高中数学必修2教案：第一章 1_3_1空间几何体的表面积与体积 11页

‎1．3　空间几何体的表面积与体积 ‎1．3.1　柱体、锥体、台体的表面积与体积 ‎[学习目标]　1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体的表面积的求法.2.了解柱、锥、台体的表面积和体积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．‎ ‎[知识链接]‎ ‎1．棱柱的侧面形状是平行四边形；棱锥的侧面形状是三角形；棱台的侧面形状是梯形．‎ ‎2．圆柱、圆锥、圆台的底面形状是圆．‎ ‎3．三角形的面积S＝ah(其中a为底，h为高)，圆的面积S＝πr2(其中r为半径)，扇形的面积公式S＝lr(l为扇形的弧长，r为扇形的半径)．‎ ‎4．长方体的体积V＝abc(其中a，b，c为长、宽、高)．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．多面体的表面积 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积．‎ ‎2．旋转体的表面积 名称 图形 公式 圆柱 底面积：S底＝2πr2‎ 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2‎ 续表 圆锥 底面积：S底＝πr2‎ 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πrl＋πr2‎ 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2‎ 下底面面积：S下底＝πr2‎ 侧面积：S侧＝πl(r＋r′) ‎ 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)‎ ‎3.体积公式 ‎(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.‎ ‎(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.‎ ‎(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝(S′＋＋S)h.‎ 要点一　空间几何体的表面积 例1　如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．‎ 解　以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm，下底半径是16 cm，母线DC＝＝13(cm)．‎ ‎∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm2)．‎ 规律方法　1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键．‎ ‎2．棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解．‎ 跟踪演练1　如图，已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体SABC，求它的表面积．‎ 解　先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D.‎ 因为BC＝a，SD＝＝ ＝a.‎ 所以S△SBC＝BC·SD ‎＝a×a＝a2.‎ 因此，四面体SABC的表面积S＝4×a2＝a2.‎ 要点二　空间几何体的体积 例2　如图，三棱台ABCA1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1ABC，三棱锥BA1B1C，三棱锥CA1B1C1的体积之比．‎ 解　设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.‎ ‎∴VA1ABC＝S△ABC·h＝Sh，‎ VCA1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh.‎ 又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，‎ ‎∴VBA1B1C＝V台－VA1－ABC－VC－A1B1C1‎ ‎＝Sh－－＝Sh，‎ ‎∴体积比为1∶2∶4.‎ 规律方法　求几何体体积的常用方法 跟踪演练2　如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d.‎ 解　在三棱锥A1－ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，‎ A1B＝BD＝A1D＝a，‎ ‎∵VA1－ABD＝VA－A1BD，‎ ‎∴×a2·a＝××a×·a·d.‎ ‎∴d＝a.∴A到平面A1BD的距离为a.‎ 要点三　与三视图有关的表面积、体积问题 例3　一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是(　　)‎ A．4，8 B．4， C．4(＋1)， D．8,8‎ 答案　B 解析　由正视图得出四棱锥的底面边长与高，进而求出侧面积与体积．‎ 由正视图知：四棱锥的底面是边长为2的正方形，四棱锥的高为2，∴V＝×22×2＝.四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为2，高为，∴S侧＝4××2×＝4.‎ 规律方法　1.解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据．‎ ‎2．若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和．‎ 跟踪演练3　某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．‎ 答案　16π－16‎ 解析　由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π－16.‎ ‎1．已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线的长是2，则这个长方体的体积是(　　)‎ A．6 B．12‎ C．24 D．48‎ 答案　D 解析　设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x、2x、3x，又对角线长为2，则x2＋(2x)2＋(3x)2＝(2)2，解得x＝2.∴三条棱长分别为2、4、6.‎ ‎∴V长方体＝2×4×6＝48.‎ ‎2．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于(　　)‎ A. B．1‎ C. D. 答案　D 解析　根据正方体的俯视图及侧视图特征想象出其正视图后求面积．‎ 由于该正方体的俯视图是面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，因此该几何体的正视图是一个长为，宽为1的矩形，其面积为.‎ ‎3. 一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．12π B．18π C．24π D．36π 答案　C 解析　由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r＝3，母线l＝5，∴S表＝πrl＋πr2＝24π.故选C.‎ ‎4．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.‎ 答案　 解析　根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4 m，高为2 m的圆锥，下部是一个底面直径为2 m，高为4 m的圆柱．