• 393.45 KB
  • 2021-07-01 发布

2020年高中数学新教材同步必修第一册 第5章 5.2 三角函数的概念 5.2.1 三角函数的概念

  • 11页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
5.2 三角函数的概念 5.2.1 三角函数的概念 学习目标 1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2.掌握任意角三角 函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.3.会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦、 正切.4.掌握公式并会应用. 知识点一 任意角的三角函数的定义 设α是一个任意角,α∈R,它的终边 OP 与单位圆相交于点 P(x,y), 点 P 的纵坐标 y 叫做α的正弦函数,记作 sin α,即 sin α=y;点 P 的横坐标 x 叫做α的余弦函 数,记作 cos α,即 cos α=x;把点 P 的纵坐标与横坐标的比值y x 叫做α的正切,记作 tan α,即 tan α=y x(x≠0). 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数,分别记为: 正弦函数 y=sin x,x∈R; 余弦函数 y=cos x,x∈R; 正切函数 y=tan x,x≠π 2 +kπ(k∈Z). 思考 三角函数值的大小与点 P 在角α终边上位置是否有关? 答案 三角函数值是比值,是一个实数,它的大小与点 P 在终边上的位置无关,只与角α的 终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关. 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1.图示: 2.口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”. 知识点三 公式一 sin(α+2kπ)=sin α, cos(α+2kπ)=cos α, tan(α+2kπ)=tan α, 其中 k∈Z. 终边相同的角的同一三角函数的值相等. 思考 同一三角函数值相等时,角是否一定相等或相差周角的整数倍? 答案 不一定,如 sin 30°=sin 150°=1 2. 1.sin α表示 sin 与α的乘积.( × ) 2.设角α终边上的点 P(x,y),r=|OP|≠0,则 sin α=y r ,且 y 越大,sin α的值越大.( × ) 3.终边相同的角的同一三角函数值相等.( √ ) 4.终边落在 y 轴上的角的正切函数值为 0.( × ) 一、任意角三角函数的定义及应用 例 1 (1)已知角α的终边与单位圆的交点为 P 3 5 ,y (y<0),则 tan α= . 答案 -4 3 解析 因为点 P 3 5 ,y (y<0)在单位圆上,则 9 25 +y2=1, 所以 y=-4 5 ,所以 tan α=-4 3. (2)已知角α的终边落在射线 y=2x(x≥0)上,求 sin α,cos α的值. 解 设射线 y=2x(x≥0)上任一点 P(x0,y0), 则|OP|=r= x20+y20, ∵y0=2x0,∴r= 5x0, ∴sin α=y0 r =2 5 5 ,cos α=x0 r = 5 5 . 延伸探究 1.若将本例(1)中条件“α的终边与单位圆的交点为 P 3 5 ,y (y<0)”改为“α的终边经过点 P(- 3,-4)”,求角α的正弦、余弦和正切值. 解 由已知可得|OP|= -32+-42=5. 如图所示,设角α的终边与单位圆交于点 P0(x,y). 分别过点 P,P0 作 x 轴的垂线 PM,P0M0, 则|MP|=4,|M0P0|=-y, |OM|=3,|OM0|=-x, △OMP∽△OM0P0, 于是,sin α=y=y 1 =-|M0P0| |OP0| =-|MP| |OP| =-4 5 ; cos α=x=x 1 =-|OM0| |OP0| =-|OM| |OP| =-3 5 ; tan α=y x =sin α cos α =4 3. 2.若将本例(2)中条件“α的终边落在射线 y=2x(x≥0)上”,换为“α的终边落在直线 y=2x 上”,其结论又如何呢? 解 (1)若α的终边在第一象限内, 设点 P(a,2a)(a>0)是其终边上任意一点, 因为 r=|OP|= a2+4a2= 5a 所以 sin α=y r = 2a 5a =2 5 5 ,cos α=x r = a 5a = 5 5 . (2)若α的终边在第三象限内, 设点 P(a,2a)(a<0)是其终边上任意一点, 因为 r=|OP|= a2+4a2=- 5a(a<0), 所以 sin α=y r = 2a - 5a =-2 5 5 ,cos α=x r = a - 5a =- 5 5 . 