高二数学人教a必修5练习：1-1-1正弦定理word版含解析 6页

课时训练 1 正弦定理 一、正弦定理变形的应用 1.在△ABC中,若角 A,B,C对应的三边分别是 a,b,c,则下列各式一定成立的是( ) A. cos cos B. sin sin C.asin B=bcos A D.a=bsin A 答案:B 解析:在△ABC中,由正弦定理得 sin sin,即 sin sin. 2.(2015山东威海高二期中,4)已知△ABC的三个内角之比为 A∶B∶C=3∶2∶1,那么对应的三边之比 a∶b∶c等于( ) A.3∶2∶1 B. 3∶2∶1 C. 3 2∶1 D.2∶ 3∶1 答案:D 解析:∵A∶B∶C=3∶2∶1,∴B=2C,A=3C,再由 A+B+C=π,可得 C=π6,故 A=π2,B= π 3,C= π 6. ∴a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶ 3 2 12=2∶ 3∶1.故选 D. 3.在△ABC中,A=60°,a=3,则 ++ sin+sin+sin等于( ) A.8 3 3 B.2 39 3 C.28 3 3 D.2 3 答案:D 解析:利用正弦定理及比例性质,得 ++ sin+sin+sin sin 3 sin60° 3 3 2 =2 3. 二、利用正弦定理解三角形 4.(2015山东潍坊四县联考,2)在△ABC中,已知 a=8,B=60°,C=75°,则 b等于( ) A.4 6 B.4 5 C.4 3 D.223 答案:A 解析:∵B=60°,C=75°, ∴A=180°-60°-75°=45°. ∴由正弦定理可得 b=sinsin 8×sin60° sin45° =4 6. 故选 A. 5.在△ABC中,三个内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.已知 a= 2,b= 3,B=60°,那么 A=( ) A.45° B.135° C.45°或 135° D.60° 答案:A 解析:由正弦定理可得 sin A= 2 2 ,但 ab,∴A=60°或 A=120°. 8.在△ABC中,已知 a=5,B=120°,C=15°,求此三角形最大的边长. 解:∵B=120°,C=15°, ∴A=180°-B-C=180°-120°-15°=45°. ∵B最大,∴b最大. 由正弦定理 sin sin,得 b=sinsin 5×sin120° sin45° 5 6 2 . 9.在△ABC中,已知 a=2,c= 6,C=π3,求 A,B,b. 解:∵ sin sin,∴sin A=sin 2 2 . ∵c>a,∴C>A.∴A=π4. ∴B=5π12,b= sin sin 6×sin5π12 sinπ3 3+1. 三、判断三角形形状 10.(2015河北邯郸三校联考,7)设△ABC的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A, 则△ABC的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 答案:B 解析:∵bcos C+ccos B=asin A, ∴由正弦定理可得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A, 即 sin(B+C)=sin Asin A,可得 sin A=1, 故 A=π2,故三角形为直角三角形. 故选 B. 11.在△ABC中内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若 b=2ccos A,c=2bcos A,则△ABC的形状为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 答案:C 解析:由 b=2ccos A,根据正弦定理, 得 sin B=2sin Ccos A, ∵在三角形中,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 代入上式,可得 sin Acos C+cos Asin C=2sin Ccos A, 即 sin Acos C-cos Asin C=sin(A-C)=0, 又-πb可知 B=150°不合题意,∴B=30°. ∴C=180°-60°-30°=90°. 7.在锐角△ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 3b=2 3asin B,且 cos B=cos C,则△ABC的形状 是 . 答案:等边三角形 解析:由正弦定理可将 3b=2 3asin B化为 3sin B=2 3sin Asin B.∴sin A= 3 2 . ∵△ABC为锐角三角形,∴A=π3. 又∵cos B=cos C,0b,则 B= . 答案:π6 解析:由正弦定理 sin sin sin=2R, 得 2Rsin Asin Bcos C+2Rsin Csin Bcos A=12×2Rsin B. 由 0b,所以在△ABC中,B为锐角,则 B=π6. 9.在△ABC中,已知 a2tan B=b2tan A,试判断△ABC的形状. 解:由已知得 2sin cos 2sin cos , 由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B(R为△ABC的外接圆半径), ∴ 42sin2sin cos 42sin2sin cos . ∴sin Acos A=sin Bcos B. ∴sin 2A=sin 2B. 又 A,B为三角形的内角, ∴2A=2B或 2A=π-2B,即 A=B或 A+B=π2. ∴△ABC为等腰或直角三角形. 10.在△ABC中,a,b,c分别是角 A,B,C所对应的边,且 b=6,a=2 3,A=30°,求 ac的值. 解:由正弦定理 sin sin得 sin B=sin 6sin30° 2 3 3 2 . 由条件 b=6,a=2 3,知 b>a,所以 B>A. ∴B=60°或 120°. (1)当 B=60°时,C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°. 在 Rt△ABC中,C=90°,a=2 3,b=6,则 c=4 3, ∴ac=2 3×4 3=24. (2)当 B=120°时,C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°,∴A=C,则有 a=c=2 3. ∴ac=2 3×2 3=12.