高中数学人教a版必修四课时训练：2．2.1 向量加法运算及其几何意义 5页

§2.2 平面向量的线性运算 2．2.1 向量加法运算及其几何意义 课时目标 1.理解向量加法的法则及其几何意义.2.能用法则及其几何意义，正确作出两个 向量的和． 1．向量的加法法则 (1)三角形法则 如图所示，已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作AB→＝a，BC→＝b，则向量________ 叫做 a 与 b 的和(或和向量)，记作__________，即 a＋b＝AB→＋BC→＝________.上述求两个向 量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则． 对于零向量与任一向量 a 的和有 a＋0＝________＋______＝______. (2)平行四边形法则 如图所示，已知两个不共线向量 a，b，作OA→ ＝a，OB→ ＝b，则 O、A、B 三点不共线，以______， ______为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a＋b，这个法则叫做两个向量求 和的平行四边形法则． 2．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝______________. (2)结合律：(a＋b)＋c＝______________________. 一、选择题 1．已知向量 a 表示“向东航行 1 km”，向量 b 表示“向南航行 1 km”，则 a＋b 表示( ) A．向东南航行 2 km B．向东南航行 2 km C．向东北航行 2 km D．向东北航行 2 km 2．如图，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( ) A.AB→＝CD→ ，BC→＝AD→ B.AD→ ＋OD→ ＝DA→ C.AO→ ＋OD→ ＝AC→＋CD→ D.AB→＋BC→＋CD→ ＝DA→ 3．在四边形 ABCD 中，AC→＝AB→＋AD→ ，则( ) A．四边形 ABCD 一定是矩形 B．四边形 ABCD 一定是菱形 C．四边形 ABCD 一定是正方形 D．四边形 ABCD 一定是平行四边形 4．a，b 为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( ) A．a∥b，且 a 与 b 方向相同 B．a，b 是共线向量且方向相反 C．a＝b D．a，b 无论什么关系均可 5. 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，BC→＋DC→ ＋BA→等于( ) A. BD→ B. DB→ C. BC→ D. CB→ 6. 如图所示，在正六边形 ABCDEF 中，若 AB＝1，则|AB→＋FE→＋CD→ |等于( ) A．1 B．2 C．3 D．2 3 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．在平行四边形 ABCD 中，BC→＋DC→ ＋BA→＋DA→ ＝________. 8．已知在矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝3，则AB→＋BC→＋AC→的模等于________． 9．已知|a|＝3，|b|＝5，则向量 a＋b 模长的最大值是____． 10. 设 E 是平行四边形 ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式 (1)DE→ ＋EA→＝________； (2)BE→＋AB→＋EA→＝________； (3)DE→ ＋CB→＋EC→＝________； (4)BA→＋DB→ ＋EC→＋AE→＝________. 三、解答题 11．一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，船实际航行方向与水流方向成 30°角， 求水流速度和船实际速度． 12. 如图所示，在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 的延长线和反向延长线上取点 F，E，使 BE＝DF. 求证：四边形 AECF 是平行四边形． 能力提升 13．已知点 G 是△ABC 的重心，则GA→ ＋GB→ ＋GC→ ＝______. 14．在水流速度为 4 3 km/h 的河中，如果要船以 12 km/h 的实际航速与河岸垂直行驶， 求船航行速度的大小和方向． 1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向 量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则． 2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任 意的组合去进行． §2.2 平面向量的线性运算 2．2.1 向量加法运算及其几何意义 答案 知识梳理 1．(1)AC→ a＋b AC→ 0 a a (2)OA OB 平行四边形 OC→ 2．(1)b＋a (2)a＋(b＋c) 作业设计 1．A 2.C 3.D 4.A 5．C [BC→＋DC→ ＋BA→＝BC→＋(DC→ ＋BA→)＝BC→＋0＝BC→.] 6．B [|AB→＋FE→＋CD→ |＝|AB→＋BC→＋CD→ |＝|AD→ |＝2.] 7．0 解析 注意DC→ ＋BA→＝0，BC→＋DA→ ＝0. 8．2 13 解析 |AB→＋BC→＋AC→|＝|2AC→|＝2|AC→|＝2 13. 9．8 解析 ∵|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8. ∴|a＋b|的最大值为 8. 10．(1)DA→ (2)0 (3)DB→ (4)DC→ 11．解 如图所示，OA→ 表示水流速度，OB→ 表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC→ 表示船实际航行 的速度，∠AOC＝30°，|OB→ |＝5 (km/h)． ∵四边形 OACB 为矩形， ∴|OA→ |＝ |AC→| tan 30° ＝5 3 (km/h)，|OC→ |＝ |OB→ | sin 30° ＝10 (km/h)， ∴水流速度大小为 5 3 km/h，船实际速度为 10 km/h. 12．证明 AE→＝AB→＋BE→，FC→＝FD→ ＋DC→ ，因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以AB→＝DC→ ， 因为 FD＝BE，且FD→ 与BE→的方向相同，所以FD→ ＝BE→， 所以AE→＝FC→，即 AE 与 FC 平行且相等， 所以四边形 AECF 是平行四边形． 13．0 解析 如图所示，连接 AG 并延长交 BC 于 E 点，点 E 为 BC 的中点，延长 AE 到 D 点，使 GE＝ED， 则GB→ ＋GC→ ＝GD→ ，GD→ ＋GA→ ＝0， ∴GA→ ＋GB→ ＋GC→ ＝0. 14．解 如图，设AB→表示水流速度，则AC→表示船航行的实际速度，作 AD 綊 BC，则AD→ 即表示船航 行的速度．因为|AB→|＝4 3，|AC→|＝12，∠CAB＝90°，所以 tan∠ACB＝4 3 12 ＝ 3 3 ， 即∠ACB＝30°，∠CAD＝30°. 所以|AD→ |＝8 3，∠BAD＝120°. 即船航行的速度大小为 8 3 km/h，方向与水流方向所成角为 120°.