反思感悟 利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时,常用的解题方法有以下两种: ①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值. ②注意到角的终边为直线,所以应分两种情况来处理,取射线上任一点坐标(a,b)(a≠0),则 对应角的正弦值 sin α= b a2+b2 ,余弦值 cos α= a a2+b2 ,正切值 tan α=b a. (2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 跟踪训练 1 已知角α的终边过点 P(-3a,4a)(a≠0),则 2sin α+cos α= . 答案 1 或-1 解析 因为 r= -3a2+4a2=5|a|, ①若 a>0,则 r=5a,角α在第二象限. sin α=y r =4a 5a =4 5 ,cos α=x r =-3a 5a =-3 5 , 所以 2sin α+cos α=8 5 -3 5 =1. ②若 a<0,则 r=-5a,角α在第四象限, sin α= 4a -5a =-4 5 ,cos α=-3a -5a =3 5. 所以 2sin α+cos α=-8 5 +3 5 =-1. 二、三角函数值符号的运用 例 2 (1)已知点 P(tan α,cos α)在第四象限,则角α的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)下列各式: ①sin(-100°);②cos(-220°);③tan(-10);④cos π. 其中符号为负的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案 (1)C (2)D 解析 (1)因为点 P 在第四象限,所以有 tan α>0, cos α<0, 由此可判断角α的终边在第三象限. (2)-100°在第三象限,故 sin(-100°)<0;-220°在第二象限,故 cos(-220°)<0; -10∈ -7 2π,-3π ,在第二象限,故 tan(-10)<0,cos π=-1<0. 反思感悟 判断三角函数值正负的两个步骤 (1)定象限:确定角α所在的象限. (2)定符号:利用三角函数值的符号规律,即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”来判断. 跟踪训练 2 已知点 P(sin α,cos α)在第三象限,则角α的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 C 三、公式一的应用 例 3 计算下列各式的值: (1)sin(-1 395°)cos 1 110°+cos(-1 020°)sin 750°; (2)sin -11π 6 +cos12π 5 tan 4π. 解 (1)原式 =sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°) =sin 45°cos 30°+cos 60°sin 30° = 2 2 × 3 2 +1 2 ×1 2 = 6 4 +1 4 =1+ 6 4 . (2)原式=sin -2π+π 6 +cos 2π+2π 5 tan(4π+0)=sin π 6 +cos 2π 5 ×0=1 2. 反思感悟 利用诱导公式一求解任意角的三角函数的步骤 跟踪训练 3 (1)cos 405°的值是( ) A.1 2 B.-1 2 C. 2 2 D.- 2 2 答案 C 解析 cos 405°=cos(45°+360°)=cos 45°= 2 2 . (2)sin 25π 3 +tan -15π 4 = . 答案 3 2 +1 解析 sin 25π 3 +tan -15π 4 =sin π 3 +8π +tan π 4 -4π =sin π 3 +tan π 4 = 3 2 +1. 1.已知角α的终边经过点(-4,3),则 cos α等于( ) A.4 5 B.3 5 C.-3 5 D.-4 5 答案 D 2.sin(-315°)的值是( ) A.- 2 2 B.-1 2 C. 2 2 D.1 2 答案 C 解析 sin(-315°)=sin(-360°+45°)=sin 45°= 2 2 . 3.若 sin θ·cos θ>0,则θ在( ) A.第一或第四象限 B.第一或第三象限 C.第一或第二象限 D.第二或第四象限 答案 B 解析 因为 sin θ·cos θ>0, 所以 sin θ<0,cos θ<0 或 sin θ>0,cos θ>0, 所以θ在第一象限或第三象限. 4.tan -17π 3 = . 答案 3 解析 tan -17π 3 =tan -6π+π 3 =tan π 3 = 3. 5.y=sin x+tan x 的定义域为 . 答案 x|x≠π 2 +kπ,k∈Z 解析 要使函数有意义,需满足 x∈R, x≠π 2 +kπ,k∈Z. ∴函数的定义域为 x|x≠π 2 +kπ,k∈Z . 1.知识清单: (1)三角函数的定义及求法; (2)三角函数在各象限内的符号; (3)公式一. 2.方法归纳:负角化为正角、大角化为小角的化归思想;角的终边位置上点的不确定引起的 分类讨论思想. 3.