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  • 2021-07-01 发布

江苏省扬州中学2019-2020学年高一上学期期中考数学试题

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www.ks5u.com ‎2019-2020学年江苏省扬州中学高一(上)期中数学试卷 一、选择题(本大题共12小题)‎ ‎1.已知集合A={x|x2=x},B={-1,0,1,2},则= ( )‎ A. {-12} B. {-1,0} C. {0,1} D. {1,2}‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意,集合,利用集合的交集运算,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,集合,,则,故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算,其中解答中正确求解集合A,再根据集合的交集的运算求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎2.函数的定义域是 (  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析:根据定义域求法即可.‎ 详解:由题可得:‎ 且,故选C.‎ 点睛:考查函数的定义域,属于基础题.‎ ‎3.设集合若则的范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:由可知满足的数x都在内,所以 考点:集合的子集关系 ‎4.已知,则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,可求得,从而可得结果.‎ ‎【详解】设,‎ 因为,‎ 所以,,‎ 可得,,‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的解析式,属于中档题 . 求函数的解析式常见题型有以下几种:(1)根据实际应用求函数解析式;(2)换元法求函数解析式,利用换元法一定要注意,换元后参数的范围;(3)待定系数法求函数解析式,这种方法适合求已知函数名称的函数解析式;(4)消元法求函数解析式,这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.‎ ‎5.已知幂函数过点,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设幂函数,∵过点,∴ ,‎ ‎∴ ,故选B.‎ ‎6.若函数在上是单调函数,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 得出函数的对称轴方程,对该函数的对称轴与区间分三种位置进行讨论,分析函数在区间上的单调性,可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】二次函数的图象开口向上,对称轴为直线.‎ ‎①当时,函数在区间上单调递增,合乎题意;‎ ‎②当时,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,此时,函数在区间上不单调,不合乎题意;‎ ‎③当时,函数区间上单调递减,合乎题意.‎ 综上所述,实数的取值范围是或,故选C.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数的单调性与参数,解题时要分析二次函数图象的开口方向和对称轴,再者就是要讨论对称轴与定义域的位置关系,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.‎ ‎7.若集合中只有一个元素,则=( )‎ A. 4 B. 2 C. 0 D. 0或4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 考点:该题主要考查集合的概念、集合的表示以及集合与一元二次方程的联系.‎ ‎8.设 是奇函数,且在内是单调递增的,又,则的解集是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由是奇函数,以及在内单调递增,得到在内也单调递增,,作出函数的大致图像,由得到或,结合图像,即可求出结果.‎ ‎【详解】∵是奇函数,且在内单调递增,∴在内也单调递增.‎ 又,∴,‎ 作出的大致图像如下:‎ 又或,‎ 由图像可得或;‎ ‎∴的解集是.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查由函数的单调性解不等式,熟记函数的基本性质即可,属于常考题型.‎ ‎9.若函数的定义域为,值域为,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数图象可得的取值范围.‎ ‎【详解】因为当时,当时或,因此的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数图象与性质,考查综合分析求解能力,属中档题.‎ ‎10.的单调递增区间是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复合函数单调性的判断原则“同增异减”可求得函数的单调区间,结合对数的真数大于0,即可求得整个函数的单调递增区间.