- 393.45 KB
- 2021-07-01 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
5.2 三角函数的概念
5.2.1 三角函数的概念
学习目标 1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2.掌握任意角三角
函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.3.会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦、
正切.4.掌握公式并会应用.
知识点一 任意角的三角函数的定义
设α是一个任意角,α∈R,它的终边 OP 与单位圆相交于点 P(x,y),
点 P 的纵坐标 y 叫做α的正弦函数,记作 sin α,即 sin α=y;点 P 的横坐标 x 叫做α的余弦函
数,记作 cos α,即 cos α=x;把点 P 的纵坐标与横坐标的比值y
x
叫做α的正切,记作 tan α,即
tan α=y
x(x≠0).
正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数,分别记为:
正弦函数 y=sin x,x∈R;
余弦函数 y=cos x,x∈R;
正切函数 y=tan x,x≠π
2
+kπ(k∈Z).
思考 三角函数值的大小与点 P 在角α终边上位置是否有关?
答案 三角函数值是比值,是一个实数,它的大小与点 P 在终边上的位置无关,只与角α的
终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关.
知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
1.图示:
2.口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.
知识点三 公式一
sin(α+2kπ)=sin α,
cos(α+2kπ)=cos α,
tan(α+2kπ)=tan α,
其中 k∈Z.
终边相同的角的同一三角函数的值相等.
思考 同一三角函数值相等时,角是否一定相等或相差周角的整数倍?
答案 不一定,如 sin 30°=sin 150°=1
2.
1.sin α表示 sin 与α的乘积.( × )
2.设角α终边上的点 P(x,y),r=|OP|≠0,则 sin α=y
r
,且 y 越大,sin α的值越大.( × )
3.终边相同的角的同一三角函数值相等.( √ )
4.终边落在 y 轴上的角的正切函数值为 0.( × )
一、任意角三角函数的定义及应用
例 1 (1)已知角α的终边与单位圆的交点为 P
3
5
,y (y<0),则 tan α= .
答案 -4
3
解析 因为点 P
3
5
,y (y<0)在单位圆上,则 9
25
+y2=1,
所以 y=-4
5
,所以 tan α=-4
3.
(2)已知角α的终边落在射线 y=2x(x≥0)上,求 sin α,cos α的值.
解 设射线 y=2x(x≥0)上任一点 P(x0,y0),
则|OP|=r= x20+y20,
∵y0=2x0,∴r= 5x0,
∴sin α=y0
r
=2 5
5
,cos α=x0
r
= 5
5 .
延伸探究
1.若将本例(1)中条件“α的终边与单位圆的交点为 P
3
5
,y (y<0)”改为“α的终边经过点 P(-
3,-4)”,求角α的正弦、余弦和正切值.
解 由已知可得|OP|= -32+-42=5.
如图所示,设角α的终边与单位圆交于点 P0(x,y).
分别过点 P,P0 作 x 轴的垂线 PM,P0M0,
则|MP|=4,|M0P0|=-y,
|OM|=3,|OM0|=-x,
△OMP∽△OM0P0,
于是,sin α=y=y
1
=-|M0P0|
|OP0|
=-|MP|
|OP|
=-4
5
;
cos α=x=x
1
=-|OM0|
|OP0|
=-|OM|
|OP|
=-3
5
;
tan α=y
x
=sin α
cos α
=4
3.
2.若将本例(2)中条件“α的终边落在射线 y=2x(x≥0)上”,换为“α的终边落在直线 y=2x
上”,其结论又如何呢?
解 (1)若α的终边在第一象限内,
设点 P(a,2a)(a>0)是其终边上任意一点,
因为 r=|OP|= a2+4a2= 5a
所以 sin α=y
r
= 2a
5a
=2 5
5
,cos α=x
r
= a
5a
= 5
5 .
(2)若α的终边在第三象限内,
设点 P(a,2a)(a<0)是其终边上任意一点,
因为 r=|OP|= a2+4a2=- 5a(a<0),
所以 sin α=y
r
= 2a
- 5a
=-2 5
5
,cos α=x
r
= a
- 5a
=- 5
5 .
反思感悟 利用三角函数的定义求值的策略
(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时,常用的解题方法有以下两种:
①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值.
②注意到角的终边为直线,所以应分两种情况来处理,取射线上任一点坐标(a,b)(a≠0),则
对应角的正弦值 sin α= b
a2+b2
,余弦值 cos α= a
a2+b2
,正切值 tan α=b
a.
(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
跟踪训练 1 已知角α的终边过点 P(-3a,4a)(a≠0),则 2sin α+cos α= .