常见误区:三角函数值的大小只与角的大小有关,与终边上的点无关;正切函数的定义域 为 x|x≠π 2 +kπ,k∈Z . 1.已知角α的终边与单位圆交于点 - 3 2 ,-1 2 ,则 sin α的值为( ) A.- 3 2 B.-1 2 C. 3 2 D.1 2 答案 B 2.若 cos α=- 3 2 ,且角α的终边经过点 P(x,2),则 P 点的横坐标 x 是( ) A.2 3 B.±2 3 C.-2 2 D.-2 3 答案 D 解析 因为 cos α=- 3 2 <0,所以 x<0, 又 r= x2+22,由题意得 x x2+22 =- 3 2 , 所以 x=-2 3.故选 D. 3.有下列命题,其中正确的个数是( ) ①终边相同的角的同名三角函数值相等; ②同名三角函数值相等的角也相等; ③终边不相同,它们的同名三角函数值一定不相等; ④不相等的角,同名三角函数值也不相等. A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B 解析 对于①,由诱导公式一可得正确; 对于②,由 sin 30°=sin 150°=1 2 , 但 30°≠150°,所以②错误; 对于③,如α=60°,β=120°的终边不相同, 但 sin 60°=sin 120°= 3 2 ,所以③错误; 对于④,由③中的例子可知④错误. 4.代数式 sin(-330°)cos 390°的值为( ) A.-3 4 B. 3 4 C.-3 2 D.1 4 答案 B 解析 由诱导公式可得, sin(-330°)cos 390°=sin 30°×cos 30° =1 2 × 3 2 = 3 4 ,故选 B. 5.函数 y= sin x+ -cos x的定义域是( ) A.(2kπ,2kπ+π),k∈Z B. 2kπ+π 2 ,2kπ+π ,k∈Z C. kπ+π 2 ,kπ+π ,k∈Z D.[2kπ,2kπ+π],k∈Z 答案 B 解析 由 sin x≥0,-cos x≥0, 得 x 为第二象限角或 y 轴正半轴上的角或 x 轴负半轴上的角, 所以 2kπ+π 2 ≤x≤2kπ+π,k∈Z. 6.若 420°角的终边所在直线上有一点(-4,a),则 a 的值为 . 答案 -4 3 解析 由三角函数定义知,tan 420°=-a 4 , 又 tan 420°=tan(360°+60°)=tan 60°= 3, ∴-a 4 = 3,∴a=-4 3. 7.点 P(tan 2 019°,cos 2 019°)位于第 象限. 答案 四 解析 因为 2 019°=5×360°+219°, 所以 2 019°与 219°终边相同,是第三象限角, 所以 tan 2 019°>0,cos 2 019°<0, 所以点 P 位于第四象限. 8.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且 cos α≤0,sin α>0,则实数 a 的取值范围是 . 考点 三角函数值在各象限的符号 题点 三角函数值在各象限的符号 答案 (-2,3] 解析 由 cos α≤0,sin α>0 可知,角α的终边落在第二象限内或 y 轴的正半轴上,所以 3a-9≤0, a+2>0, 解得-20, 则有 sin θ<0 且 cos θ<0, ∴角θ位于第三象限. 12.某点从点(1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 按逆时针方向运动2π 3 弧长到达 Q 点,则 Q 点的 坐标为( ) A. -1 2 , 3 2 B. - 3 2 ,-1 2 C. -1 2 ,- 3 2 D. - 3 2 ,1 2 答案 A 解析 由三角函数定义可得 Q cos2π 3 ,sin2π 3 , cos 2π 3 =-1 2 ,sin 2π 3 = 3 2 . 13.如果 cos x=|cos x|,那么角 x 的取值范围是 . 答案 2kπ-π 2 ,2kπ+π 2 ,k∈Z 解析 因为 cos x=|cos x|,所以 cos x≥0,所以角 x 的终边落在 y 轴或其右侧,从而角 x 的取 值范围是 2kπ-π 2 ,2kπ+π 2 ,k∈Z. 14.已知角α的顶点为坐标原点,以 x 轴的非负半轴为始边,它的终边过点 1 2 ,- 3 2 ,则 sin α= ,cos α= . 答案 - 3 2 1 2 解析 由三角函数的定义得 r= 1 2 2+ - 3 2 2= 1 4 +3 4 =1, 则 sin α=y r =- 3 2 ,cos α=1 2. 15.α是第三象限角,且|cos α 2|=-cos α 2 ,则α 2 所在象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B 解析 因为α是第三象限角, 所以 2kπ+π<α<2kπ+3π 2 ,k∈Z. 所以 kπ+π 2<α 20, 所以角α是第四象限角. (2)∵|OM|=1,∴ 3 5 2+m2=1, 解得 m=±4 5. 又α是第四象限角,故 m<0,从而 m=-4 5. 由正弦函数的定义可知 sin α=y r = m |OM| = -4 5 1 =-4 5.