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- 2021-07-01 发布
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第2课时 三角函数线及其应用
学习目标:1.了解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.(重点)2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1.有向线段
(1)定义:带有方向的线段.
(2)表示:用大写字母表示,如有向线段OM,MP.
2.三角函数线
(1)作图:①α的终边与单位圆交于P,过P作PM垂直于x轴,垂足为M.
②过A(1,0)作x轴的垂线,交α的终边或其反向延长线于点T.
(2)图示:
图123
(3)结论:有向线段MP、OM、AT,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线.
[基础自测]
1.思考辨析
(1)角α的正弦线的长度等于sin α.( )
(2)当角α的终边在y轴上时,角α的正切线不存在.( )
(3)余弦线和正切线的始点都是原点.( )
[解析] (1)错误.角α的正弦线的长度等于|sin α|.
(2)正确.
(3)错误.正切线的始点是(1,0).
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2.角和角有相同的( )
A.正弦线 B.余弦线
C.正切线 D.不能确定
8
C [角和角的终边互为反向延长线,所以正切线相同.]
3.如图124,在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )
图124
A.正弦线MP,正切线A′T′
B.正弦线MP,正切线A′T′
C.正弦线MP,正切线AT
D.正弦线MP,正切线AT
C [α为第三象限角,故正弦线为MP,正切线为AT,C正确.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
作已知角的三角函数线
作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线.
(1)-;(2);(3).
[解] 如图.
其中MP为正弦线,OM为余弦线,AT为正切线.
[规律方法] 三角函数线的画法
(1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得正弦线和余弦线.
(2)作正切线时,应从A(1,0)点引x轴的垂线,交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T,即可得到正切线AT.
[跟踪训练]
8
1.作出-的正弦线、余弦线和正切线.
[解] 如图:
sin=MP,
cos=OM,
tan=AT.
利用三角函数线解三角不等式
[探究问题]
1.利用三角函数线如何解答形如sin α≥a,sin α≤a(|a|≤1)的不等式?
提示:对形如sin α≥a,sin α≤a(|a|≤1)
的不等式:
画出如图①所示的单位圆;在y轴上截取OM=a,过点(0,a)作y轴的垂线交单位圆于两点P和P′,并作射线OP和OP′;写出终边在OP和OP′上的角的集合;图中阴影部分即为满足不等式sin α≤a的角α的范围,其余部分即为满足不等式sin α≥a的角α的范围.
图①
2.利用三角函数线如何解答形如cos α≥a,cos α≤a(|a|≤1)的不等式?
提示:对形如cos α≥a,cos α≤a(|a|≤1)的不等式:
画出如图②所示的单位圆;在x轴上截取OM=a,过点(a,0)作x轴的垂线交单位圆于两点P和P′,作射线OP和OP′;写出终边在OP和OP′上的角的集合;图中阴影部分即为满足不等式cos α≤a的角α的范围,其余部分即为满足不等式cos α≥a的角α的范围.
图②
利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围.
8
(1)cos α>-;(2)tan α≤;(3)|sin α|≤.
[思路探究] ―→―→
[解] (1)如图,由余弦线知角α的取值范围是.
(2)如图,由正切线知角α的取值范围是.
(3)由|sin α|≤,得-≤sin α≤.
如图,由正弦线知角α的取值范围是.
[规律方法] 利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法
(1)首先作出单位圆,然后根据各问题的约束条件,利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置.
(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值,与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值.
(3)写角的范围时,抓住边界值,然后再注意角的范围的写法要求.
提醒:在一定范围内先找出符合条件的角,再用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合.
母题探究:1.将本例(1)的不等式改为“cos α<”,求α的取值范围.
[解] 如图,由余弦线知角α的取值范围是.
8
2.将本例(3)的不等式改为“-≤sin θ<”求α的取值范围.
[解] 由三角函数线可知sin=sin=,sin=sin=-,且-≤sin θ<,故θ的取值集合是∪(k∈Z).
利用三角函数线比较大小
(1)已知cos α>cos β,那么下列结论成立的是( )
A.若α、β是第一象限角,则sin α>sin β
B.若α、β是第二象限角,则tan α>tan β
C.若α、β是第三象限角,则sin α>sin β
D.若α、β是第四象限角,则tan α>tan β
(2)利用三角函数线比较sin和sin,cos和cos,tan和tan的大小.
[思路探究] (1)→
(2) →
(1)D [由图(1)可知,cos α>cos β时,sin α<sin β,故A错误;
图(1)
由图(2)可知,cos α>cos β时,tan α<tan β,故B错误;
8
图(2)
由图(3)可知,cos α>cos β时,sin α<sin β,C错误;
图(3)
由图(4)可知,cos α>cos β时,tan α>tan β,D正确.]
图(4)
(2)如图,sin=MP,cos=OM,tan=AT,sin=M′P′,cos=OM′,tan=AT′.
显然|MP|>|M′P′|,符号皆正,
∴sin>sin;
|OM|<|OM′|,符号皆负,∴cos>cos;
|AT|>|AT′|,符号皆负,∴tan<tan.
[规律方法] (1)利用三角函数线比较大小的步骤:
①角的位置要“对号入座”;
②比较三角函数线的长度;
③确定有向线段的正负.
(2)利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点:
①关键:在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.
8
②注意点:比较大小,既要注意三角函数线的长短,又要注意方向.
[跟踪训练]
2.已知a=sin,b=cos,c=tan,则( )
A.a<b<c B.a<c<b
C.b<c<a D.b<a<c
D [由如图的三角函数线知:
MP<AT,因为>=,
所以MP>OM,
所以cos<sin<tan,
所以b<a<c.]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1.如果OM,MP分别是角α=余弦线和正弦线,那么下列结论正确的是
( )
A.MP<OM<0 B.MP<0<OM
C.MP>OM>0 D.OM>MP>0
D [角β=的余弦线正弦线相等,结合图象可知角α=的余弦线和正弦线满足OM>MP>0.]
2.若角α的余弦线是单位长度的有向线段,那么角α终边在( )
A.y轴上 B.x轴上
C.直线y=x上 D.直线y=-x上
B [由已知得,角α的终边与单位圆的交点坐标为(-1,0)或(1,0),在x轴上.]
3.利用正弦线比较sin 1,sin 1.2,sin 1.5的大小关系是( )
8
A.sin 1>sin 1.2>sin 1.5
B.sin 1>sin 1.5>sin 1.2
C.sin 1.5>sin 1.2>sin 1
D.sin 1.2>sin 1>sin 1.5
C [如图,画出已知三个角的正弦线,观察可知sin 1.5>sin 1.2>sin 1.]
4.若a=sin 4,b=cos 4,则a,b的大小关系为________.
a<b [因为<4<,
画出4弧度角的正弦线和余弦弦(如图),
观察可知sin 4<cos 4,即a<b.]
5.在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围,并由此写出角α的集合.
(1)sin α≥;(2)cos α≤-.
[解] (1)作直线y=交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则角α的终边在如图①所示的阴影区域内(含边界),角α的取值集合为.
图① 图②
(2)作直线x=-交单位圆于C,D两点,连接OC,OD,则角α的终边在如图②所示的阴影区域内(含边界),角α的取值集合为.
8
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