答案 1 或-1
解析 因为 r= -3a2+4a2=5|a|,
①若 a>0,则 r=5a,角α在第二象限.
sin α=y
r
=4a
5a
=4
5
,cos α=x
r
=-3a
5a
=-3
5
,
所以 2sin α+cos α=8
5
-3
5
=1.
②若 a<0,则 r=-5a,角α在第四象限,
sin α= 4a
-5a
=-4
5
,cos α=-3a
-5a
=3
5.
所以 2sin α+cos α=-8
5
+3
5
=-1.
二、三角函数值符号的运用
例 2 (1)已知点 P(tan α,cos α)在第四象限,则角α的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)下列各式:
①sin(-100°);②cos(-220°);③tan(-10);④cos π.
其中符号为负的有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
答案 (1)C (2)D
解析 (1)因为点 P 在第四象限,所以有 tan α>0,
cos α<0,
由此可判断角α的终边在第三象限.
(2)-100°在第三象限,故 sin(-100°)<0;-220°在第二象限,故 cos(-220°)<0;
-10∈ -7
2π,-3π ,在第二象限,故 tan(-10)<0,cos π=-1<0.
反思感悟 判断三角函数值正负的两个步骤
(1)定象限:确定角α所在的象限.
(2)定符号:利用三角函数值的符号规律,即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”来判断.
跟踪训练 2 已知点 P(sin α,cos α)在第三象限,则角α的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 C
三、公式一的应用
例 3 计算下列各式的值:
(1)sin(-1 395°)cos 1 110°+cos(-1 020°)sin 750°;
(2)sin
-11π
6 +cos12π
5 tan 4π.
解 (1)原式
=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)
=sin 45°cos 30°+cos 60°sin 30°
= 2
2
× 3
2
+1
2
×1
2
= 6
4
+1
4
=1+ 6
4
.
(2)原式=sin
-2π+π
6 +cos 2π+2π
5 tan(4π+0)=sin π
6
+cos 2π
5
×0=1
2.
反思感悟 利用诱导公式一求解任意角的三角函数的步骤
跟踪训练 3 (1)cos 405°的值是( )
A.1
2 B.-1
2 C. 2
2 D.- 2
2
答案 C
解析 cos 405°=cos(45°+360°)=cos 45°= 2
2 .
(2)sin 25π
3
+tan
-15π
4 = .
答案 3
2
+1
解析 sin 25π
3
+tan
-15π
4 =sin
π
3
+8π +tan
π
4
-4π =sin π
3
+tan π
4
= 3
2
+1.
1.已知角α的终边经过点(-4,3),则 cos α等于( )
A.4
5 B.3
5 C.-3
5 D.-4
5
答案 D
2.sin(-315°)的值是( )
A.- 2
2 B.-1
2 C. 2
2 D.1
2
答案 C
解析 sin(-315°)=sin(-360°+45°)=sin 45°= 2
2 .
3.若 sin θ·cos θ>0,则θ在( )
A.第一或第四象限 B.第一或第三象限
C.第一或第二象限 D.第二或第四象限
答案 B
解析 因为 sin θ·cos θ>0,
所以 sin θ<0,cos θ<0 或 sin θ>0,cos θ>0,
所以θ在第一象限或第三象限.
4.tan
-17π
3 = .
答案 3
解析 tan
-17π
3 =tan
-6π+π
3 =tan π
3
= 3.
5.y=sin x+tan x 的定义域为 .
答案 x|x≠π
2
+kπ,k∈Z
解析 要使函数有意义,需满足
x∈R,
x≠π
2
+kπ,k∈Z.
∴函数的定义域为 x|x≠π
2
+kπ,k∈Z .
1.知识清单:
(1)三角函数的定义及求法;
(2)三角函数在各象限内的符号;
(3)公式一.
2.方法归纳:负角化为正角、大角化为小角的化归思想;角的终边位置上点的不确定引起的
分类讨论思想.
3.常见误区:三角函数值的大小只与角的大小有关,与终边上的点无关;正切函数的定义域
为 x|x≠π
2
+kπ,k∈Z .
1.已知角α的终边与单位圆交于点 - 3
2
,-1
2 ,则 sin α的值为( )
A.- 3
2 B.-1
2 C. 3
2 D.1
2
答案 B
2.若 cos α=- 3
2
,且角α的终边经过点 P(x,2),则 P 点的横坐标 x 是( )
A.2 3 B.±2 3 C.-2 2 D.-2 3
答案 D
解析 因为 cos α=- 3
2 <0,所以 x<0,
又 r= x2+22,由题意得 x
x2+22
=- 3
2
,
所以 x=-2 3.故选 D.
