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  • 2021-07-01 发布

2020年高中数学第三章空间向量与立体几何3

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‎3.1.3‎‎ 空间向量的数量积运算 ‎[课时作业]‎ ‎[A组 基础巩固]‎ ‎1.如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是(  )‎ A.2· B.2· C.2· D.2· 解析:2·=-a2,故A错;2·=-a2,故B错;2·=-a2,故D错,只有C正确.‎ 答案:C ‎2.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(+-2 )·(-)=0,则△ABC是(  )‎ A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 解析:(+-2 )·(-)‎ ‎=(-+-)·(-)‎ ‎=(+)·(-)‎ ‎=-=0‎ ‎∴||=||,∴△ABC是等腰三角形.‎ 答案:B ‎3.已知向量a,b,c两两交角为60°,其模都为1,则|a-b+‎2c|等于(  )‎ A. B.‎5 C.6 D. 解析:因为|a|=|b|=|c|=1,‎ ‎〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,‎ 所以a·b=b·c=a·c=,‎ 8‎ a2=b2=c2=1,‎ 所以|a-b+‎2c|= ‎= ‎= ‎==.‎ 答案:A ‎4.已知平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,‎ PA⊥平面ABCD,且PA=6,则PC=(  )‎ A.3 B.7‎ C.4 D.6‎ 解析:||2=·=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=62+42+32+2||||cos 120°=49.‎ 答案:B ‎5.已知空间向量a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若‎2a-b与b垂直,则|a|等于(  )‎ A. B. C. D. 解析:∵a=(1,n,2),b=(-2,1,2).∴‎2a-b=(2,2n,4)-(-2,1,2)‎ ‎=(4,2n-1,2),∵‎2a-b与b垂直,∴(‎2a-b)·b=0,即 ‎-2×4+1×(2n-1)+4=0,∴n=,故|a|==.‎ 答案:D ‎6.在四面体OABC中,棱OA、OB、OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G为△ABC的重心,则·(++)=________.‎ 解析:由已知·=·=·=0,且=,‎ 故·(++)‎ ‎=(++)2‎ ‎=(||2+||2+||2)‎ 8‎ ‎=(1+4+9)=.‎ 答案: ‎7.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,〈a,b〉=135°,m⊥n,则λ=________.‎ 解析:因为m⊥n,所以m·n=0,‎ 即(a+b)·(a+λb)=0,‎ 所以a2+(λ+1)a·b+λb2=0,‎ 所以(3)2+(λ+1)×3×4×cos 135°+λ·42=0,‎ 所以18-12(λ+1)+16λ=0,‎ 所以4λ+6=0,‎ λ=-.‎ 答案:- ‎8.已知空间向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|=2,则|‎3a-2b|=________.‎ 解析:∵|a|=|b|=|a-b|=2,‎ ‎∴|a-b|2=4,即a2-‎2a·b+b2=4,‎ ‎∴a·b=2,‎ ‎∴|‎3a-2b|2=(‎3a-2b)2=‎9a2-‎12a·b+4b2=28,‎ 故|‎3a-2b|=2.‎ 答案:2 ‎9.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.求证:PA⊥BD.‎ 证明:∵=-,=+.‎ ‎∴·=(-)·(+)‎ ‎=2+·-·-· ‎=DA2+DA·2DA·cos 120°‎ ‎=0.‎ ‎∴⊥,即PA⊥BD.‎ ‎10.如图,已知线段AB⊥平面α,BC⊂α,CD⊥BC,DF⊥平面α,且∠DCF=30°,D与A在α的同侧,若AB=BC=CD=2,求A,D 8‎ 两点间的距离.