 已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)与双曲线C2:-=1有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(,0),则a=________,b=________.
11.1 2 [解析] ∵双曲线C1与C2有共同的渐近线,∴b2=4a2.①
又∵a2+b2=5, ②
联立①②得,a=1,b=2.
15.H6[2012·辽宁卷] 已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为________.
15.2 [解析] 本小题主要考查双曲线的定义以及性质.解题的突破口为正确应用双曲线的定义.
不妨假设点P位于双曲线的右分支上,故而|PF1|-|PF2|=2a=2,所以(|PF1|-|PF2|)2=(2a)2=4⇒|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4,因为PF1⊥PF2,所以|PF1|2+|PF2|2=(2c)2 =8,所以2|PF1||PF2|=4,所以(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=12,即|PF1|+|PF2|=2.
5.H6[2012·福建卷] 已知双曲线-=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( )
A. B.
C. D.
5.C [解析] 因为双曲线的右焦点坐标为(3,0),所以c=3,b2=5,则a2=c2-b2=9-5=4,所以a=2,所以e==.
10.H6[2012·全国卷] 已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=( )
A. B.
C. D.
10.C [解析] 本小题主要考查双曲线的定义及余弦定理的应用,解题的突破口为运用双曲线的定义求出PF1和PF2的长,再用余弦定理即可求.
由双曲线的定义有|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2,∴|PF1|=2|PF2|=4,cos∠F1PF2==,故选C.
8.H5、H6[2012·浙江卷] 如图1-3,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
图1-3
A.3 B.2
C. D.
8.B [解析] 本题考查了椭圆与双曲线的简单几何性质,考查了学生对书本知识掌握的熟练程度,属于送分题.设椭圆、双曲线的方程分别为 + = 1(a1>b1>0),
-=1(a2>0,b2>0),由题意知c1=c2且a1=2a2,则===2.
6.H6[2012·湖南卷] 已知双曲线C:-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
6.A [解析] 本题考查双曲线方程和渐近线方程,意在考查考生对双曲线方程和其性质的掌握;解题思路:首先由a,b,c的关系,排除C,D,再由渐近线方程得答案A.由已知可得双曲线的焦距,2c=10,a2+b2=52=25,排除C,D,又由渐近线方程为y=x=x
,得=,解得a2=20,b2=5,所以选A.
[易错点] 本题易错一:对双曲线的几何性质不清,错以为c=10,错选C;易错二:渐近线求解错误,错解成=,从而错选B.
8.H6[2012·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1的离心率为,则m的值为________.
8.2 [解析] 本题考查双曲线离心率的求解.解题突破口是明确焦点所在轴.根据双曲线方程可得:m>0,所以e==,解之得m=2.
22.H6、H4[2012·上海卷] 在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:2x2-y2=1.
(1)设F是C的左焦点,M是C右支上一点.若|MF|=2,求点M的坐标;
(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积;
(3)设斜率为k(|k|<)的直线l交C于P、Q两点.若l与圆x2+y2=1相切,求证:OP⊥OQ.
22.解:(1)双曲线C:-y2=1,左焦点F,
设M(x,y),则|MF|2=2+y2=2,
由M点是右支上一点,知x≥,所以|MF|=x+=2,得x=,
所以M.
(2)左顶点A,渐近线方程:y=±x.
过点A与渐近线y=x平行的直线方程为
y=,即y=x+1.
解方程组得
所以所求平行四边形的面积为S=|OA||y|=.
(3)证明:设直线PQ的方程是y=kx+b,因直线PQ与已知圆相切,故=1,即b2=k2+1(*).
由得(2-k2)x2-2kbx-b2-1=0.
设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则
又y1y2=(kx1+b)(kx2+b),所以
·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2
=++b2=.
由(*)知,·=0,所以OP⊥OQ.
11.H6、H7[2012·山东卷] 已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为( )
A.x2=y
B.x2=y
C.x2=8y
D.x2=16y
11.D [解析] 本题考查双曲线、抛物线的方程及性质,考查运算求解能力,分析解决问题能力,偏难.
由双曲线-=1的离心率为2得c=2a,又∵抛物线焦点到双曲线渐近线ay=±bx的距离==2,∴p=8,即抛物线C2的方程为x2=16y.