3.有下列命题,其中正确的个数是( )
①终边相同的角的同名三角函数值相等;
②同名三角函数值相等的角也相等;
③终边不相同,它们的同名三角函数值一定不相等;
④不相等的角,同名三角函数值也不相等.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 B
解析 对于①,由诱导公式一可得正确;
对于②,由 sin 30°=sin 150°=1
2
,
但 30°≠150°,所以②错误;
对于③,如α=60°,β=120°的终边不相同,
但 sin 60°=sin 120°= 3
2
,所以③错误;
对于④,由③中的例子可知④错误.
4.代数式 sin(-330°)cos 390°的值为( )
A.-3
4 B. 3
4 C.-3
2 D.1
4
答案 B
解析 由诱导公式可得,
sin(-330°)cos 390°=sin 30°×cos 30°
=1
2
× 3
2
= 3
4
,故选 B.
5.函数 y= sin x+ -cos x的定义域是( )
A.(2kπ,2kπ+π),k∈Z
B. 2kπ+π
2
,2kπ+π ,k∈Z
C. kπ+π
2
,kπ+π ,k∈Z
D.[2kπ,2kπ+π],k∈Z
答案 B
解析 由 sin x≥0,-cos x≥0,
得 x 为第二象限角或 y 轴正半轴上的角或 x 轴负半轴上的角,
所以 2kπ+π
2
≤x≤2kπ+π,k∈Z.
6.若 420°角的终边所在直线上有一点(-4,a),则 a 的值为 .
答案 -4 3
解析 由三角函数定义知,tan 420°=-a
4
,
又 tan 420°=tan(360°+60°)=tan 60°= 3,
∴-a
4
= 3,∴a=-4 3.
7.点 P(tan 2 019°,cos 2 019°)位于第 象限.
答案 四
解析 因为 2 019°=5×360°+219°,
所以 2 019°与 219°终边相同,是第三象限角,
所以 tan 2 019°>0,cos 2 019°<0,
所以点 P 位于第四象限.
8.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且 cos α≤0,sin α>0,则实数 a 的取值范围是 .
考点 三角函数值在各象限的符号
题点 三角函数值在各象限的符号
答案 (-2,3]
解析 由 cos α≤0,sin α>0 可知,角α的终边落在第二象限内或 y 轴的正半轴上,所以
3a-9≤0,
a+2>0,
解得-20,
则有 sin θ<0 且 cos θ<0,
∴角θ位于第三象限.
12.某点从点(1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 按逆时针方向运动2π
3
弧长到达 Q 点,则 Q 点的
坐标为( )
A.
-1
2
, 3
2 B.
- 3
2
,-1
2
C.
-1
2
,- 3
2 D.
- 3
2
,1
2
答案 A
解析 由三角函数定义可得 Q cos2π
3
,sin2π
3 ,
cos 2π
3
=-1
2
,sin 2π
3
= 3
2 .
13.如果 cos x=|cos x|,那么角 x 的取值范围是 .
答案 2kπ-π
2
,2kπ+π
2 ,k∈Z
解析 因为 cos x=|cos x|,所以 cos x≥0,所以角 x 的终边落在 y 轴或其右侧,从而角 x 的取
值范围是 2kπ-π
2
,2kπ+π
2 ,k∈Z.
14.已知角α的顶点为坐标原点,以 x 轴的非负半轴为始边,它的终边过点
1
2
,- 3
2 ,则 sin
α= ,cos α= .
答案 - 3
2
1
2
解析 由三角函数的定义得 r=
1
2 2+ - 3
2 2= 1
4
+3
4
=1,
则 sin α=y
r
=- 3
2
,cos α=1
2.
15.α是第三象限角,且|cos α
2|=-cos α
2
,则α
2
所在象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 B
解析 因为α是第三象限角,
所以 2kπ+π<α<2kπ+3π
2
,k∈Z.
所以 kπ+π
2<α
20,
所以角α是第四象限角.
(2)∵|OM|=1,∴
3
5 2+m2=1,
解得 m=±4
5.
又α是第四象限角,故 m<0,从而 m=-4
5.
由正弦函数的定义可知 sin α=y
r
= m
|OM|
=
-4
5
1
=-4
5.
相关文档
- 2020高中数学第1课时 并集、交集及2021-07-013页
- 高中数学人教a版必修四模块综合检2021-07-017页
- 2020高中数学 第三章复数代数形式2021-07-016页
- 高中数学必修3教案:4_示范教案(1_2_22021-07-018页
- 高中数学人教a版选修4-1同步辅导与2021-07-0131页
- 高中数学必修5:4_备课资料(3_3_1 二2021-07-014页
- 高考数学专题复习:课后强化训练必修2021-07-015页
- 高中数学必修3教案:5_备课资料(1_2_32021-07-011页
- 人教A高中数学必修三 算法的概念2021-07-014页
- 2020版高考数学大一轮复习(讲义·理2021-07-0115页