2020版高中数学 第二章 随机变量及其分布 习题课 离散型随机变量的均值学案 新人教A版选修2-3 16页

习题课　离散型随机变量的均值 学习目标　1.进一步熟练掌握均值公式及性质.2.能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题．‎ 类型一　放回与不放回问题的均值 例1　在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：‎ ‎(1)不放回抽样时，抽取次品数ξ的均值；‎ ‎(2)放回抽样时，抽取次品数η的均值．‎ 考点　二项分布的计算及应用 题点　二项分布与超几何分布的识别 解　(1)方法一　P(ξ＝0)＝＝；‎ P(ξ＝1)＝＝；‎ P(ξ＝2)＝＝.‎ ‎∴随机变量ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 16‎ E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.‎ 方法二　由题意知P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2)，‎ ‎∴随机变量ξ服从超几何分布，n＝3，M＝2，N＝10，‎ ‎∴E(ξ)＝＝＝.‎ ‎(2)由题意知1次取到次品的概率为＝，‎ 随机变量η服从二项分布η～B，‎ ‎∴E(η)＝3×＝.‎ 反思与感悟　不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算．‎ 跟踪训练1　甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有‎2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2.‎ ‎(1)若m＝10，求甲袋中红球的个数；‎ ‎(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求P2的值；‎ ‎(3)设P2＝，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的分布列和均值．‎ 考点　常见的几种均值 题点　相互独立事件的均值 解　(1)设甲袋中红球的个数为x，‎ 依题意得x＝10×＝4.‎ ‎(2)由已知，得＝，解得P2＝.‎ ‎(3)ξ的所有可能取值为0,1,2,3.‎ P(ξ＝0)＝××＝，‎ P(ξ＝1)＝××＋×C××＝，‎ P(ξ＝2)＝×C××＋×2＝，‎ 16‎ P(ξ＝3)＝×2＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ 类型二　与排列、组合有关的分布列的均值 例2　如图所示，从A1(1,0,0)，A2(2，0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1 (0，0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V＝0)．‎ ‎(1)求V＝0的概率；‎ ‎(2)求均值E(V)．‎ 考点　常见的几种均值 题点　与排列、组合有关的随机变量的均值 解　(1)从6个点中随机选取3个点总共有C＝20(种)取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有CC＝12(种)，‎ 因此V＝0的概率为P(V＝0)＝＝.‎ ‎(2)V的所有可能取值为0，，，，，‎ 则P(V＝0)＝，P＝＝，‎ P＝＝，‎ P＝＝，‎ P＝＝.‎ 因此V的分布列为 16‎ V ‎0‎ P 所以E(V)＝0×＋×＋×＋×＋×＝.‎ 反思与感悟　解此类题的关键是搞清离散型随机变量X取每个值时所对应的随机事件，然后利用排列、组合知识求出X取每个值时的概率，利用均值的公式便可得到．‎ 跟踪训练2　某位同学记住了10个数学公式中的m(m≤10)个，从这10个公式中随机抽取3个，若他记住2个的概率为.‎ ‎(1)求m的值；‎ ‎(2)分别求他记住的数学公式的个数X与没记住的数学公式的个数Y的均值E(X)与E(Y)，比较E(X)与E(Y)的关系，并加以说明．‎ 考点　超几何分布的均值 题点　超几何分布的均值 解　(1)P(X＝2)＝＝，‎ 即m(m－1)(10－m)＝120，且m≥2.‎ 所以m的值为6.‎ ‎(2)由原问题知，E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，‎ 没记住的数学公式有10－6＝4个，故Y的可能取值为0,1，2,3.‎ P(Y＝0)＝＝，‎ P(Y＝1)＝＝，‎ P(Y＝2)＝＝，‎ P(Y＝3)＝＝，‎ 所以Y的分布列为 Y ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 16‎ E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，‎ 由E(X)＝，E(Y)＝得出 ‎①E(X)>E(Y)．说明记住公式个数的均值大于没记住公式个数的均值．‎ ‎②E(X)＋E(Y)＝3.说明记住和没记住的均值之和等于随机抽取公式的个数．‎ 类型三　与互斥、独立事件有关的分布列的均值 例3　某学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核．每个项目只有一次补考机会，补考不及格者不能进入下一个项目的训练(即淘汰)，若该学生身体体能考核合格的概率是，外语考核合格的概率是，假设每一次考核是否合格互不影响．‎ 假设该生不放弃每一次考核的机会．用ξ表示其参加补考的次数，求随机变量ξ的均值．‎ 考点　常见的几种均值 题点　相互独立事件的均值 解　ξ的可能取值为0,1,2.‎ 设该学生第一次，第二次身体体能考核合格分别为事件A1，A2，第一次，第二次外语考核合格分别为事件B1，B2，‎ 则P(ξ＝0)＝P(A1B1)＝×＝，‎ P(ξ＝2)＝P(‎1A21 B2)＋P(‎1A21 2)‎ ‎＝×××＋×××＝.‎ 根据分布列的性质，可知P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.‎ 反思与感悟　若随机变量取某一值的概率较为复杂或不好求时，可以利用分布列的性质求其概率．‎ 跟踪训练3　甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，没有和棋，采用五局三胜制，规定某人先胜三局则比赛结束，求比赛局数X的均值．‎ 考点　常见的几种均值 16‎ 题点　相互独立事件的均值 解　由题意，得X的所有可能取值是3,4,5.‎ 则P(X＝3)＝C×3＋C×3＝，‎ P(X＝4)＝C×2××＋C×2××＝，‎ P(X＝5)＝C×2×2×＋C×2×2×＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P E(X)＝3×＋4×＋5×＝.‎ 类型四　均值问题的实际应用 例4　某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．‎ ‎(1)求X的分布列；‎ ‎(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；‎ ‎(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？‎ 考点　离散型随机变量的均值的性质 题点　均值在实际中的应用 16‎ 解　(1)由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2，且X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22，从而 P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；‎ P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；‎ P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；‎ P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；‎ P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；‎ P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；‎ P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.