‎ ‎【详解】根据复合函数单调性的判断原则,即求的单调递减区间,且 由二次函数的图象可知单调递减区间为x<1‎ 解不等式得或 综上可知,的单调递增区间为 即x∈‎ 所以选C ‎【点睛】本题考查了复合函数单调性的判断,注意对数函数的真数部分对x的特殊要求,属于基础题.‎ ‎11.已知函数,不等式的解集是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分类讨论x的符号,根据函数的解析式可得函数的单调性和奇偶性,列出不等式,求得x的范围.‎ ‎【详解】由题意,函数满足,故为偶函数.‎ 当时,单调递增,‎ 当时,单调递减,‎ 故由不等式,故有,‎ 即,求得,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数的性质,函数的单调性和奇偶性的应用,其中解答中熟练应用函数的奇偶性和初等函数的单调性,合理转化是解答的关键,着重考查了转化思想,以及推理与运算能力,属于中档题.‎ ‎12.已知是定义在实数集上的奇函数,为非正的常数,且当时,.若存在实数,使得的定义域与值域都为,则实数的取值范围是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得出函数在上单调递减,结合题意得出,由题意得出 ‎,两式相加得出,可得出,从而可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】函数为上的奇函数,则,适合.‎ 当且时,函数为减函数.‎ 设,则,,‎ 此时,,且该函数在上单调递增,‎ 所以,函数在实数集上单调递减,‎ 由题意可得,则点和点在函数的图象上,且这两点关于直线对称.‎ 若,则这两点均为第二象限,都在直线的上方,不可能关于直线对称;‎ 若,则这两点均为第四象限,都在直线的下方,不可能关于直线对称.‎ 因此,.‎ 由,得,两式相加得,‎ 即,(舍去)或,则.‎ 代入,得,,又,.‎ 因此,实数的取值范围是,故选B.‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性的应用,考查函数的定义域与值域问题,解题时要分析出函数的单调性及其他基本性质进行求解,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.‎ 二、填空题(本大题共4小题)‎ ‎13.若函数为偶函数,则的值为________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数对称轴为轴时,二次函数为偶函数列方程,解方程求得的值.‎ ‎【详解】由于函数为二次函数,故当其对称轴,即时,函数为偶函数.‎ 故填:.‎ ‎【点睛】本小题主要考查二次函数的性质,考查偶函数的对称性,属于基础题.‎ ‎14.若,则=___.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:.‎ 考点:对数的计算.‎ ‎15.若函数满足对任意实数,都有成立,则实数的取值范围是__________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得单调递增,则每一段函数都单调递增,且在分界点处也单调递增,即,解得范围即可 ‎【详解】根据题意,任意实数,都有成立,则单调递增,故分段函数的每一段单调递增,且分界点处单调递增,即,则 ‎,即 ‎【点睛】本题考查由不等式判断单调性,分段函数单调性问题,此类问题需注意不仅要使每一段函数单调递增,且分界点处也要单调递增.‎ ‎16.已知函数,若关于x的方程有6个不同的实数解,且最小实数解为,则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 画出函数大致图象,然后令,关于x的方程有6个不同的实数解,转化为有两个不同的根,再经过计算可得的值,即可得出结果.‎ ‎【详解】由题意,作出函数图象,如图所示:‎ 令,根据图象可知,‎ 关于x的方程有6个不同的实数解,‎ 可转化为关于t的方程有2个不同的实数解,‎ 且必有一个解为0,另一个解大于0,所以.‎ 则,解为,.‎ 所以,即.‎ 所以.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用,其中解答中作出函数的图象,把关于x的方程有6个不同的实数解,转化为关于t的方程有2个不同的实数解,结合函数的图象求解是解答的关键,着重考查了数形结合思想的应用,以及换元法的应用,结合图形进行计算的能力,本题属中档题.‎ 三、解答题(本大题共6小题)‎ ‎17.已知不等式的解集为A,不等式的解集为B.‎ ‎(1)求A∩B; ‎ ‎(2)若不等式的解集为A∩B,求的值.‎ ‎【答案】(1)A∩B={x|-1<x<2};(2) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)将集合A,B进行化简,再根据集合的交集运算即可求得结果;(2)由题意知-1,2为方程的两根,代入方程联立方程组,即可解得结果.‎ 试题解析:‎ 解:(1)A={x|-1<x<3}, ‎ B={x|-3<x<2}, ‎ ‎∴‎ ‎(2)-1,2为方程x2+ax+b=0的两根 ‎∴‎ ‎∴.‎ 考点:集合的运算;方程与不等式的综合应用.‎ ‎18.已知定义在R上的函数是奇函数,且当时,,‎ 求函数的表达式;‎ 求方程的解集.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据是R上的奇函数得出,可设,从而得出,即可得到的表达式;‎ 根据的表达式,由得出关于x的方程,解方程即可求解.‎ ‎【详解】(1)根据题意,函数是奇函数,则,‎ 当时,则,且当时,,‎ 则,‎ 所以函数的解析式为:,‎ ‎(2)由(1)得:‎ 当时,令,即,解得或(舍去),‎ 当时,方程恒成立;‎ 当时,令,即,解得或(舍去),‎ 综上,方程的解集为.