‎ 解析:∵=++,‎ ‎∴||2=· ‎=(++)·(++)=||2+||2+||2+2·+2·+2·①‎ ‎∵AB=BC=CD=2,∴||=||=||=2 ②‎ 又∵AB⊥α,BC⊂α,∴AB⊥BC.‎ ‎∴·=0. ③‎ ‎∵CD⊥BC,∴·=0. ④‎ 把②③④代入①可得||2=4+4+4+2· ‎=12+2||·||cos〈,〉‎ ‎=12+8cos〈,〉. ⑤‎ ‎∵∠D CF=30°,从而∠CDF=60°. ‎ 又∵AB⊥α,DF⊥α,∴AB∥DF.‎ ‎∴〈,〉=〈,〉=60°.‎ ‎∴〈,〉=120°.代入⑤式得到 ‎||2=12+8cos 120°=8,∴||=2.‎ ‎∴A,D两点间距离为2.‎ ‎[B组 能力提升]‎ ‎1.若(a+b)⊥(‎2a-b),(a-2b)⊥(‎2a+b),则cos〈a,b〉为(  )‎ A. B.- C.- D. 解析:由(a+b)·(‎2a-b)=0,(a-2b)·(‎2a+b)=0得 ‎2a‎2+a·b-b2=0, ①‎ ‎2a‎2-‎3a·b-2b2=0, ②‎ 所以‎8a2-5b2=0,a·b=-b2,‎ 8‎ 所以cos〈a,b〉===-.‎ 答案:B ‎2.三棱柱ABCA1B‎1C1中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(  )‎ A. B.- C. D. 解析:设底面边长为a,‎ 因为=+,‎ ‎||2=(+)2‎ ‎=2+2·+2‎ ‎=a2+2×a×acos 60°+a2‎ ‎=‎3a2,‎ ‎∴||=a,‎ =+=+(-)=+-,‎ ‎∴||2=(+-)2‎ ‎=2+2+2+2·-2·-2· ‎=a2+a2+a2+a2-a2-a2‎ ‎=‎2a2,‎ ‎∴||=a,‎ ·=(+)·(+-)‎ ‎=(+)·+(+)·(-)‎ ‎=·+·+2-2‎ ‎=a×acos 60°+a×acos 60°+a2-a2‎ ‎=a2.‎ 8‎ ‎∴cos〈,〉===.‎ 答案:A ‎3.在长方体ABCDA1B‎1C1D1中,AB=,AA1=1,AD=1,给出下列命题:‎ ‎①异面直线AD与CB1所成的角等于向量与的夹角;‎ ‎②与的夹角为;‎ ‎③⊥;‎ ‎④cos,=.‎ 其中正确的命题是________.‎ 解析:①异面直线AD与CB1所成的角为,而向量与的夹角为;②与的夹角为钝角,与直线AB1与BB1所成的角互补,其值为,所以正确;③⊥显然正确;④cos,=-cos,=-.‎ 答案:②③‎ ‎4.如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,把△ADC沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,则BD的长为________.‎ 解析:取基底{,,C}‎ 则=++ ‎∴||2=2=2+2+2+2·+2·+2· ‎=12+12+12+2×1×1×cos〈,〉‎ ‎=3+2cos〈,〉,‎ 8‎ 当〈,〉=60°时,‎ ‎||2=3+2×=4,||=2.‎ 当〈,〉=120°时,‎ ‎||2=3+2×(-)=2,||=.‎ 答案:2或 ‎5.如图,BB1⊥平面ABC,且△ABC是∠B=90°的等腰直角三角形,▱ABB‎1A1、▱BB‎1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若AB=a,求异面直线BA1与AC所成的角.‎ 解析:·=(+)·(-)‎ ‎=·-+·-· ‎=0-a2+0-0=-a2,‎ 又||=a,||=a,‎ 于是cos〈,〉===-.‎ 所以向量与的夹角是120°,‎ 故异面直线BA1与AC所成的角等于60°.‎ ‎6.如图,正三棱柱ABCA1B‎1C1中,底面边长为.‎ ‎(1)设侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1;‎ ‎(2)设AB1与BC1的夹角为,求侧棱的长.‎ 解析:(1)证明:=+,=+.‎ ‎∵BB1⊥平面ABC,‎ ‎∴·=0,·=0.‎ 又△ABC为正三角形,‎ ‎∴〈,〉=π-〈,〉=π-=.‎ ‎∵·=(+)·(+)‎ 8‎ ‎=·+·+2+· ‎=||·||·cos〈,〉+2=-1+1=0,‎ ‎∴AB1⊥BC1.‎ ‎(2)由(1)知·=||·||·cos〈,〉+2=2-1.‎ 又||= = =||,‎ ‎∴cos〈,〉==,‎ ‎∴||=2,即侧棱长为2.‎ 8‎