10.H6、H7[2012·课标全国卷] 等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为( )
A. B.2
C.4 D.8
10.C [解析] 根据题意可设双曲线的方程为-=1,抛物线的准线为x=-4,代入双曲线的方程得16-y2=a2①.因为|AB|=4,所以y=±2.代入①得16-(±2)2=a2,解得a=2.所以C的实轴长为2a=4,故选C.
H7 抛物线及其几何性质
9.H7[2012·四川卷] 已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0),若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=( )
A.2 B.2 C.4 D.2
9.B [解析] 由于抛物线关于x轴对称,且经过的点M的横坐标2>0,可知抛物线开口向右,
设方程为y2=2px,准线为x=-,而M点到准线距离为3,可知-=-1,即p=2,
故抛物线方程为y2=4x.
当x=2时,可得y0=±2,
∴|OM|==2.
14.H7[2012·陕西卷] 图1-5是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽________米.
图1-5
14.2 [解析] 本小题主要考查了抛物线的知识,解题的关键是建立坐标系求出抛物线的方程.以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系,设抛物线的方程为:x2=-2py(p>0),由题意知抛物线过点,代入方程得p=1,则抛物线的方程为:x2=-2y,当水面下降1米时,为y=-3,代入抛物线方程得x=,所以此时水面宽为2米.
22.H7[2012·全国卷] 已知抛物线C:y=(x+1)2与圆M:(x-1)2+2=r2(r>0)有一个公共点A,且在A处两曲线的切线为同一直线l.
(1)求r;
(2)设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线,m、n的交点为D,求D到l的距离.
22.解:(1)设A(x0,(x0+1)2),对y=(x+1)2求导得y′=2(x+1).
故l的斜率k=2(x0+1).
当x0=1时,不合题意,所以x0≠1.
圆心为M,MA的斜率k′=.
由l⊥MA知k·k′=-1,
即2(x0+1)· =-1,
解得x0=0,故A(0,1),
r=|MA|==,
即r=.
(2)设(t,(t+1)2)为C上一点,则在该点处的切线方程为y-(t+1)2=2(t+1)(x-t),
即y=2(t+1)x-t2+1.
若该直线与圆M相切,则圆心M到该切线的距离为,即=,
化简得t2(t2-4t-6)=0,
解得t0=0,t1=2+,t2=2-.
抛物线C在点(ti,(ti+1)2)(i=0,1,2)处的切线分别为l,m,n,其方程分别为y=2x+1,①
y=2(t1+1)x-t+1,②
y=2(t2+1)x-t+1,③
②-③得x==2.
将x=2代入②得y=-1,故D(2,-1).
所以D到l的距离
d==.
14.H7[2012·安徽卷] 过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点.若|AF|=3,则|BF|=________.
14. [解析] 如图,设A,易知抛物线y2=4x的焦点为F,抛物线的准线方程为x=-1,故由抛物线的定义得=x0-=3,解得x0=2,所以y0=-2.故点A.则直线AB的斜率为k==-2,直线AB的方程为y=-2x+2,联立 消去y得2x2-5x+2=0,由x1x2=1,得A,B两点横坐标之积为1,所以点B的横坐标为.再由抛物线的定义得=-=.
21.H7、H9[2012·上海卷] 海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处,如图1-3.现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线y=x2;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t小时后,失事船所在位置的横坐标为7t.
图1-3
(1)当t=0.5时,写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?
21.解:(1)t=0.5时,P的横坐标xP=7t=,代入抛物线方程y=x2,得P的纵坐标yP=3.
由|AP|=,得救援船速度的大小为海里/时.
由tan∠OAP=,得∠OAP=arctan,故救援船速度的方向为北偏东arctan弧度.
(2)设救援船的时速为v海里,经过t小时追上失事船,此时位置为(7t,12t2).
由vt=,
整理得v2=144+337.
因为t2+≥2,当且仅当t=1时等号成立.
所以v2≥144×2+337=252,即v≥25.
因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.
11.H6、H7[2012·山东卷] 已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为( )
A.x2=y
B.x2=y
C.x2=8y
D.x2=16y
11.D [解析] 本题考查双曲线、抛物线的方程及性质,考查运算求解能力,分析解决问题能力,偏难.
