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- 2021-07-01 发布
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2019-2020学年江苏省扬州中学高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共12小题)
1.已知集合A={x|x2=x},B={-1,0,1,2},则= ( )
A. {-12} B. {-1,0} C. {0,1} D. {1,2}
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意,集合,利用集合的交集运算,即可求解.
【详解】由题意,集合,,则,故选C.
【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算,其中解答中正确求解集合A,再根据集合的交集的运算求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
2.函数的定义域是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析:根据定义域求法即可.
详解:由题可得:
且,故选C.
点睛:考查函数的定义域,属于基础题.
3.设集合若则的范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析:由可知满足的数x都在内,所以
考点:集合的子集关系
4.已知,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设,可求得,从而可得结果.
【详解】设,
因为,
所以,,
可得,,
故选C.
【点睛】本题主要考查函数的解析式,属于中档题 . 求函数的解析式常见题型有以下几种:(1)根据实际应用求函数解析式;(2)换元法求函数解析式,利用换元法一定要注意,换元后参数的范围;(3)待定系数法求函数解析式,这种方法适合求已知函数名称的函数解析式;(4)消元法求函数解析式,这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.
5.已知幂函数过点,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
设幂函数,∵过点,∴ ,
∴ ,故选B.
6.若函数在上是单调函数,则实数的取值范围为( )
A. B. C. 或 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
得出函数的对称轴方程,对该函数的对称轴与区间分三种位置进行讨论,分析函数在区间上的单调性,可得出实数的取值范围.
【详解】二次函数的图象开口向上,对称轴为直线.
①当时,函数在区间上单调递增,合乎题意;
②当时,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,此时,函数在区间上不单调,不合乎题意;
③当时,函数区间上单调递减,合乎题意.
综上所述,实数的取值范围是或,故选C.
【点睛】本题考查二次函数的单调性与参数,解题时要分析二次函数图象的开口方向和对称轴,再者就是要讨论对称轴与定义域的位置关系,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.
7.若集合中只有一个元素,则=( )
A. 4 B. 2 C. 0 D. 0或4
【答案】A
【解析】
考点:该题主要考查集合的概念、集合的表示以及集合与一元二次方程的联系.
8.设 是奇函数,且在内是单调递增的,又,则的解集是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先由是奇函数,以及在内单调递增,得到在内也单调递增,,作出函数的大致图像,由得到或,结合图像,即可求出结果.
【详解】∵是奇函数,且在内单调递增,∴在内也单调递增.
又,∴,
作出的大致图像如下:
又或,
由图像可得或;
∴的解集是.
故选C.
【点睛】本题主要考查由函数的单调性解不等式,熟记函数的基本性质即可,属于常考题型.
9.若函数的定义域为,值域为,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数图象可得的取值范围.
【详解】因为当时,当时或,因此的取值范围是.
【点睛】本题考查二次函数图象与性质,考查综合分析求解能力,属中档题.
10.的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复合函数单调性的判断原则“同增异减”可求得函数的单调区间,结合对数的真数大于0,即可求得整个函数的单调递增区间.
【详解】根据复合函数单调性的判断原则,即求的单调递减区间,且
由二次函数的图象可知单调递减区间为x<1
解不等式得或
综上可知,的单调递增区间为
即x∈
所以选C
【点睛】本题考查了复合函数单调性的判断,注意对数函数的真数部分对x的特殊要求,属于基础题.
11.已知函数,不等式的解集是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分类讨论x的符号,根据函数的解析式可得函数的单调性和奇偶性,列出不等式,求得x的范围.
【详解】由题意,函数满足,故为偶函数.
当时,单调递增,
当时,单调递减,
故由不等式,故有,
即,求得,
故选:C.
【点睛】本题主要考查对数函数的性质,函数的单调性和奇偶性的应用,其中解答中熟练应用函数的奇偶性和初等函数的单调性,合理转化是解答的关键,着重考查了转化思想,以及推理与运算能力,属于中档题.
