江西省赣州市2019-2020学年高二下学期线上教学检测数学（文）试题 Word版含解析 19页

www.ks5u.com 高二数学（文）‎ 一、选择题 ‎1.双曲线的焦距为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先把双曲线方程化为标准方程，得到，根据、、的关系求得焦距 ‎【详解】由题意，双曲线的标准方程为，则，，‎ ‎，焦距为 故选D ‎【点睛】本题考查求双曲线的焦距，解题时需注意要在双曲线标准方程下找到、‎ ‎2.抛物线的焦点坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 方程化成标准方程为，得到p，利用焦点坐标公式，即得解.‎ ‎【详解】方程化成标准方程为，知，‎ 故抛物线的焦点坐标为.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.‎ - 19 -‎ ‎3.已知椭圆的离心率，则的值为（ ）‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分，两种情况，焦点分别在x,y轴上讨论，结合即得解.‎ ‎【详解】由题意知，‎ 当时，，，，‎ 所以，‎ 解得；‎ 当时，，，，‎ 所以，‎ 解得.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了椭圆的标准方程和离心率，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.‎ ‎4.已知两定点F1（﹣1，0），F2（1，0），且是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹是（　　）‎ A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 线段 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，可得|PF1|+|PF2|=|F1F2‎ - 19 -‎ ‎|，由平面几何“两点之间，线段最短”可得动点P的轨迹是线段F1F2．由此得到本题答案．‎ ‎【详解】∵是|PF1|与|PF2|的等差中项，‎ ‎∴|PF1|+|PF2|=|F1F2|，‎ ‎∵当P不在直线F1F2上时，根据三角形两边之和大于第三边，可得|PF1|+|PF2|＞|F1F2|‎ 当P在直线F1F2上，且不在点F1、F2之间时，可得|PF1|＞|F1F2|或|PF2|＞|F1F2|，也不能有|PF1|+|PF2|=|F1F2|成立，‎ ‎∴点P直线F1F2上，且点P在点F1、F2之间 由此可得：动点P的轨迹是线段F1F2‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题给出动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于F1F2的长，求动点P的轨迹．着重考查了等差中项的含义和动点轨迹求法等知识，属于中档题．‎ ‎5.双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆方程，求得焦点坐标，利用渐近线方程公式，得到渐近线，利用点到直线距离公式即得解.‎ ‎【详解】依题意得，，‎ 所以双曲线的右焦点坐标是，‎ 一条渐近线方程是，‎ 即，‎ 因此焦点到渐近线的距离为，‎ 故选：B - 19 -‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的焦点坐标，渐近线方程，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.‎ ‎6.过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为(　　)‎ A. 8 B. 16 C. 32 D. 64‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出抛物线的焦点为F（2，0），直线的斜率k=tan45°=1，从而得到直线的方程为y=x﹣2．直线方程与抛物线方程联解消去y得x2﹣12x+4=0，利用根与系数的关系可得x1+x2=12，再根据抛物线的定义加以计算，即可得到直线被抛物线截得的弦长．‎ ‎【详解】∵抛物线方程为y2=8x，2p=8，=2，∴抛物线的焦点是F（2，0）．‎ ‎∵直线的倾斜角为45°，∴直线斜率为k=tan45°=1‎ 可得直线方程为：y=1×（x﹣2），即y=x﹣2．‎ 设直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联解，消去y得x2﹣12x+4=0，‎ ‎∴x1+x2=12，‎ 根据抛物线的定义，可得|AF|=x1+=x1+2，|BF|=x2+=x2+2，‎ ‎∴|AB|=x1+x2+4=12+4=16，即直线被抛物线截得的弦长为16．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题给出经过抛物线的焦点的直线倾斜角为45°，求直线被抛物线截得的弦长．着重考查了抛物线的定义与标准方程、一元二次方程根与系数的关系、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．‎ ‎7.若一个椭圆长轴的长轴、短轴的长度和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ - 19 -‎ ‎【分析】‎ 设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为2c，2b，2a，通过椭圆的短轴长是长轴长与焦距的等比中项，建立关于a，b，c的等式，求出椭圆的离心率即可．