由双曲线-=1的离心率为2得c=2a,又∵抛物线焦点到双曲线渐近线ay=±
bx的距离==2,∴p=8,即抛物线C2的方程为x2=16y.
20.H3、H7、H8[2012·课标全国卷] 设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.
(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;
(2)若A、B、F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.
20.解:(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p.
由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=p.
因为△ABD的面积为4,
所以|BD|·d=4,即·2p·p=4,
解得p=-2(舍去),p=2.
所以F(0,1),圆F的方程为
x2+(y-1)2=8.
(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.
由抛物线定义知
|AD|=|FA|=|AB|,
所以∠ABD=30°,m的斜率为或-.
当m的斜率为时,由已知可设n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0.
由于n与C只有一个公共点,故Δ=p2+8pb=0.
解得b=-.
因为m的截距b1=,=3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.
当m的斜率为-时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.
10.H6、H7[2012·课标全国卷] 等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为( )
A. B.2
C.4 D.8
10.C [解析] 根据题意可设双曲线的方程为-=1,抛物线的准线为x=-4,代入双曲线的方程得16-y2=a2①.因为|AB|=4,所以y=±2.代入①得16-(±2)2=a2,解得a=2.所以C的实轴长为2a=4,故选C.
20.H5、H7、H8[2012·广东卷] 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.
20.解:(1)由C1的左焦点F1的坐标为(-1,0)知c=1.
因为点P(0,1)在C1上,所以b=1.
于是a=.
故C1的方程为+y2=1.
(2)由题设l同时与C1和C2相切,设切点分别为A和B,点B的坐标为(x0,y0),显然x0>0.当点B在第一象限时,点B的坐标为(x0,2).
考虑抛物线C2在第一象限的方程
y=2,x>0.
因为y′=,
所以l的斜率为,从而l的方程为:y=+.
由假设直线l与椭圆C1相切,因此方程组
有唯一解,将①代入②并整理得:
(x0+2)x2+4x0x+2x0(x0-1)=0,
所以Δ=16x-8(x0+2)x0(x0-1)
=-8x0(x0+1)(x0-2)=0.
因为x0>0,所以x0=2.
当x0=2时,直线l的方程为:y=x+.
易验证l是C1的切线.
由对称性,当切点B在第四象限时,可得l的方程为:y=-x-.
综上所述,同时与C1和C2相切的直线方程为:
y=x+,或y=-x-.
21.H3、H7、H8[2012·福建卷] 如图1-4所示,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上.
图1-4
(1)求抛物线E的方程;
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q,证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.
21.解:解法一:(1)依题意,|OB|=8,∠BOy=30°.
设B(x,y),则x=|OB|sin30°=4,y=|OB|cos30°=12.
因为点B(4,12)在x2=2py上,所以(4)2=2p×12,解得p=2.
故抛物线E的方程为x2=4y.
(2)由(1)知y=x2,y′=x.
设P(x0,y0),则x0≠0,且l的方程为
y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-x.
由得
所以Q.
假设以PQ为直径的圆恒过定点M,由图形的对称性知M必在y轴上,设M(0,y1),令·=0对满足y0=x(x0≠0)的x0,y0恒成立.
由于=(x0,y0-y1),=.
由·=0,得-y0-y0y1+y1+y=0.
即(y+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)
由于(*)式对满足y0=x(x0≠0)的y0恒成立,所以
解得y1=1.
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).
解法二:
(1)同解法一.
(2)由(1)知y=x2,y′=x,
设P(x0,y0),则x0≠0,且l的方程为
y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-x.
由得
所以Q.
取x0=2,此时P(2,1),Q(0,-1),以PQ为直径的圆为(x-1)2+y2=2,交y轴于点M1(0,1)或M2(0,-1);取x0=1,此时P,Q,以PQ为直径的圆为2+2=,交y轴于M3(0,1)或M4.
故若满足条件的点M存在,只能是M(0,1).
以下证明点M(0,1)就是所要求的点.
因为=(x0,y0-1),=,
·=-2y0+2=2y0-2-2y0+2=0.
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M.
17.H1、H7[2012·浙江卷] 定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a=________.
