高考数学一轮复习选修4-4坐标系与参数方程1坐标系练习理北师大版 6页

坐标系 考点一　伸缩变换 ‎ ‎1.曲线C:x2+y2=1经过伸缩变换得到曲线C′,求曲线C′的方程.‎ ‎2.曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x′2+y′2=1,求曲线C的方程.‎ ‎3.将圆x2+y2=1变换为椭圆+=1的一个伸缩变换公式φ:(λ,μ>0),求λ和μ的值.‎ ‎【解析】1.因为所以代入曲线C的方程得C′:+y′2=1.‎ ‎2.根据题意,曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x′2+y′2=1,则(2x)2+(3y)2=1,即4x2+9y2=1,所以曲线C的方程为4x2+9y2=1.‎ ‎3.将变换后的椭圆+=1改写为+=1,把伸缩变换公式φ:(λ,μ>0)代入上式,得+=1,即x2+y2=1,与x2+y2=1比较系数,得所以 ‎1.应用伸缩变换时,要分清变换前的点的坐标(x,y)与变换后的坐标(x′,y′).‎ - 6 -‎ ‎2.平面上的曲线y=f(x)在变换φ:的作用下得到的方程的求法是将代入y=f(x),得=f,整理之后得到y′=h(x′),即为变换之后的方程.‎ 考点二　极坐标与直角坐标的互化 ‎ ‎【典例】(2020·乌鲁木齐模拟)已知曲线C1的方程为(x-1)2+y2=1,C2的方程为x+y=3,C3是一条经过原点且斜率大于0的直线.‎ ‎(1)以直角坐标系原点O为极点,x轴正方向为极轴建立极坐标系,求C1与C2的极坐标方程.‎ ‎(2)若C1与C3的一个公共点为A(异于点O),C2与C3的一个公共点为B,当|OA|+=时,求C3的直角坐标方程.‎ ‎【解析】(1)曲线C1的方程为(x-1)2+y2=1,整理得x2+y2-2x=0,转换为极坐标方程为ρ=2cosθ.‎ 曲线C2的方程为x+y=3,转换为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-3=0,‎ ‎(2)设曲线C3是一条经过原点且斜率大于0的直线,则极坐标方程为θ=α,‎ 由于C1与C3的一个公共点A(异于点O),故,‎ 所以|OA|=2cosα,‎ C2与C3的一个公共点为B,‎ 所以 所以|OB|=.‎ 由于|OA|+=,‎ - 6 -‎ 所以2cosα+cosα+sinα=,‎ 即3cosα+sinα=sin(α+β)=,‎ 当sinα=,cosα=时,tan α=,‎ 故曲线C3的直角坐标方程为y=x.‎ ‎1.极坐标与直角坐标的互化依据是x=ρcos θ,y=ρsin θ.‎ ‎2.互化时要注意前后的等价性.　　‎ 在极坐标系下,已知圆O:ρ=cos θ+sin θ和直线l:ρsinθ-=(ρ≥0,0≤θ<2π).‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程.‎ ‎(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O的公共点的极坐标.‎ ‎【解析】(1)圆O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,故圆O的直角坐标方程为x2+y2-x-y=0,‎ 直线l:ρsin=,即ρsin θ-ρcos θ=1,‎ 则直线l的直角坐标方程为x-y+1=0.‎ ‎(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程,‎ 将两方程联立得解得 即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1),‎ 转化为极坐标为,‎ 故直线l与圆O的公共点的极坐标为.‎ 考点三　 极坐标方程的应用  ‎ - 6 -‎ 命 题 精 解 读 ‎1.考什么:(1)考查直线与曲线的位置关系、距离及取值范围的问题.‎ ‎(2)考查学生数学运算、逻辑推理等核心素养及数形结合、转化化归等数学方法.‎ ‎2.怎么考:极坐标与直线、圆、三角函数等数学知识相结合,考查学生的综合运用能力.‎ ‎3.新趋势:以极坐标为载体,与其他数学知识交汇考查.‎ 学 霸 好 方 法 求取值范围的解题思路:‎ ‎(1)将极坐标方程与普通方程互化,弄清题目考查知识点;‎ ‎(2)与三角函数结合,根据三角函数的取值范围求题目所要求的问题的取值范围.‎ 位置关系问题 ‎【典例】在极坐标系中,直线ρcos =1与曲线ρ=r(r>0)相切,求r的值.‎ ‎【解析】直线ρcos =1转化为x-y-2=0,‎ 曲线ρ=r(r>0)转化为x2+y2=r2,由于直线和圆相切,则圆心到直线的距离d==1=r.‎ 距离问题 ‎【典例】(2019·江苏高考)在极坐标系中,已知两点A,B,直线l的方程为ρsin=3. ‎ ‎(1)求A,B两点间的距离.‎ ‎(2)求点B到直线l的距离.‎ ‎【解析】(1)设极点为O.‎ - 6 -‎ 在△OAB中,A,B,‎ 由余弦定理,‎ 得AB==.‎ ‎(2)因为直线l的方程为ρsin=3,‎ 则直线l过点,倾斜角为.‎ 又B,所以点B到直线l的距离为(3-)×sin=2.‎ 取值范围问题 ‎【典例】(2020·黄冈模拟)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos=2.已知点Q为曲线C1上的动点,点P在线段OQ上,且满足|OQ|·|OP|=4,动点P的轨迹为C2.‎ ‎(1)求C2的直角坐标方程.‎ ‎(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△AOB面积的最大值.‎ ‎【解析】(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),‎ Q的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0),‎ 由题意知|OP|=ρ,|OQ|=ρ1=.‎ - 6 -‎ 由|OQ|·|OP|=4得C2的极坐标方程为ρ=2cos(ρ>0),化简得ρ=cos θ+sin θ,因此C2的直角坐标方程为+=1,但不包括点(0,0).‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0),‎ 由题意知,|OA|=2,ρB=2cos,‎ 于是△AOB的面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB ‎=2cos·=2≤.‎ 当α=0时,S取得最大值.‎ 所以△AOB面积的最大值为. ‎ - 6 -‎