‎ ‎【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式,以及函数解析式的应用,其中解答中熟记奇函数的定义,合理、准确运算是解答的关键,同时注意奇函数在原点有定义时,原点处的函数值为是解答的一个易错点,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.‎ ‎19.设集合,.‎ 若,求a的值;‎ 若,求a的值.‎ ‎【答案】(1)(2)或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据,得到是方程的根,代入即可求解;‎ ‎(2)由集合,根据,对集合B进行讨论,即可求出的值,得到答案.‎ ‎【详解】(1)由题意,因为,即是方程的根,‎ 可得,即,解得;‎ ‎(2)由题意,集合,‎ 因,可得 当时,则,解得;‎ 当或时,则,解得,‎ 此时满足题意;‎ 当时,则,解得,‎ 综上可得,或.‎ ‎【点睛】本题考查了元素与集合的关系,以及集合与集合的关系的应用,其中解答中熟练应用集合的包含函数,合理分类讨论求解是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎20.已知定义在区间上的函数为奇函数.‎ ‎(1)求实数的值;‎ ‎(2)判断并证明函数在区间上的单调性;‎ ‎(3)解关于的不等式.‎ ‎【答案】(1);(2)在区间上是增函数,见解析;(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由函数是在区间上的奇函数,得到,即可求解;‎ ‎(2)根据函数的单调性的定义,即可证得函数在区间上是增函数.‎ ‎(3)由为奇函数,得到,再由函数在区间上是增函数,得到不等式组,即可求解.‎ ‎【详解】(1)由题意,函数是在区间上的奇函数,所以,‎ 即函数,经检验符合题意,所以实数的值.‎ ‎(2)设,则,‎ 因为, 则,‎ 所以,即,‎ 所以函数在区间上是增函数.‎ ‎(3)因为,且为奇函数,所以.‎ 又由函数在区间上是增函数,‎ 所以,解得, ‎ 故关于的不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用,其中解答中熟记函数的单调性的定义和判定方法,以及熟练应用函数的奇偶性是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)证明:当变化,函数的图象恒经过定点;‎ ‎ (Ⅱ)当时,设,且,求(用表示);‎ ‎ (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在正整数,使得不等式在区间上有解,若存在,求出的最大值,若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ); (Ⅱ);(Ⅲ) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)令2x-3=1得x=2,即得定点的横坐标,代入函数解析式即得定点坐标;(Ⅱ)先求出,再利用对数的运算运算法则求;(Ⅲ)化为在区间上有解,令,求得解.‎ ‎【详解】(Ⅰ)当时,不论取何值,都有 故函数的图象恒经过定点; ‎ ‎(Ⅱ)当时,,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,不等式化为 即在区间上有解; ‎ 令,则,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 又是正整数,故的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数的定点问题,考查对数的运算法则和对数函数的单调性,考查函数的最值的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎22.已知函数,其中a为常数 若,写出函数的单调递增区间不需写过程;‎ 判断函数的奇偶性,并给出理由;‎ 若对任意实数x,不等式恒成立,求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】(1)递增区间为:(2)为非奇非偶函数,详见解析(3)或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用,直接写出函数的递增区间.‎ ‎(2)当时,判断函数的奇偶性,当时,通过特殊值,说明为非奇非偶函数;‎ ‎(3)设,,,通过对于当时,当时,求解,对于,当时,当时,求解,推出,由,解得,得到实数a的取值范围即可.‎ ‎【详解】(1)由题意,当,函数,‎ 可得函数的图象,如图所示,‎ 结合图象,可函数的单调递增区间为.‎ ‎(2)当时,函数,‎ 则,所以函数为偶函数;‎ 当时,可得,,‎ 则,所以函数为非奇非偶函数;‎ ‎(3)对任意实数x,不等式恒成立,只需使得恒成立,‎ 设,,,‎ 对于,‎ 当时,;当时,‎ 对于,‎ 当时,,当时,‎ 当时,,‎ 所以,由,解得满足;‎ 当时,,‎ 由,解得或,不满足;‎ 当时,,‎ 所以,由,解得,满足题意.‎ 所以实数a的取值范围是:或.‎ ‎【点睛】本题考查了函数与方程的应用,函数的奇偶性的判定,以及函数的最值的求法等知识的综合应用,其中解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题,利用二次函数的性质求解是解答的关键,着重考查了分类讨论思想的应用,属于中档试题.‎ ‎ ‎