高中数学必修1教案：第九章直线平面简单几何体(B)(第35课)小结与复习(2) 4页

课 题：小结与复习(二) ‎ 教学目的：‎ ‎1．在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用．‎ ‎2．在解决有关空间角的问题的过程中，进一步巩固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力．‎ ‎3．通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧，发掘不同问题之间的内在联系，提高解题能力．‎ ‎4．在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和“说话要有根据”的逻辑思维的习惯、提高思维品质．使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力．‎ ‎5．使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法，能够熟练地使用分割与补形求体积，提高空间想象能力、推理能力和计算能力 授课类型：练习课 ‎ 课时安排：1课时 ‎ 教 具：多媒体、实物投影仪 ‎ 教学过程：‎ 一、讲解范例：‎ 例1 已知正三棱锥的底面边长为，过作截面垂直侧棱于，且此截面与底面成的二面角，求此三棱锥的侧面积．‎ 解：作底面，垂足为，则是中心，‎ 连结并延长交与，连结，‎ 则，，∴面，，‎ ‎∴是二面角的平面角，‎ ‎∵面，，，‎ ‎，‎ 在中，，‎ ‎．‎ 例2．已知正三棱锥的高为，一个侧面三角形的面积为，求这个正三棱锥的侧面和底面所成的二面角 解：设正三棱锥，高，，‎ 作于，连接，‎ 由三垂线定理知，‎ 为所求的侧面和底面所成的二面角的平面角，‎ 设，则，又，‎ ‎∴．，∴．‎ 由，得，，∴所求二面角为．‎ 例3．如图，正四棱锥中，所有棱长都是，为的中点， ‎ ‎（1）求二面角的大小；‎ ‎（2）如果点在棱上，那么直线与能否垂直？‎ 请说明理由 解：（1）取的中点，连结，‎ 是正三角形，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴是二面角的平面角，‎ 在中，，‎ ‎∴，‎ 故二面角的大小为．‎ ‎（2）设，以射线分别为轴建立空间直角坐标系，设，‎ 则，，‎ ‎，，∴与不可能垂直 说明：证明线线垂直可以建系证明或用三垂线定理证明 例4．已知三棱锥中，，，⊥平面，，‎ 分别是上的动点，且，‎ ‎（Ⅰ）求证：不论为何值，总有平面⊥平面；‎ ‎（Ⅱ）当为何值时，平面⊥平面？‎ ‎ 证（Ⅰ）∵平面，∴，‎ ‎ ∵，且，∴平面，‎ ‎ 又∵（），‎ ‎ ∴不论为何值，恒有，∴平面，平面，‎ ‎ ∴不论为何值恒有平面⊥平面．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又要平面平面，‎ ‎∴平面，∴，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，由得，‎ ‎∴，‎ 故当时，平面平面．‎ 例5．如图，在棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是菱形，且，为的中点，‎ ‎（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小； ‎ ‎（Ⅲ）求证：平面平面．‎ 分析：(Ⅲ)中平面与平面的公共棱不明显，因而可证明其中一个平面内的某一直线垂直于另一个平面．‎ 证明：（Ⅰ）取中点，连结，‎ ‎∵侧面是边长为的正三角形，∴，‎ ‎∵侧面底面，∴底面，‎ 在中，，，‎ ‎∴，由三垂线定理知．‎ ‎（Ⅱ）∵，，，∴平面，‎ ‎∵，∴平面，∴是二面角的平面角，‎ ‎∵，∴，，，‎ ‎∴二面角为．‎ ‎（Ⅲ）取中点，连结，则，又，∴，‎ 又∵平面，平面，，∴，‎ 又∵，且，平面，平面，‎ ‎∴平面平面．‎ 二、小结 ：棱锥平行于底面的截面性质结论可适当推广：平行于棱锥底面的截面截得的棱锥与原棱锥的对应面积（底面，侧面）之比，等于对应线段（高、侧棱等）的平方比计算面积时，必须计算对应边上的高，因此要寻找斜高，底面三角形的高，截面三角形的高的相互关系，这种关系应通过棱锥的性质来体现 ‎ 三、课后作业：‎ 四、板书设计（略）‎ 五、课后记：‎