高考卷 普通高等学校招生全国统一考试数学（湖北卷·理科）（附答案，完全word版） 11页

绝密★启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数 学（理工农医类） 本试卷共 4 面，满分 150 分，考试时间 120 分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘 巾在答题卡上指定位置。 2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上，对应题目的答案标号涂写，如写改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。 3. 非选择题用 0.5 毫米的黑色墨水签字夂答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无 效。 4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本次题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1. 设 a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c= A.(-15,12) B.0 C.-3 D.-11 2. 若非空集合 A,B,C 满足 A∪B=C，且 B 不是 A 的子集，则 A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B. “x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C. “x∈C”是“x∈A”的充分条件 D. “x∈C”是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”必要条件 3. 用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的休积为 A. 3 8 B. 3 28  C. 28 D. 3 32 4. 函数 f(x)= )4323(11 22  xxxxnx 的定义域为 A.(- ∞,-4)［∪2,+ ∞］ B.(-4,0) ∪(0,1) C. ［-4,0］∪（0，1）］ D. ［－4，0∪（0，1） 5.将函数 y=3sin（x-θ）的图象 F 按向量（ 3  ，3）平移得到图象 F′,若 F′的一条对称轴是直线 x= 4  , 则θ的一个可能取值是 A.  12 5 B.  12 5 C.  12 11 D.  12 11 6.将 5 名志愿者分配到 3 个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种 数为 A.540 B.300 C.180 D.150 7.若 f(x)= 21 ln( 2)2 x b x   在(-1,+ )上是减函数，则 b 的取值范围是 A.[-1，+∞] B.（-1，+∞） C.（-∞，-1） D.（-∞，-1） 8.已知 m∈N*,a,b∈R，若 0 (1 )lim m x x a bx    ,则 a·b= A．-m B．m C．-1 D．1 9.过点 A（11，2）作圆 2 2 2 4 164 0x y x y     的弦，其中弦长 为整数的共有 A.16 条 B.17 条 C.32 条 D.34 条 10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在 月球附近一点 P 轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道 I 绕月飞 行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ 绕月飞行，最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道Ⅲ 绕月飞行，若用 2c1 和 2c2 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用 2a1 和 2a2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③c1a2＞a1c1;④ 3 1 c c ＜ 2 2 c a . 其中正确式子的序号是 A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填在答题卡相应位置上. 11.设 z1=z1-z1(其中 z1 表示 z1 的共轭复数)，已知 z2 的实部是-1，则 z2 的虚部为 . 12．在△ABC 中，三个角 A，B，C 的对边边长分别为 a=3,b=4,c=6,则 bc cosA+ca cosB+ab cosC 的值 为 . 13.已知函数 f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x-6x+2,其中 x∈R，a,b 为常数，则方程 f(ax+b)=0 的解集为 . 14.已知函数 f(x)=2x,等差数列{ax}的公差为 2.若 f(a2+a4+ab+a2+a1)=4,则 Log2[f(a1)·f(a2)·f(a)·…·f(a10)]= . 15.观察下列等式： 2 1 2 2 2 1 3 2 2 2 1 1 1 ,2 2 1 1 1 ,3 2 6 1 1 1 ,4 2 4 n i n i n i i n n i n n n i n n n               4 4 4 3 1 1 1 1 1 ,5 2 3 30 n i i n n n n      2 4, ( 1) ( 3 21),3 n n n na n b a n      …………………………………… 2 1 2 1 1 2 1 0 1 , n k k k k k k k k k i i a n a n a n a n a n a             可以推测，当 x≥2（k∈N*）时， 1 1 1 1, ,1 2k k ka a ak    ak-2= . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分 12 分） 已知函数 f(t)= 1 17, ( ) cos (sin ) sin (cos ), ( , ).1 12 t g x x f x x f x xt       （Ⅰ）将函数 g(x)化简成 Asin(ωx+φ)+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π]）的形式； （Ⅱ）求函数 g(x)的值域. 17.