‎ 所以X的分布列为 X ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ P ‎0.04‎ ‎0.16‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.2‎ ‎0.08‎ ‎0.04‎ ‎(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.‎ ‎(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．‎ 当n＝19时，‎ E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.‎ 当n＝20时，‎ E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.‎ 可知当n＝19时所需费用的均值小于当n＝20时所需费用的均值，故应选n＝19.‎ 反思与感悟　解答概率模型的三个步骤 ‎(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．‎ ‎(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．‎ ‎(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．‎ 跟踪训练4　某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．‎ ‎(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；‎ ‎(2)求η的分布列及均值E(η)．‎ 考点　离散型随机变量的均值的性质 16‎ 题点　均值在实际中的应用 解　(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．‎ P()＝(1－0.4)3＝0.216，‎ P(A)＝1－P()＝1－0.216＝0.784.‎ ‎(2)η的可能取值为200,250,300.‎ P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，‎ P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，‎ P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，‎ 因此η的分布列为 η ‎200‎ ‎250‎ ‎300‎ P ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．‎ ‎1．若随机变量X的分布列如下表所示，则E(X)等于(　　)‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎2x ‎3x ‎7x ‎2x ‎3x x A. B. C. D. 考点　离散型随机变量的均值的概念与计算 题点　离散型随机变量均值的计算 答案　C 解析　因为2x＋3x＋7x＋2x＋3x＋x＝18x＝1，所以x＝，因此E(X)＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5×x＝40x＝40×＝.‎ ‎2．某一供电网络有n个用电单位，每个单位在一天中用电的机会是p，则供电网络中一天平均用电的单位个数是(　　)‎ A．np(1－p) B．np C．n D．p(1－p)‎ 考点　二项分布、两点分布的均值 题点　二项分布的均值 16‎ 答案　B 解析　用电单位X～B(n，p)，∴E(X)＝np.‎ ‎3．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为(　　)‎ A. B. C．2 D. 考点　超几何分布的均值 题点　超几何分布的均值 答案　D 解析　X可能取值为2,3.P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以E(X)＝×2＋×3＝＋2＝.故选D.‎ ‎4．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数是75,80，则这次考试该年级学生平均分数为________．‎ 考点　离散型随机变量的均值的概念与计算 题点　离散型随机变量均值的计算 答案　78‎ 解析　平均成绩为×75＋×80＝78.‎ ‎5．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．‎ ‎(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；‎ ‎(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和均值．‎ 考点　常见的几种均值 题点　相互独立事件的均值 解　(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P(A)＝××＝.‎ ‎(2)依题意，得X所有可能的取值是1,2,3，又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝.所以X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 16‎ 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.‎ ‎1．实际问题中的均值问题 均值在实际中有着广泛的应用，如体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计．‎ ‎2．概率模型的解答步骤 ‎(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．‎ ‎(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．‎ ‎(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．‎ 一、选择题 ‎1．已知X～B，Y～B，且E(X)＝15，则E(Y)等于(　　)‎ A．5 B．‎10 C．15 D．20‎ 考点　二项分布、两点分布的均值 题点　二项分布的均值 答案　B 解析　E(X)＝n＝15，∴n＝30，∴E(Y)＝30×＝10.‎ ‎2．甲、乙两台自动车床生产同种标准的零件，X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X，Y的分布列分别是：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.7‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ Y ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.5‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0‎ 据此判定(　　)‎ A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好 C．甲与乙质量一样 D．无法判定 考点　离散型随机变量的均值的性质 题点　均值在实际中的应用 16‎ 答案　A 解析　E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.‎ 显然E(X)