17.[答案]
[解析] 本题在新定义背景下考查直线、圆和抛物线的方程,一、二次曲线之间的位置关系与导数几何意义等基础知识,考查学生综合运用知识的能力和学情,考查函数方程和数形结合的数学思想.求出曲线C1到直线l的距离和曲线C2到直线l的距离,建立等式,求出参数a的值. 曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为圆心到直线的距离与圆的半径之差,即d-r=-=,由y=x2+a可得y′=2x,令y′=2x=1,则x=,在曲线C
1上对应的点P,所以曲线C1到直线l的距离即为点P到直线l的距离,故=,所以=,可得=2,a=-或a=,当a=-时,曲线C1:y=x2-与直线l:y=x相交,两者距离为0,不合题意,故a=.
22.H1、H2、H7[2012·浙江卷] 如图1-6,在直角坐标系xOy中,点P到抛物线C:y2=2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分.
(1)求p,t的值;
(2)求△ABP面积的最大值.
图1-6
22.解:(1)由题意知
得
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为Q(m,m),
由题意知,设直线AB的斜率为k(k≠0).
由得
(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2.
故k·2m=1.
所以直线AB方程为y-m=(x-m),
即x-2my+2m2-m=0.
由消去x,整理得
y2-2my+2m2-m=0,
所以Δ=4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1·y2=2m2-m.
从而|AB|=·|y1-y2|
=·.
设点P到直线AB的距离为d,则
d=.
设△ABP的面积为S,则
S=|AB|·d=|1-2(m-m2)|·.
由Δ=4m-4m2>0,得0<m<1.
令u=,0<u≤,则
S=u(1-2u2),
设S(u)=u(1-2u2),0<u≤,则S′(u)=1-6u2.
由S′(u)=0得u=∈,所以
S(u)max=S=.
故△ABP面积的最大值为.
H8 直线与圆锥曲线
14.H8[2012·重庆卷] 设P为直线y=x与双曲线-=1(a>0,b>0)左支的交点,F1是左焦点,PF1垂直于x轴,则双曲线的离心率e=________.
14. [解析] 因为PF1垂直于x轴且P点在双曲线的左支上,所以P点横坐标为-c.又因为P点在直线y=x上,所以P点坐标为,将P点坐标代入双曲线-=1,整理得=,所以双曲线的离心率e=.
21.H5、H8、F3[2012·重庆卷] 如图,设椭圆的中点为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.
(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过B1作直线交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,求△PB2Q的面积.
21.解:(1)设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),右焦点为F2(c,0).
因△AB1B2是直角三角形且|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2为直角,从而|OA|=|OB2|,
即b=.结合c2=a2-b2得4b2=a2-b2,故a2=5b2,
c2=4b2,所以离心率e==.
在Rt△AB1B2中,OA⊥B1B2,故
S△AB1B2=·|B1B2|·|OA|=|OB2|·|OA|=·b=b2,
由题设条件S△AB1B2=4得b2=4,从而a2=5b2=20.
因此所求椭圆的标准方程为:+=1.
(2)由(1)知B1(-2,0)、B2(2,0).由题意,直线PQ的倾斜角不为0,故可设直线PQ的方程为:x=my-2.代入椭圆方程得
(m2+5)y2-4my-16=0.(*)
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1,y2是上面方程的两根,因此
y1+y2=,y1·y2=.
又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),所以
·=(x1-2)(x2-2)+y1y2
=(my1-4)(my2-4)+y1y2
=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16
=-+16
=-,
由PB2⊥QB2,知·=0,即16m2-64=0,解得m=±2.
当m=2时,方程(*)化为:9y2-8y-16=0,
故y1=,y2=,|y1-y2|=,
△PB2Q的面积S=|B1B2|·|y1-y2|=.
当m=-2时,同理可得(或由对称性可得)△PB2Q的面积S=.
综上所述,△PB2Q的面积为.
19.H5、H8[2012·天津卷] 已知椭圆+=1(a>b>0),点P在椭圆上.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设A为椭圆的左顶点,O为坐标原点,若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线OQ的斜率的值.
19.解:(1)因为点P在椭圆上,故+=1,可得=,
于是e2==1-=,
所以椭圆的离心率e=.
(2)设直线OQ的斜率为k,则其方程为y=kx.设点Q的坐标为(x0,y0).