12.已知是定义在实数集上的奇函数,为非正的常数,且当时,.若存在实数,使得的定义域与值域都为,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得出函数在上单调递减,结合题意得出,由题意得出
,两式相加得出,可得出,从而可得出实数的取值范围.
【详解】函数为上的奇函数,则,适合.
当且时,函数为减函数.
设,则,,
此时,,且该函数在上单调递增,
所以,函数在实数集上单调递减,
由题意可得,则点和点在函数的图象上,且这两点关于直线对称.
若,则这两点均为第二象限,都在直线的上方,不可能关于直线对称;
若,则这两点均为第四象限,都在直线的下方,不可能关于直线对称.
因此,.
由,得,两式相加得,
即,(舍去)或,则.
代入,得,,又,.
因此,实数的取值范围是,故选B.
【点睛】本题考查函数单调性的应用,考查函数的定义域与值域问题,解题时要分析出函数的单调性及其他基本性质进行求解,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.
二、填空题(本大题共4小题)
13.若函数为偶函数,则的值为________.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据二次函数对称轴为轴时,二次函数为偶函数列方程,解方程求得的值.
【详解】由于函数为二次函数,故当其对称轴,即时,函数为偶函数.
故填:.
【点睛】本小题主要考查二次函数的性质,考查偶函数的对称性,属于基础题.
14.若,则=___.
【答案】.
【解析】
试题分析:.
考点:对数的计算.
15.若函数满足对任意实数,都有成立,则实数的取值范围是__________________
【答案】
【解析】
【分析】
由可得单调递增,则每一段函数都单调递增,且在分界点处也单调递增,即,解得范围即可
【详解】根据题意,任意实数,都有成立,则单调递增,故分段函数的每一段单调递增,且分界点处单调递增,即,则
,即
【点睛】本题考查由不等式判断单调性,分段函数单调性问题,此类问题需注意不仅要使每一段函数单调递增,且分界点处也要单调递增.
16.已知函数,若关于x的方程有6个不同的实数解,且最小实数解为,则的值为______.
【答案】
【解析】
分析】
画出函数大致图象,然后令,关于x的方程有6个不同的实数解,转化为有两个不同的根,再经过计算可得的值,即可得出结果.
【详解】由题意,作出函数图象,如图所示:
令,根据图象可知,
关于x的方程有6个不同的实数解,
可转化为关于t的方程有2个不同的实数解,
且必有一个解为0,另一个解大于0,所以.
则,解为,.
所以,即.
所以.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用,其中解答中作出函数的图象,把关于x的方程有6个不同的实数解,转化为关于t的方程有2个不同的实数解,结合函数的图象求解是解答的关键,着重考查了数形结合思想的应用,以及换元法的应用,结合图形进行计算的能力,本题属中档题.
三、解答题(本大题共6小题)
17.已知不等式的解集为A,不等式的解集为B.
(1)求A∩B;
(2)若不等式的解集为A∩B,求的值.
【答案】(1)A∩B={x|-1<x<2};(2) .
【解析】
试题分析:(1)将集合A,B进行化简,再根据集合的交集运算即可求得结果;(2)由题意知-1,2为方程的两根,代入方程联立方程组,即可解得结果.
试题解析:
解:(1)A={x|-1<x<3},
B={x|-3<x<2},
∴
(2)-1,2为方程x2+ax+b=0的两根
∴
∴.
考点:集合的运算;方程与不等式的综合应用.
18.已知定义在R上的函数是奇函数,且当时,,
求函数的表达式;
求方程的解集.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
根据是R上的奇函数得出,可设,从而得出,即可得到的表达式;
根据的表达式,由得出关于x的方程,解方程即可求解.
【详解】(1)根据题意,函数是奇函数,则,
当时,则,且当时,,
则,
所以函数的解析式为:,
(2)由(1)得:
当时,令,即,解得或(舍去),
当时,方程恒成立;
当时,令,即,解得或(舍去),
综上,方程的解集为.
