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  • 2021-07-01 发布

2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册课时分层作业:3

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www.ks5u.com 课时分层作业(二十六) ‎ ‎(建议用时:40分钟) ‎ 一、选择题 ‎1.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为(  )‎ A. B. C. D. B [设点P的坐标为(a2,a),依题意可知抛物线的准线方程为x=-,则a2+=,解得a=±,故点P的坐标为.]‎ ‎2.抛物线y2=2px过点A(2,4),F是其焦点,又定点B(8,-8),那么|AF|∶|BF|=(  )‎ A.1∶4 B.1∶2‎ C.2∶5 D.3∶8‎ C [将点A(2,4)的坐标代入y2=2px,得p=4,‎ ‎∴抛物线方程为y2=8x, 焦点F(2,0),已知,B(8,-8) ,‎ ‎∴===.]‎ ‎3.过点(2,4)的直线与抛物线y2=8x只有一个公共点,这样的直线有(  )‎ A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 B [点(2,4)在抛物线y2=8x上,则过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点,故选B.]‎ ‎4.过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y2=8x交于A,B两点,则弦AB的长为(  )‎ A.2 B.2 C.2 D.2 B [设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由题意知AB的方程为y=-2(x-1),‎ 即y=-2x+2.‎ 由得x2-4x+1=0,‎ ‎∴x1+x2=4,x1·x2=1.‎ ‎∴|AB|= ‎===2.]‎ ‎5.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两个不同的点,抛物线的焦点为F,且|AF|,4,|BF|成等差数列,则k=(  )‎ A.2或-1 B.-1‎ C.2 D.1± C [设A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y,得k2x2-4(k+2)x+4=0,‎ 故Δ=16(k+2)2-16k2=64(1+k)>0,解得k>-1,且x1+x2=.‎ 由|AF|=x1+=x1+2,|BF|=x2+=x2+2,且|AF|,4,|BF|成等差数列,得x1+2+x2+2=8,得x1+x2=4,‎ 所以=4,解得k=-1或k=2,又k>-1,故k=2.]‎ 二、填空题 ‎6.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=________.‎ ‎6 [因为抛物线x2=2py的准线y=-和双曲线-=1相交交点横坐标为x=±,∴由等边三角形得2×=p,解得p=6.]‎ ‎7.直线y=x-1被抛物线y2=4x截得的线段的中点坐标是________.‎ ‎(3,2) [将y=x-1代入y2=4x,整理,得x2-6x+1=0.由根与系数的关系,得x1+x2=6,=3,‎ ‎∴===2.‎ ‎∴所求点的坐标为(3,2).]‎ ‎8.抛物线y2=4x上的点到直线x-y+4=0的最小距离为________.‎  [设与直线x-y+4=0平行且与抛物线y2=4x相切的直线方程为x-y+m=0.‎ 由得x2+(2m-4)x+m2=0,‎ 则Δ=(2m-4)2-4m2=0,解得m=1,‎ 即直线方程为x-y+1=0,‎ 直线x-y+4=0与直线x-y+1=0的距离为d==.‎ 即抛物线y2=4x上的点到直线x-y+4=0的最小距离为.]‎ 三、解答题 ‎9.已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(2,-4).‎ ‎(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;‎ ‎(2)若点B(0,2),求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程.‎ ‎[解] (1)由抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(2,-4),‎ 可得16=4p,解得p=4.‎ 所以抛物线C的方程为y2=8x,‎ 其准线方程为x=-2.‎ ‎(2)①当直线l的斜率不存在时,x=0符合题意.‎ ‎②当直线l的斜率为0时,y=2符合题意.‎ ‎③当直线l的斜率存在且不为0时,‎ 设直线l的方程为y=kx+2.‎ 由得ky2-8y+16=0.‎ 由Δ=64-64k=0,得k=1,‎ 故直线l的方程为y=x+2,即x-y+2=0.‎ 综上直线l的方程为x=0或y=2或x-y+2=0.‎ ‎10.已知抛物线C:y2=4x,过点(-1,0)的直线与抛物线C相切,设第一象限的切点为P.