由条件得消去y0并整理得
x=.①
由|AQ|=|AO|,A(-a,0)及y0=kx0,得(x0+a)2+k2x=a2.整理得,(1+k2)x+2ax0=0.而x0≠0,故x0=,代入①,整理得(1+k2)2=4k2·+4.
由(1)知=,故(1+k2)2=k2+4,即5k4-22k2-15=0,可得k2=5.
所以直线OQ的斜率k=±.
21.H5、H8[2012·山东卷] 如图1-7所示,椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8.
图1-7
(1)求椭圆M的标准方程;
(2)设直线l:y=x+m(m∈R)与椭圆M有两个不同的交点P,Q,l与矩形ABCD有两个不同的交点S,T.求的最大值及取得最大值时m的值.
21.解:(1)设椭圆M的半焦距为c,由题意知
所以a=2,b=1,
因此椭圆M的标准方程为+y2=1.
(2)由整理得
5x2+8mx+4m2-4=0,
由Δ=64m2-80(m2-1)=80-16m2>0.
得-0)的焦点为F,准线为l,
A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.
(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;
(2)若A、B、F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.
20.解:(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p.
由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=p.
因为△ABD的面积为4,
所以|BD|·d=4,即·2p·p=4,
解得p=-2(舍去),p=2.
所以F(0,1),圆F的方程为
x2+(y-1)2=8.
(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.
由抛物线定义知
|AD|=|FA|=|AB|,
所以∠ABD=30°,m的斜率为或-.
当m的斜率为时,由已知可设n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0.
由于n与C只有一个公共点,故Δ=p2+8pb=0.
解得b=-.
因为m的截距b1=,=3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.
当m的斜率为-时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.
21.H3、H5、H8[2012·湖北卷] 设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点,l是过点A与x轴垂直的直线,D是直线l与x轴的交点,点M在直线l上,且满足|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1).当点A在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;
(2)过原点斜率为k的直线交曲线C于P,Q两点,其中P在第一象限,且它在y轴上的射影为点N,直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m,使得对任意的k>0,都有PQ⊥PH?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
21.解:(1)如图(1),设M(x,y),A(x0,y0),则由|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1),
可得x=x0,|y|=m|y0|,所以x0=x,|y0|=|y|.①
因为A点在单位圆上运动,所以x+y=1.②
将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x2+=1(m>0,且m≠1).
因为m∈(0,1)∪(1,+∞),所以
当0<m<1时,曲线C是焦点在x轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为(-,0),(,0);
当m>1时,曲线C是焦点在y轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为(0,-),(0,).
(2)方法1:如图(2)、(3),对任意k>0,设P(x1,kx1),H(x2,y2),则Q(-x1,-kx1),N(0,kx1),直线QN的方程为y=2kx+kx1,将其代入椭圆C的方程并整理可得(m2+4k2)x2+4k2x1x+k2x-m2=0.
依题意可知此方程的两根为-x1,x2,于是由韦达定理可得
-x1+x2=-,即x2=.
因为点H在直线QN上,
所以y2-kx1=2kx2=.
于是=(-2x1,-2kx1),=(x2-x1,y2-kx1)=.
而PQ⊥PH等价于·==0,
即2-m2=0,又m>0,得m=,
故存在m=,使得在其对应的椭圆x2+=1上,对任意的k>0都有PQ⊥PH.
方法2:如图(2)、(3),对任意x1∈(0,1),设P(x1,y1),H(x2,y2),则Q(-x1,-y1),N(0,y1),
因为P,H两点在椭圆C上,所以两式相减可得m2(x-x)+(y-y)=0.③
依题意,由点P在第一象限可知,点H也在第一象限,且P,H不重合,
故(x1-x2)(x1+x2)≠0.于是由③式可得
=-m2.④
又Q,N,H三点共线,所以kQN=kQH,即=.
于是由④式可得kPQ·kPH=·=·=-,
而PQ⊥PH等价于kPQ·kPH=-1,即-=-1,又m>0,得m=,
故存在m=,使得在其对应的椭圆x2+=1上,对任意的k>0,都有PQ⊥PH.
20.H5、H7、H8[2012·广东卷] 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.
20.解:(1)由C1的左焦点F1的坐标为(-1,0)知c=1.