（本小题满分 12 分） 袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个（n=1,2,3,4）.现从袋中任 取一球.ξ表示所取球的标号. （Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差； （Ⅱ）若η=aξ-b,Eη=1,Dη=11,试求 a,b 的值. 18.（本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，平面 ABC⊥侧面 A1ABB1. （Ⅰ）求证：AB⊥BC； （Ⅱ）若直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为θ,二面角 A1-BC-A 的 大小为φ的大小关系，并予以证明. 19.（本小题满分 13 分） 如图，在以点 O 为圆心，|AB|=4 为直径的半圆 ADB 中，OD⊥AB，P 是半圆弧上一点， ∠POB=30°，曲线 C 是满足||MA|-|MB||为定值的动点 M 的轨迹，且曲线 C 过点 P. （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C 的方程； （Ⅱ）设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E、F. 若△OEF 的面积不小于．．．2． 2 ，求直线 l 斜率的取值范围. 20.(本小题满分 12 分) 水库的蓄水量随时间而变化，现用 t 表示时间，以月为单位， 年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于 t 的近似函数关系式为 V（t）= 1 2( 14 40) 50,0 10, 4( 10)(3 41) 50,10 12. xt t e t t t t              （Ⅰ）该水库的蓄求量小于 50 的时期称为枯水期.以 i-1＜t＜t 表示第 1 月份（i=1,2,…,12）,同一年 内哪几个月份是枯水期？ （Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取 e=2.7 计算）. 21.(本小题满分 14 分) 已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ,an+1= 2 4, ( 1) ( 3 21),3 n n n na n b a n      其中λ为实数，n 为正整 数. （Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列； （Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论； （Ⅲ）设 0＜a＜b,Sn 为数列{bn}的前 n 项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数 n，都有 a＜Sn＜b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由. 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（理工农医类）试题参考答案 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分，满分 50 分. 1.C 2.B 3.B 4.D 5.A 6.D 7.C 8.A 9.C 10.B 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 25 分. 11.1 12. 61 2 13. 14.-6 15. 12 k ，0 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分. 16.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式 的化简变形和运算能力.（满分 12 分） 解：（Ⅰ） 1 sin 1 cos( ) cos sin1 sin 1 cos x xg x x xx x      2 2 2 2 (1 sin ) (1 cos )cos sincos sin x xx xx x     1 sin 1 coscos sin .cos sin x xx xx x     17, , cos cos , sin sin ,12x x x x x          1 sin 1 cos( ) cos sincos sin x xg x x xx x       sin cos 2x x   ＝ 2 sin 2.4x      （Ⅱ）由 17 12x  ＜ ，得 5 5 .4 4 3x   ＜ sint 在 5 3,4 2       上为减函数，在 3 5,2 3       上为增函数， 又 5 5 3 5sin sin , sin sin( ) sin3 4 2 4 4x      ＜ ＜ （当 17, 2x      ）， 即 21 sin( ) 2 2 2 sin( ) 2 34 2 4x x          ＜ ， ＜ ， 故 g(x)的值域为 2 2, 3 .   17.本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.（满分 12 分） 解：（Ⅰ）  的分布列为：  0 1 2 3 4 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 ∴ 1 1 1 3 10 1 2 3 4 1.5.2 20 10 20 5E            2 2 2 2 21 1 1 3 1(0 1.5) (1 1.5) (2 1.5) (3 1.5) (4 1.5) 2.75.2 20 10 20 5                  （Ⅱ）由 D a D  2 ，得 a2×2.75＝11，即 2.a   又 ,E aE b    所以 当 a=2 时，由 1＝2×1.5+b,得 b=-2; 当 a=-2 时，由 1＝-2×1.5+b，得 b=4. ∴ 2, 2 a b     或 2, 4 a b     即为所求. 18.本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关 系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.（满分 12 分） （Ⅰ）证明：如右图，过点 A 在平面 A1ABB1 内作 AD⊥A1B 于 D，则 由平面 A1BC⊥侧面 A1ABB1,且平面 A1BC  侧面 A1ABB1=A1B,得 AD⊥平面 A1BC,又 BC  平面 A1BC， 所以 AD⊥BC. 