‎ ‎(1)求点P的坐标;‎ ‎(2)若过点(2,0)的直线l与抛物线C相交于两点A,B,圆M是以线段AB为直径的圆过点P,求直线l的方程.‎ ‎[解] (1)由题意知可设过点(-1,0)的直线方程为x=ty-1.‎ 联立得:y2-4ty+4=0,‎ 又因为直线与抛物线相切,则Δ=0,即t=±1.‎ 当t=1时,直线方程为y=x+1,则联立得点P坐标为(1,2).‎ ‎(2)设直线l的方程为:x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 联立得:y2-4my-8=0,则Δ>0恒成立,‎ y1y2=-8,y1+y2=4m,‎ 则x1x2==4,x1+x2=m(y1+y2)+4=4m2+4.‎ 由于圆M是以线段AB为直径的圆过点P,则·=0,‎ x1x2-(x1+x2)+1+y1y2-2(y1+y2)+4=0,‎ ‎4m2+8m+3=0,则m=-或m=-.‎ 则直线l的方程为y=-2x+4或y=-x+.‎ ‎11.(多选题)经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则下列说法中正确的是(  )‎ A.当AB与x轴垂直时,|AB|最小 B.+= C.以弦AB为直径的圆与直线x=-相离 D.y1y2=-p2‎ ABD [过抛物线焦点的直线与抛物线相交,其主要结论有:当AB与x 轴垂直时,|AB|最小,∴A正确;+=,∴B正确;y1y2=-p2,∴D正确;以AB为直径的圆与准线x=-相切,∴C错误,故选ABD.]‎ ‎12.抛物线有如下光学性质:过焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F,一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出,经过抛物线上的点A反射后,再经抛物线上的另一点B射出,则直线AB的斜率为(  )‎ A.- B. C.± D. A [将y=1代入y2=4x,得x=,即A,由抛物线的光学性质可知,直线AB经过焦点F(1,0),所以直线AB的斜率为=-,故选A.]‎ ‎13.(一题两空)已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且抛物线上有一点P(4,m)到焦点的距离为6.则抛物线C的方程为________;若抛物线C与直线y=kx-2相交于不同的两点A,B,且AB中点横坐标为2,则k=________.‎ y2=8x 2 [由题意设抛物线方程为y2=2px,其准线方程为x=-,根据定义可得4+=6,所以p=4,所以抛物线C的方程为y2=8x.由消去y,得k2x2-(4k+8)x+4=0.‎ 有k≠0,Δ=64(k+1)>0,‎ 解得k>-1且k≠0.‎ 又==2,‎ 解得k=2或k=-1(舍去),所以k的值为2.]‎ ‎14.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为________.‎ ‎(x+1)2+(y-)2=1 [由y2=4x可得点F的坐标为(1,0),准线l的方程为x=-1.‎ 由圆心C在l上,且圆C与y轴正半轴相切(如图),可得点C的横坐标为-1,圆的半径为1,∠CAO=90°.又因为∠FAC=120°,所以∠OAF=30°,所以|OA|=,所以点C的纵坐标为.‎ 所以圆的方程为(x+1)2+(y-)2=1.]‎ ‎15.如图,已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.‎ ‎(1)求抛物线E的方程;‎ ‎(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.‎ ‎[解] (1)由抛物线的定义得|AF|=2+.‎ 由已知|AF|=3,得2+=3,解得p=2.‎ 所以抛物线E的方程为y2=4x.‎ ‎(2)法一:如图,因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).‎ 由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).‎ 由得2x2-5x+2=0,‎ 解得x=2或x=,从而B.‎ 又G(-1,0),‎ 所以kGA==,kGB==-,‎ 所以kGA+kGB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,‎ 故以F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.‎ 法二:如图,设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.‎ 因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).‎ 由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).‎ 由 得2x2-5x+2=0,‎ 解得x=2或x=,‎ 从而B.‎ 又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0,‎ 从而r==.‎ 又直线GB的方程为2x+3y+2=0,‎ 所以点F到直线GB的距离d===r.‎ 这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.‎