北师大版高中数学选修1-1同步练习【第3章】计算导数（含答案） 4页

计算导数 同步练习 一,选择题: 1．曲线 y=ln(2x-1)上的点到直线 2x-y+3=0 的最短距离是( ) A、 5 B、 2 5 C、3 5 D、0 2、设 P 点是曲线 3 233  xxy 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为 ，则角 的 取值范围是( ) A、 2[0, ) [ , )2 3    B、 5[0, ) [ , )2 6    C、 ),3 2[  D、 )6 5,2(  3、已知函数 63)( 23  xaxxf ，若 4)1(' f ，则实数 a 的值为（ ） （A） 3 19 （B） 3 16 （C） 3 13 （D） 3 10 4.已知函数 f(x)在 x=1 处的导数为 1，则 x fxf x )1()1(lim0   = ( ) A．2 B．1 C． 2 1 D． 4 1 5．若曲线 y=f (x)在点(x0, f(x0))处的切线方程为 2x－y+1=0，则（ ） （A）f ’(x0)>0 （B）f ’(x0)<0 （C）f ’(x0)=0 （D）f ’(x0)不存在 6．设曲线 2xy  在点 P 处的切线斜率为 3，则点 P 的坐标为 （ ） A．（3，9） B．（－3，9） C．（ 4 9,2 3 ） D．（ 4 9,2 3 ） 7．函数 A．4x+3 B．4x-1 C．4x-5 D．4x-3 8、f/（x）是 f（x）的导函数，f/（x）的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可 能是（ ） A B C D 9、设 )(xf 是可导函数，且    )(,2)()2(lim 0 00 0 xfx xfxxf x 则 （ ） A． 2 1 B．－1 C．0 D．－2  )(',2)1( 2 xfxxxf 则 10、已知曲线 12 2  xy 在点 M 处的瞬时变化率为-4，则点 M 的坐标是（ ） A （1，3） B （-4，33） C （-1，3） D 不确定 11、设函数 )(xfy  ，当自变量 x 由 0x 改变到 xx 0 时，函数值的改变量是（ ） A )( 0 xxf  B xxf )( 0 C xxf )( 0 D )()( 00 xfxxf  12、已知函数 12  xy 的图像上一点（1，2）及邻近一点 )2,1( yx  ，则 x y   等 于（ ） A 2 B 2 x C x2 D 2+ 2)( x 二,解答题: 13. 已知直线 1l 为曲线 22  xxy 在点（1，0）处的切线， 2l 为该曲线的另一条 切线，且 .21 ll  （Ⅰ）求直线 2l 的方程； （Ⅱ）求由直线 1l 、 2l 和 x 轴所围成的三角形的面积.. 14.已知抛物线 C1：y=x2+2x 和 C：y=－x2+a，如果直线 l 同时是 C1 和 C2 的切线，称 l 是 C1 和 C2 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段. （Ⅰ）a 取什么值时，C1 和 C2 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； （Ⅱ）若 C1 和 C2 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分. 答案: 1.A 2.A 3.D 4.B 5.A 6.C 7.D 8.D 9.B 10.C 11.D 12.C 13. 解：y′=2x+1. 直线 l1 的方程为 y=3x－3. 设直线 l2 过曲线 y=x2+x－2 上 的点 B（b, b2+b－2）,则 l2 的方程为 y=(2b+1)x－ b2－2 因为 l1⊥l2，则有 2b+1= .3 2,3 1  b 所以直线 l2 的方程为 .9 22 3 1  xy （II）解方程组      9 22 3 1 ,33 xy xy 得        .2 5 ,6 1 y x 所以直线 l1 和 l2 的交点的坐标为 ).2 5,6 1(  l1、l2 与 x 轴交点的坐标分别为（1，0）、 )0,3 22( . 所以所求三角形的面积 .12 125|2 5|3 25 2 1 S 14.分析：根据导数可以求得两切线的方程，有且仅有一条公切线即两方程为同一 个方程，可以求 a 的值；若证明两公切线平分，即证明中点相同即可. （Ⅰ）解：函数 y=x2+2x 的导数 y′=2x+2,曲线 C1 在点 P（x1,x 2 1 +2x1）的切线方程 是： y－(x 2 1 +2x1)=(2x1+2)(x－x1),即 y=(2x1+2)x－x 2 1 ① 函数 y=－x2+a 的导数 y′=－2x, 曲线 C2 在点 Q（x2,－x 2 2 +a）的切线方程是 即 y－(－x 2 2 +a)=－2x2(x－x2). y=－2x2x+x 2 2 +a . ② 如果直线 l 是过 P 和 Q 的公切线，则①式和②式都是 l 的方程， x1+1=－x2 所以 － x 2 1 =x 2 2 +a. 消去 x2 得方程 2x 2 1 +2x2+1+a=0. 若判别式△=4－4×2（1+a）=0 时，即 a=－ 2 1 时解得 x1=－ 2 1 ，此时点 P 与 Q 重合. 即当 a=－ 2 1 时 C1 和 C2 有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为 y=x－ 4 1 . （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知.当 a<－ 2 1 时 C1 和 C2 有两条公切线 设一条公切线上切点为：P（x1,y1）, Q（x2 , y2 ）. 其中 P 在 C1 上，Q 在 C2 上，则有 x1+x2=－1, y1+y2=x 2 1 +2x1+(－x 2 2 +a)= x 2 1 +2x1－(x1+1)2+a=－1+a . 线段 PQ 的中点为 ).2 1,2 1( a 同理，另一条公切线段 P′Q′的中点也是 ).2 1,2 1( a 所以公切线段 PQ 和 P′Q′互相平分.