‎ ‎【详解】设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为2c，2b，2a，‎ ‎∵椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列，‎ ‎∴4b2=2a•2c，‎ ‎∴b2=a•c ‎∴b2=a2﹣c2=a•c，‎ 两边同除以a2得：e2+e﹣1=0，‎ 解得，e=（舍负），‎ ‎∴e=．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的基本性质，等比数列性质的应用，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎8.已知圆M：x2+y2+2mx﹣3=0（m＜0）的半径为2，椭圆（a＞0）的左焦点为F（﹣c，0），若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为（　　）‎ A. B. 1 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定圆的圆心坐标，再利用垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，可求c的值，进而可求a的值．‎ ‎【详解】∵圆M：x2+y2+2mx﹣3=0（m＜0）的半径为2‎ ‎∴m2+3=4‎ ‎∴m2=1‎ ‎∵m＜0‎ ‎∴m=﹣1‎ - 19 -‎ ‎∴圆心M的坐标为（1，0）‎ ‎∵垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切 ‎∴c=1‎ ‎∴a2=1+3=4‎ ‎∴a=2‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆相切，考查椭圆的标准方程，确定圆的圆心坐标是关键．‎ ‎9.抛物线上的点到直线距离的最小值是 （ ）‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 为抛物线上任意一点. 则.‎ ‎∴点P到直线的距离为∴.‎ 数形结合法:设把已知直线平移到与抛物线相切,然后求出两条平行线间的距离即为所求的最小距离.‎ ‎10.已知点，动圆与直线切于点，过与圆相切的两直线（非坐标轴）相交于点，则点的轨迹方程为（　　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 19 -‎ 先由题意画出图形，可见⊙C是△PMN的内切圆，则由切线长定理得|MA|=|MB|、|ND|=|NB|、|PA|=|PD|；此时求|PM|﹣|PN|可得定值，即满足双曲线的定义；然后求出a、b，写出方程即可（要注意x的取值范围）．‎ ‎【详解】由题意画图如下 可得|MA|=|MB|=4，|ND|=|NB|=2，且|PA|=|PD|，‎ 那么|PM|﹣|PN|=（|PA|+|MA|）﹣（|PD|+|ND|）=|MA|﹣|ND|=4﹣2=2＜|MN|，‎ 所以点P的轨迹为双曲线的右支（右顶点除外），‎ 当如下图时，‎ 则|PN|﹣|PM|=（|PB|-|NB|）﹣（|PA|-|AM|）=|MA|﹣|NB|=4﹣2=2＜|MN|，‎ 又2a=2，c=3，则a=1，b2=9﹣1=8，‎ 所以点P的轨迹方程为．‎ - 19 -‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的定义与标准方程，属于中档题．‎ ‎11.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为．因为所以点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆．与因为点M在椭圆的内部，所以，所以，所以 ，所以 ，故选C．‎ ‎ 【点睛】求离心率的值或范围就是找的值或关系．由想到点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆．再由点M在椭圆的内部，可得，因为 ．所以 - 19 -‎ 由得，由关系求离心率的范围．‎ ‎12.已知直线与抛物线相交于A、B两点，F为C的焦点，若,则k=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 将y=k(x+2)代入y2=8x,得 k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.‎ 设交点的横坐标分别为xA,xB,‎ 则xA+xB=-4,①‎ xA·xB=4.‎ 又|FA|=xA+2,|FB|=xB+2,‎ ‎|FA|=2|FB|,‎ ‎∴2xB+4=xA+2.‎ ‎∴xA=2xB+2.②‎ ‎∴将②代入①得xB=-2,‎ xA=-4+2=-2.‎ 故xA·xB==4.‎ 解之得k2=.‎ 而k>0,∴k=,满足Δ>0.故选D.‎ 二、填空题 - 19 -‎ ‎13.已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题，不能确定焦点的位置，分别讨论焦点在轴与在轴的情况，再将点坐标代入，以及利用渐近线方程得到、关系，进而求解．‎ ‎【详解】当焦点在轴上时，设双曲线方程为，，此时渐近线方程为，，，双曲线方程为 当焦点在轴上时，设双曲线方程为，，此时渐近线方程为，，舍去 故双曲线的标准方程为 ‎【点睛】本题考查根据几何性质求双曲线的标准方程，在焦点不确定位置的情况下，注意讨论两种状态的双曲线标准方程．‎ ‎14.已知过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，，则__________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得，即可判断与轴垂直，即可得解.‎ ‎【详解】设点，点，‎ - 19 -‎ 抛物线，焦点为，‎ 准线为，，所以.‎ 则与轴垂直，.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的性质，属于基础题.‎ ‎15.