【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式,以及函数解析式的应用,其中解答中熟记奇函数的定义,合理、准确运算是解答的关键,同时注意奇函数在原点有定义时,原点处的函数值为是解答的一个易错点,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.
19.设集合,.
若,求a的值;
若,求a的值.
【答案】(1)(2)或.
【解析】
【分析】
(1)根据,得到是方程的根,代入即可求解;
(2)由集合,根据,对集合B进行讨论,即可求出的值,得到答案.
【详解】(1)由题意,因为,即是方程的根,
可得,即,解得;
(2)由题意,集合,
因,可得
当时,则,解得;
当或时,则,解得,
此时满足题意;
当时,则,解得,
综上可得,或.
【点睛】本题考查了元素与集合的关系,以及集合与集合的关系的应用,其中解答中熟练应用集合的包含函数,合理分类讨论求解是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于基础题.
20.已知定义在区间上的函数为奇函数.
(1)求实数的值;
(2)判断并证明函数在区间上的单调性;
(3)解关于的不等式.
【答案】(1);(2)在区间上是增函数,见解析;(3)
【解析】
【分析】
(1)由函数是在区间上的奇函数,得到,即可求解;
(2)根据函数的单调性的定义,即可证得函数在区间上是增函数.
(3)由为奇函数,得到,再由函数在区间上是增函数,得到不等式组,即可求解.
【详解】(1)由题意,函数是在区间上的奇函数,所以,
即函数,经检验符合题意,所以实数的值.
(2)设,则,
因为, 则,
所以,即,
所以函数在区间上是增函数.
(3)因为,且为奇函数,所以.
又由函数在区间上是增函数,
所以,解得,
故关于的不等式的解集为.
【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用,其中解答中熟记函数的单调性的定义和判定方法,以及熟练应用函数的奇偶性是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
21.已知函数.
(Ⅰ)证明:当变化,函数的图象恒经过定点;
(Ⅱ)当时,设,且,求(用表示);
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在正整数,使得不等式在区间上有解,若存在,求出的最大值,若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ);(Ⅲ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)令2x-3=1得x=2,即得定点的横坐标,代入函数解析式即得定点坐标;(Ⅱ)先求出,再利用对数的运算运算法则求;(Ⅲ)化为在区间上有解,令,求得解.
【详解】(Ⅰ)当时,不论取何值,都有
故函数的图象恒经过定点;
(Ⅱ)当时,,
,
.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,不等式化为
即在区间上有解;
令,则,
,,
,
又是正整数,故的最大值为.
【点睛】本题主要考查对数函数的定点问题,考查对数的运算法则和对数函数的单调性,考查函数的最值的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
22.已知函数,其中a为常数
若,写出函数的单调递增区间不需写过程;
判断函数的奇偶性,并给出理由;
若对任意实数x,不等式恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1)递增区间为:(2)为非奇非偶函数,详见解析(3)或
【解析】
【分析】
(1)利用,直接写出函数的递增区间.
(2)当时,判断函数的奇偶性,当时,通过特殊值,说明为非奇非偶函数;
(3)设,,,通过对于当时,当时,求解,对于,当时,当时,求解,推出,由,解得,得到实数a的取值范围即可.
【详解】(1)由题意,当,函数,
可得函数的图象,如图所示,
结合图象,可函数的单调递增区间为.
(2)当时,函数,
则,所以函数为偶函数;
当时,可得,,
则,所以函数为非奇非偶函数;
(3)对任意实数x,不等式恒成立,只需使得恒成立,
设,,,
对于,
当时,;当时,
对于,
当时,,当时,
当时,,
所以,由,解得满足;
当时,,
由,解得或,不满足;
当时,,
所以,由,解得,满足题意.
所以实数a的取值范围是:或.
【点睛】本题考查了函数与方程的应用,函数的奇偶性的判定,以及函数的最值的求法等知识的综合应用,其中解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题,利用二次函数的性质求解是解答的关键,着重考查了分类讨论思想的应用,属于中档试题.