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- 2021-07-01 发布
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专练53 抛物线
命题范围:抛物线的定义、标准方程与简单的几何性质
[基础强化]
一、选择题
1.抛物线y=x2的焦点到其准线的距离为( )
A.1 B.2
C. D.
2.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线的焦点坐标为( )
A.(-1,0) B.(1,0)
C.(0,-1) D.(0,1)
3.动点M到点F(2,1)的距离和到直线l:3x+4y-10=0的距离相等,则动点M的轨迹为( )
A.抛物线 B.直线
C.线段 D.射线
4.若抛物线y2=2px的焦点与双曲线-y2=1的右焦点重合,则p的值为( )
A.-4 B.4
C.-2 D.2
5.若抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10,则该抛物线的焦点到准线的距离为( )
A.4 B.8
C.16 D.32
6.[2019·全国卷Ⅱ]若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p=( )
A.2 B.3
C.4 D.8
7.
如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=4,则抛物线的方程为( )
A.y2=8x
B.y2=4x
C.y2=2x
D.y2=x
8.设坐标原点为O,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A,B两点,则·等于( )
A. B.-
C.3 D.-3
9.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过点F的直线交抛物线于A,B两点,过点A作准线l的垂线,垂足为E,当A点坐标为(3,y0)时,△AEF为正三角形,则此时△OAB的面积为( )
A. B.
C. D.
二、填空题
10.已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(-2,-4),则该抛物线的标准方程为______________.
11.过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|PQ|=________.
12.已知直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k的值为________.
[能力提升]
13.[2020·全国卷Ⅰ]已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=( )
A.2 B.3
C.6 D.9
14.[2020·湖南长沙高三测试]抛物线有如下光学性质:过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F,一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出,经过抛物线上的点A反射后,再经抛物线上的另一点B射出,则△ABM的周长为( )
A.+ B.9+
C.9+ D.+
15.[2020·张家界高三测试]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,抛物线C有一点P,过点P作PM⊥l,垂足为M,若等边△PMF的面积为4,则p=________.
16.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线,与抛物线分别交于A,B两点(点A在x轴上方),则=________.
专练53 抛物线
1.B y=x2可化为x2=4y,则焦点到准线的距离为×4=2.
2.B ∵y2=2px的准线为x=-,又准线过点(-1,1),∴-=-1,∴p=2,故其焦点坐标为(1,0).
3.B ∵F(2,1)在直线l:3x+4y-10=0上,∴动点M的轨迹为过点F且与直线l垂直的直线.
4.B ∵-y2=1的右焦点为(2,0),∴=2,p=4.
5.B 由抛物线的定义知,6+=10,=4,p=8,∴抛物线的焦点到准线的距离为p=8.
6.D 本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质,意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.
由题意,知抛物线的焦点坐标为,椭圆的焦点坐标为(±,0),所以=,解得p=8,故选D.
7.B
如图,分别过点A,B作准线的垂线,交准线于点E,D,设准线与x轴交于点G,设|BF|=a,则由已知得|BC|=2a,由定义得|BD|=a,故∠BCD=30°,在Rt△ACE中,
∵|AF|=4,|AC|=4+3a,
∴2|AE|=|AC|,∴4+3a=8,从而得a=,∵AE∥FG,∴=,即=,得p=2.∴抛物线方程为y2=4x.故选B.
8.B
当AB与x轴垂直时,A,B,·=×+1×(-1)=-;
当AB与x轴不垂直时,
设l:y=k,
由得k2x2-(k2+2)x+=0
由韦达定理得x1+x2=,x1x2=,
∴·=x1x2+y1y2=
x1x2+k2
=(1+k2)x1x2-k2(x1+x2)+=-.
9.A 不妨设点A在第一象限,如图所示,过点F作AE的垂线,垂足为H,由题知当A的坐标为(3,y0)时△AEF为正三角形,此时H为AE的中点,|AE|=3+,|EH|=p,∴2p=3+,解得p=2,∴y2=4x,A(3,2),F(1,0),∴kAF=,直线AF的方程为y=(x-1),代入抛物线方程得3(x-1)2=4x.设A(x1,y1),B(x2,y2),解得x1=3,x2=,此时y1=2,y2=-,∴S△AOB=S△OFB+S△OFA=×1×=,故选A.
10.y2=-8x或x2=-y
解析:由题可知,抛物线开口向下或向左,设抛物线方程为y2=-2px(p>0),x2=-2py(p>0),将P(-2,-4)代入,分别得方程y2=-8x或x2=-y.
11.8
解析:|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=6+2=8.
12.0或1
解析:由得k2x2+(4k-8)x+4=0,
若k=0,满足题意;若k≠0,则Δ=(4k-8)2-4×4k2=0,得k=1.综上得k=0或k=1.
13.C 设焦点为F,点A的坐标为(x0,y0),
由抛物线定义得|AF|=x0+,
∵点A到y轴距离为9,∴x0=9,
∴9+=12,
∴p=6.故选C.
14.B 令y=1,得x=,即A.
由抛物线的光学性质可知AB经过焦点F,设直线AB的方程为y=k(x-1),代入y2=4x.
消去y,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0.则xAxB=1,所以xB==4.
|AB|=xA+xB+p=.
将x=4代入y2=4x得y=±4,故B(4,-4).
故|MB|==.
故△ABM的周长为|MA|+|MB|+|AB|=++=9+.
故选B.
15.2
解析:设准线l和x轴交于N点,PM平行于x轴,∠PMF=∠MFN=60°,由抛物线的定义得到|NF|=p,故|MF|=2p,故(2p)2=4,∴p=2.
故答案为2.
16.3
解析:
如图所示,由题意得准线l:x=-.作AC⊥l于点C,BD⊥l于点D,BH⊥AC于点H,则|AF|=|AC|,|BF|=|BD|,|AH|=|AC|-|BD|=|AF|-|BF|,因为在Rt△AHB中,∠HAB=60°,所以cos60°==,
即(|AF|+|BF|)=|AF|-|BF|,得=3.
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