因为点P(0,1)在C1上,所以b=1.
于是a=.
故C1的方程为+y2=1.
(2)由题设l同时与C1和C2相切,设切点分别为A和B,点B的坐标为(x0,y0),显然x0>0.当点B在第一象限时,点B的坐标为(x0,2).
考虑抛物线C2在第一象限的方程
y=2,x>0.
因为y′=,
所以l的斜率为,从而l的方程为:y=+.
由假设直线l与椭圆C1相切,因此方程组
有唯一解,将①代入②并整理得:
(x0+2)x2+4x0x+2x0(x0-1)=0,
所以Δ=16x-8(x0+2)x0(x0-1)
=-8x0(x0+1)(x0-2)=0.
因为x0>0,所以x0=2.
当x0=2时,直线l的方程为:y=x+.
易验证l是C1的切线.
由对称性,当切点B在第四象限时,可得l的方程为:y=-x-.
综上所述,同时与C1和C2相切的直线方程为:
y=x+,或y=-x-.
21.H3、H7、H8[2012·福建卷] 如图1-4所示,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上.
图1-4
(1)求抛物线E的方程;
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q,证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.
21.解:解法一:(1)依题意,|OB|=8,∠BOy=30°.
设B(x,y),则x=|OB|sin30°=4,y=|OB|cos30°=12.
因为点B(4,12)在x2=2py上,所以(4)2=2p×12,解得p=2.
故抛物线E的方程为x2=4y.
(2)由(1)知y=x2,y′=x.
设P(x0,y0),则x0≠0,且l的方程为
y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-x.
由得
所以Q.
假设以PQ为直径的圆恒过定点M,由图形的对称性知M必在y轴上,设M(0,y1),令·=0对满足y0=x(x0≠0)的x0,y0恒成立.
由于=(x0,y0-y1),=.
由·=0,得-y0-y0y1+y1+y=0.
即(y+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)
由于(*)式对满足y0=x(x0≠0)的y0恒成立,所以
解得y1=1.
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).
解法二:
(1)同解法一.
(2)由(1)知y=x2,y′=x,
设P(x0,y0),则x0≠0,且l的方程为
y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-x.
由得
所以Q.
取x0=2,此时P(2,1),Q(0,-1),以PQ为直径的圆为(x-1)2+y2=2,交y轴于点M1(0,1)或M2(0,-1);取x0=1,此时P,Q,以PQ为直径的圆为2+2=,交y轴于M3(0,1)或M4.
故若满足条件的点M存在,只能是M(0,1).
以下证明点M(0,1)就是所要求的点.
因为=(x0,y0-1),=,
·=-2y0+2=2y0-2-2y0+2=0.
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M.
20.H5、H8[2012·安徽卷] 如图1-4,F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)已知△AF1B的面积为40,求a,b的值.
图1-4
20.解: (1)由题意可知,△AF1F2为等边三角形,a=2c,所以e=.
(2)( 方法一)a2=4c2,b2=3c2.
直线AB的方程可为y=-(x-c).
将其代入椭圆方程3x2+4y2=12c2,
得B.
所以|AB|=·=c.
由S△AF1B=|AF1|·|AB|sin∠F1AB
=a·c·=a2=40,
解得a=10,b=5.
(方法二)设|AB|=t.
因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a.
由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a可知,|BF1|=3a-t.
再由余弦定理(3a-t)2=a2+t2-2atcos60°可得,
t=a.
由S△AF1B=a·a·=a2=40知,a=10,b=5.
H9 曲线与方程
21.H7、H9[2012·上海卷] 海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处,如图1-3.现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线y=x2;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t小时后,失事船所在位置的横坐标为7t.
图1-3
(1)当t=0.5时,写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?
21.解:(1)t=0.5时,P的横坐标xP=7t=,代入抛物线方程y=x2,得P的纵坐标yP=3.
由|AP|=,得救援船速度的大小为海里/时.
由tan∠OAP=,得∠OAP=arctan,故救援船速度的方向为北偏东arctan弧度.
(2)设救援船的时速为v海里,经过t小时追上失事船,此时位置为(7t,12t2).
由vt=,
整理得v2=144+337.
因为t2+≥2,当且仅当t=1时等号成立.