因为三棱柱 ABC—A1B1C1 是直三棱柱， 则 AA1⊥底面 ABC， 所以 AA1⊥BC. 又 AA1  AD=A,从而 BC⊥侧面 A1ABB1， 又 AB  侧面 A1ABB1，故 AB⊥BC. （Ⅱ）解法 1：连接 CD，则由（Ⅰ）知 ACD 是直线 AC 与平面 A1BC 所成的角， 1ABA 是二面角 A1—BC—A 的平面角，即 1, ,ACD ABA      于是在 Rt△ADC 中，sin ,AD AC   在 Rt△ADB 中，sin ,AD AB   由 AB＜AC，得sin sin ＜ ，又 0 2  ＜ ， ＜ ，所以  ＜ ， 解法 2：由（Ⅰ）知，以点 B 为坐标原点，以 BC、BA、BB1 所在的直线分 别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标 系，设 AA1=a,AC=b, AB=c, 则 B(0,0,0), A(0,c,0), 2 2 1( ,0,0), (0, , ),C b c A c a 于是 2 2 1( ,0,0), (0, , ),BC b c BA c a    2 2 1( , ,0), (0,0, ).AC b c c AA a     设平面 A1BC 的一个法向量为 n=(x,y,z)，则 由 1 0, 0, n BA n BC        得 2 2 0, 0, cy az b c x     可取 n=(0,-a,c)，于是 0n AC ac AC   ＞ ， 与 n 的夹角 为锐角，则 与  互为余角. 2 2 sin cos ,n AC ac n AC b a c           1 2 2 1 cos ,BA BA c BA BA a c          所以 2 2 sin ,a a c    于是由 c＜b，得 2 2 2 2 ,ac a b a c a c  ＜ 即sin sin , ＜ 又 0 ,2  ＜ ， ＜ 所以 , ＜ 19.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的 解法以及综合解题能力.（满分 13 分） （Ⅰ）解法 1：以 O 为原点，AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则 A（-2， 0），B（2，0），D(0,2),P（ 1,3 ），依题意得 ｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝ 221321)32( 2222 ＝）（  ＜｜AB｜＝4. ∴曲线 C 是以原点为中心，A、B 为焦点的双曲线. 设实平轴长为 a，虚半轴长为 b，半焦距为 c， 则 c＝2，2a＝2 2 ，∴a2=2,b2=c2-a2=2. ∴曲线 C 的方程为 122 22  yx . 解法 2：同解法 1 建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜ ｜AB｜＝4. ∴曲线 C 是以原点为中心，A、B 为焦点的双曲线. 设双曲线的方程为 a b y a x (12 2 2 2  ＞0，b＞0）. 则由 .4 ,11)3( 22 2 2 2 2   ba ba 解得 a2=b2=2, ∴曲线 C 的方程为 .122 22  yx (Ⅱ)解法 1：依题意，可设直线 l 的方程为 y＝kx+2，代入双曲线 C 的方程并整理得（1-K2）x2-4kx-6=0. ∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F， ∴ ,0)1(64)4( ,01 22 2   kk k  .33 ,1   k k ∴k∈（- 3 ,-1）∪（-1，1）∪（1， 3 ）. 设 E（x，y），F(x2,y2)，则由①式得 x1+x2= kxx k k   1 6, 1 4 212 ,于是 ｜EF｜＝ 2 21 22 21 2 21 ))(1()()( xxkxyxx  ＝ . 1 32214)(1 2 2 2 21 2 21 2 k kkxxxxk   而原点 O 到直线 l 的距离 d＝ 21 2 k ， ∴S△DEF= . 1 322 1 3221 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 k k k kk k EFd       若△OEF 面积不小于 2 2 ,即 S△OEF 22 ，则有 　解得 .22,0222 1 322 24 2 2    kkk k k ③ 综合②、③知，直线 l 的斜率的取值范围为[- 2 ，-1]∪(1-,1) ∪(1, 2 ). 解法 2：依题意，可设直线 l 的方程为 y＝kx+2，代入双曲线 C 的方程并整理， 得（1-K2）x2-4kx-6=0. ∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F， ∴ .0)1(64)4( ,01 22 2   kk k  33 ,1   k k . ∴k∈（- 3 ，-1）∪（-1，1）∪（1， 3 ）. 设 E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得 ｜x1-x2｜= . 1 322 1 4)( 2 2 221 2 21 k k k xxxx     ③ 当 E、F 在同一去上时（如图 1 所示）， S△OEF＝ ;2 1 2 1 2121 xxODxxODSS ODEODF   当 E、F 在不同支上时（如图 2 所示）.   ODFOEF SS S△ODE= .2 1)(2 1 2121 xxODxxOD  综上得 S△OEF＝ ,2 1 21 xxOD  于是 由｜OD｜＝2 及③式，得 S△OEF= . 1 322 2 2 k k   若△OEF 面积不小于 2 则有即 ,22,2 OEFS .22,022 1 322 24 2 2    kkk k k 解得 ④ 综合②、④知，直线 l 的斜率的取值范围为[- 2 ，-1]∪（-1，1）∪（1， 2 ）. 20.本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实 际问题能力.（满分 12 分） 解：（Ⅰ）①当 0＜t  10 时，V(t)=(-t2+14t-40) ,5050 4 4 1 e 化简得 t2-14t+40>0, 解得 t＜4，或 t＞10，又 0＜t  10，故 0＜t＜4. ②当 10＜t  12 时，V（t）＝4（t-10）（3t-41）+50＜50, 化简得（t-10）（3t-41）＜0, 解得 10＜t＜ 3 41 ，又 10＜t  12,故 10＜t  12. 综合得 03a 存在实数λ，使得对任意正整数 n,都有 a