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- 2021-07-01 发布
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3.1.3 空间向量的数量积运算
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1.如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是( )
A.2·
B.2·
C.2·
D.2·
解析:2·=-a2,故A错;2·=-a2,故B错;2·=-a2,故D错,只有C正确.
答案:C
2.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(+-2 )·(-)=0,则△ABC是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
解析:(+-2 )·(-)
=(-+-)·(-)
=(+)·(-)
=-=0
∴||=||,∴△ABC是等腰三角形.
答案:B
3.已知向量a,b,c两两交角为60°,其模都为1,则|a-b+2c|等于( )
A. B.5 C.6 D.
解析:因为|a|=|b|=|c|=1,
〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,
所以a·b=b·c=a·c=,
8
a2=b2=c2=1,
所以|a-b+2c|=
=
=
==.
答案:A
4.已知平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,
PA⊥平面ABCD,且PA=6,则PC=( )
A.3 B.7
C.4 D.6
解析:||2=·=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=62+42+32+2||||cos 120°=49.
答案:B
5.已知空间向量a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若2a-b与b垂直,则|a|等于( )
A. B.
C. D.
解析:∵a=(1,n,2),b=(-2,1,2).∴2a-b=(2,2n,4)-(-2,1,2)
=(4,2n-1,2),∵2a-b与b垂直,∴(2a-b)·b=0,即
-2×4+1×(2n-1)+4=0,∴n=,故|a|==.
答案:D
6.在四面体OABC中,棱OA、OB、OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G为△ABC的重心,则·(++)=________.
解析:由已知·=·=·=0,且=,
故·(++)
=(++)2
=(||2+||2+||2)
8
=(1+4+9)=.
答案:
7.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,〈a,b〉=135°,m⊥n,则λ=________.
解析:因为m⊥n,所以m·n=0,
即(a+b)·(a+λb)=0,
所以a2+(λ+1)a·b+λb2=0,
所以(3)2+(λ+1)×3×4×cos 135°+λ·42=0,
所以18-12(λ+1)+16λ=0,
所以4λ+6=0,
λ=-.
答案:-
8.已知空间向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|=2,则|3a-2b|=________.
解析:∵|a|=|b|=|a-b|=2,
∴|a-b|2=4,即a2-2a·b+b2=4,
∴a·b=2,
∴|3a-2b|2=(3a-2b)2=9a2-12a·b+4b2=28,
故|3a-2b|=2.
答案:2
9.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.求证:PA⊥BD.
证明:∵=-,=+.
∴·=(-)·(+)
=2+·-·-·
=DA2+DA·2DA·cos 120°
=0.
∴⊥,即PA⊥BD.
10.如图,已知线段AB⊥平面α,BC⊂α,CD⊥BC,DF⊥平面α,且∠DCF=30°,D与A在α的同侧,若AB=BC=CD=2,求A,D
8
两点间的距离.
解析:∵=++,
∴||2=·
=(++)·(++)=||2+||2+||2+2·+2·+2·①
∵AB=BC=CD=2,∴||=||=||=2 ②
又∵AB⊥α,BC⊂α,∴AB⊥BC.
∴·=0. ③
∵CD⊥BC,∴·=0. ④
把②③④代入①可得||2=4+4+4+2·
=12+2||·||cos〈,〉
=12+8cos〈,〉. ⑤
∵∠D CF=30°,从而∠CDF=60°.
又∵AB⊥α,DF⊥α,∴AB∥DF.
∴〈,〉=〈,〉=60°.
∴〈,〉=120°.代入⑤式得到
||2=12+8cos 120°=8,∴||=2.
∴A,D两点间距离为2.
[B组 能力提升]
1.若(a+b)⊥(2a-b),(a-2b)⊥(2a+b),则cos〈a,b〉为( )
A. B.- C.- D.
解析:由(a+b)·(2a-b)=0,(a-2b)·(2a+b)=0得
2a2+a·b-b2=0, ①
2a2-3a·b-2b2=0, ②
所以8a2-5b2=0,a·b=-b2,
8
所以cos〈a,b〉===-.
答案:B
2.三棱柱ABCA1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A. B.- C. D.
解析:设底面边长为a,
因为=+,
||2=(+)2
=2+2·+2
=a2+2×a×acos 60°+a2
=3a2,
∴||=a,
=+=+(-)=+-,
∴||2=(+-)2
=2+2+2+2·-2·-2·
=a2+a2+a2+a2-a2-a2
=2a2,
∴||=a,
·=(+)·(+-)
=(+)·+(+)·(-)
=·+·+2-2
=a×acos 60°+a×acos 60°+a2-a2
=a2.
8
∴cos〈,〉===.
答案:A
3.在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=,AA1=1,AD=1,给出下列命题:
①异面直线AD与CB1所成的角等于向量与的夹角;
②与的夹角为;
③⊥;
④cos,=.
其中正确的命题是________.
解析:①异面直线AD与CB1所成的角为,而向量与的夹角为;②与的夹角为钝角,与直线AB1与BB1所成的角互补,其值为,所以正确;③⊥显然正确;④cos,=-cos,=-.
答案:②③
4.如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,把△ADC沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,则BD的长为________.
解析:取基底{,,C}
则=++
∴||2=2=2+2+2+2·+2·+2·
=12+12+12+2×1×1×cos〈,〉
=3+2cos〈,〉,
8
当〈,〉=60°时,
||2=3+2×=4,||=2.
当〈,〉=120°时,
||2=3+2×(-)=2,||=.
答案:2或
5.如图,BB1⊥平面ABC,且△ABC是∠B=90°的等腰直角三角形,▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若AB=a,求异面直线BA1与AC所成的角.
解析:·=(+)·(-)
=·-+·-·
=0-a2+0-0=-a2,
又||=a,||=a,
于是cos〈,〉===-.
所以向量与的夹角是120°,
故异面直线BA1与AC所成的角等于60°.
6.如图,正三棱柱ABCA1B1C1中,底面边长为.
(1)设侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1;
(2)设AB1与BC1的夹角为,求侧棱的长.
解析:(1)证明:=+,=+.
∵BB1⊥平面ABC,
∴·=0,·=0.
又△ABC为正三角形,
∴〈,〉=π-〈,〉=π-=.
∵·=(+)·(+)
8
=·+·+2+·
=||·||·cos〈,〉+2=-1+1=0,
∴AB1⊥BC1.
(2)由(1)知·=||·||·cos〈,〉+2=2-1.
又||= = =||,
∴cos〈,〉==,
∴||=2,即侧棱长为2.
8
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