‎ 故该几何体的体积 V＝π×22×2＋π×12×4＝(m3)．‎ ‎5．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比为________．‎ 答案　 解析　设底面半径为r，侧面积＝4π2r2，表面积为＝2πr2＋4π2r2，其比为.‎ ‎1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．‎ ‎2．计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．‎ ‎3．在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”.‎ 一、基础达标 ‎1．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是(　　)‎ A．4π B．3π C．2π D．π 答案　C 解析　底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.‎ ‎2．圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于(　　)‎ A．72 B．42π C．67π D．72π 答案　C 解析　S圆台表＝S圆台侧＋S上底＋S下底 ‎＝π(3＋4)·6＋π·32＋π·42＝67π.‎ ‎3．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1ACD的体积是(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 答案　A 解析　三棱锥D1ADC的体积V＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝×＝.‎ ‎4．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是(　　)‎ A．72 cm3 B．90 cm3‎ C．108 cm3 D．138 cm3‎ 答案　B 解析　该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示．‎ V＝V三棱柱＋V长方体＝×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm3)．‎ ‎5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 答案　B 解析　如图，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，故其体积V＝××1×1×2＝，故选B.‎ ‎6．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________．‎ 答案　2∶1‎ 解析　S圆柱＝2·π2＋2π··a＝πa2，‎ S圆锥＝π2＋π··a＝πa2，‎ ‎∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1.‎ ‎7．如图是某几何体的三视图．‎ ‎(1)画出它的直观图(不要求写画法)；‎ ‎(2)求这个几何体的表面积和体积．‎ 解　(1)这个几何体的直观图如图所示．‎ ‎(2)这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱(底面半径为1，高为2)，它的上部是一个圆锥(底面半径为1，母线长为2，高为)，‎ 所以所求表面积为S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×2＝7π，‎ 体积为V＝π×12×2＋×π×12×＝2π＋π.‎ 二、能力提升 ‎8．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是(　　)‎ A．54 B．54π C．58 D．58π 答案　A 解析　设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝πh1(r2＋9r2＋3r·r)，‎ ‎∴πr2h1＝12.令原圆锥的高为h，由相似知识得知＝，∴h＝h1，‎ ‎∴V原圆锥＝π(3r)2×h＝3πr2×h1‎ ‎＝×12＝54.‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A. B. C．200 D．240‎ 答案　C 解析　先将三视图还原为空间几何体，再根据体积公式求解．由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为2，下底长为8，高为4，故面积为S＝＝20.‎ 又棱柱的高为10，所以体积V＝Sh＝20×10＝200.‎ ‎10．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．‎ 答案　12‎ 解析　设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.‎ 由题意，得×6××2××h＝2，‎ ‎∴h＝1，‎ ‎∴斜高h′＝＝2，‎ ‎∴S侧＝6××2×2＝12.‎ ‎11．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．‎ ‎(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.‎ 解　由已知可得该几何体是一个底面为矩形、高为4、顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥VABCD.‎ ‎(1)V＝×(8×6)×4＝64.‎ ‎(2)该四棱锥的两个侧面VAD，VBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为h1＝ ＝4，另两个侧面VAB，VCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h2＝ ＝5.‎ 因此S侧＝2 ‎＝40＋24.‎ 三、探究与创新 ‎12．若E，F是三棱柱ABCA1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥ABEFC的体积．‎ 解　如图所示，‎ 连接AB1，AC1.‎ ‎∵B1E＝CF，‎ ‎∴梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积．‎ 又四棱锥ABEFC的高与四棱锥AB1EFC1的高相等，‎ ‎∴VABEFC＝VAB1EFC1＝VABB1C1C.‎ 又VAA1B1C1＝S△A1B1C1·h，‎ VABCA1B1C1＝S△A1B1C1·h＝m，‎ ‎∴VAA1B1C1＝，‎ ‎∴VABB1C1C＝VABCA1B1C1VAA1B1C1＝m，‎ ‎∴VABEFC＝×m＝，‎ 即四棱锥ABEFC的体积是.‎ ‎13．有位油漆工用一把长度为50 cm，横截面半径为10 cm的圆柱形刷子给一块面积为10 m2的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少？(精确到0.01秒)‎ 解　圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，∵圆柱的侧面积为 S侧＝2πrl＝2π×0.1×0.5＝0.1π (m2)，‎ 且圆柱形刷子以每秒5周的速度匀速滚动，‎ ‎∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5π m2.‎ ‎∴油漆工完成任务所需的时间 t＝＝≈6.37(秒)．‎