如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 由题意得，故，，‎ 又，所以 ‎【考点】椭圆离心率 ‎ ‎【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出，这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于的一个等量关系，通过解方程得到离心率的值.‎ ‎16.抛物线上存在两点关于直线对称，则的范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设抛物线上两点，‎ - 19 -‎ ‎,利用点差法得到中点M的纵坐标，代入直线得到M的横坐标，再结合M在抛物线内，即得解.‎ ‎【详解】设抛物线上两点，关于直线对称，‎ 中点，‎ 则当时，有直线，‎ 显然存在点关于它对称.‎ 当时，，‎ 所以，所以的坐标为，‎ 因为在抛物线内，则有，得且，‎ 综上所述，.‎ ‎【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系中的弦中点问题、点差法的应用，考查了学生转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.已知抛物线的焦点为，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率.求椭圆的方程．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点抛物线焦点是椭圆的一个顶点可得，由椭圆离心率得，椭圆方程可求．‎ ‎【详解】设椭圆的方程为，半焦距为．‎ 由已知条件，，，，，‎ - 19 -‎ 解得，．所以椭圆的方程为．‎ ‎【点睛】本题考查了利用待定系数法求椭圆方程，属于基础题.‎ ‎18.已知直线：与抛物线：相切于点.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求以点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）联立直线方程与抛物线方程消去，再利用，即可求得的值；‎ ‎（2）求出切点坐标及圆的半径，即可得答案 ‎【详解】（1）由，联立消去，得，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由（1）知：，‎ ‎∴，得，‎ 切点，准线，∴，‎ 方程：.‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线相切、圆的方程求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.‎ ‎19.已知椭圆的焦点在轴上，短轴长为2，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆标准方程；‎ ‎（2）直线：与椭圆相交于，两点，且弦中点横坐标为1，求值．‎ - 19 -‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用椭圆的几何性质得到、，进一步求得椭圆的标准方程；‎ ‎（2）联立直线与椭圆方程，已知直线与椭圆交于两点，故，得到，即对的限定范围，再利用韦达定理与中点公式求得的值 ‎【详解】解：（1）椭圆的焦点在轴上，短轴长为2，离心率为，‎ 可得，解得，，所以椭圆方程为．‎ ‎（2）由，得，‎ ‎，得，‎ 设，，则，∴，得，符合题意．‎ ‎【点睛】本题考查利用几何性质求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的关系求参数，求参数时需注意题目中根据位置关系所隐藏的对范围的限制条件，是对最终结果取舍的关键．‎ ‎20.已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆和上，，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ - 19 -‎ ‎【详解】（1）依题意，设椭圆方程 ，‎ ‎ ，‎ ‎ 椭圆方程为 ‎ ‎（2）设 三点共线且不在 轴上，‎ ‎ 直线 方程为 ，并分别代入 和 ，‎ 得 ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 所求直线为或 .‎ ‎..‎ ‎21.设分别是椭圆的左右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为．‎ ‎（1）若直线斜率为，求的离心率；‎ ‎（2）若直线在轴上的截距为，且，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）记，则，由题设可知，‎ 则，‎ ‎；‎ - 19 -‎ ‎（2）记直线与轴的交点为，则①，‎ ‎，‎ 将的坐标代入椭圆方程得②‎ 由①②及得，‎ 故．‎ 考点：1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.‎ ‎22.设定点，动圆过点且与直线相切.‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值. ‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用抛物线的定义，即得解；‎ ‎（2）设出直线的方程，与抛物线联立，得到韦达定理，转化，代入坐标结合韦达定理，即得解.‎ ‎【详解】（1）依题意知，点的轨迹是以为焦点，‎ 以直线为准线的抛物线，‎ 其方程为.‎ ‎（2）由题意知，‎ - 19 -‎ 直线的斜率存在且不为，设为，‎ 则的方程为.‎ 由，得.‎ 设，，‎ 则有，.‎ 因为，所以的斜率为.‎ 设，，‎ 则同理可得，.‎ 故 ‎.‎ 当且仅当，即时，取得最小值.‎ - 19 -‎ ‎【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生概念理解，综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.‎ - 19 -‎ - 19 -‎