所以v2≥144×2+337=252,即v≥25.
因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.
H10 单元综合
20.H10[2012·江西卷] 已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|+|=·(+)+2.
(1)求曲线C的方程;
(2)点Q(x0,y0)(-20,y2>0.
由得(m2+2)y-2my1-1=0,解得y1=,
故AF1===. ①
同理,BF2=. ②
(i)由①②得AF1-BF2=,
解=得m2=2,注意到m>0,
故m=.所以直线AF1的斜率为=.
(ii)因为直线AF1与BF2平行,所以=,于是=,
故PF1=BF1.由B点在椭圆上知BF1+BF2=2,
从而PF1=(2-BF2).同理PF2=(2-AF1).
因此,PF1+PF2=(2-BF2)+(2-AF1)
=2-.
又由①②知AF1+BF2=,AF1·BF2=,
所以PF1+PF2=2-=.因此,PF1+PF2是定值.
21.H10、E9[2012·四川卷] 如图1-6,动点M与两定点A(-1,0)、B(1,0)构成△MAB,且直线MA、MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C.
图1-6
(1)求轨迹C的方程;
(2)设直线y=x+m(m>0)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q、R,且|PQ|<|PR|,求的取值范围.
21.解:(1)设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在.
于是x≠1且x≠-1,此时,MA的斜率为,MB的斜率为,
由题意,有·=4,
化简可得,4x2-y2-4=0.
故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠1且x≠-1).
(2)由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0.(*)
对于方程(*),其判别式Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0,而当1或-1为方程(*)的根时,m的值为-1或1,
结合题设(m>0)可知,m>0,且m≠1.
设Q、R的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),则xQ,xR为方程(*)的两根.
因为|PQ|<|PR|,所以|xQ|<|xR|,xQ=,xR=.
所以===
1+.
此时>1,且≠2.
所以1<1+<3,且1+≠,
所以1<=<3,且=≠.
综上所述,的取值范围是∪.
21.H5、H10[2012·湖南卷] 在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C:x2+y2-4x+2=0的圆心.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线l1,l2.当直线l1,l2都与圆C相切时,求P的坐标.
21.解:(1)由x2+y2-4x+2=0得(x-2)2+y2=2,故圆C的圆心为点(2,0).
从而可设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),其焦距为2c.由题设知c=2,e==.所以a=2c=4,b2=a2-c2=12.故椭圆E的方程为+=1.
(2)设点P的坐标为(x0,y0),l1,l2的斜率分别为k1,k2.则l1,l2的方程分别为l1:y-y0=k1(x-x0),l2:y-y0=k2(x-x0),且k1k2=.
由l1与圆C:(x-2)2+y2=2相切得
=.
即[(2-x0)2-2]k+2(2-x0)y0k1+y-2=0.
同理可得[(2-x0)2-2]k+2(2-x0)y0k2+y-2=0.
从而k1,k2是方程[(2-x0)2-2]k2+2(2-x0)y0k+y-2=0的两个实根.于是
①
且k1k2==.
由得5x-8x0-36=0.
解得x0=-2,或x0=.
由x0=-2得y0=±3;由x0=得y0=±,它们均满足①式.
故点P的坐标为(-2,3),或(-2,-3),或,或.
19.H10[2012·北京卷] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积为时,求k的值.
19.解:(1)由题意得
解得b=.
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.
设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则
y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),
x1+x2=,x1x2=.
所以|MN|=
=.
又因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离d=,
所以△AMN的面积为
S=|MN|·d=.
由=,解得k=±1.
相关文档
- 历届高考数学真题汇编专题6_不等式2021-07-0154页
- 历届高考数学真题汇编专题12_概率_2021-07-0126页
- 历届高考数学真题汇编专题11_排列2021-07-0114页
- 历届高考数学真题汇编专题4_数列_2021-06-30124页
- 历届高考数学真题汇编专题10_圆锥2021-06-3094页
- 历届高考数学真题汇编专题1_集合最2021-06-249页
- 历届高考数学真题汇编专题12_概率2021-06-2427页
- 历届高考数学真题汇编专题7_平面向2021-06-2422页
- 历届高考数学真题汇编专题15__程序2021-06-2418页
- 历届高考数学真题汇编专题14_复数_2021-06-2333页