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- 2021-07-01 发布
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1.2 充分条件与必要条件
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．设a，b∈R，那么“>1”是“a>b>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由>1得，－1＝>0，即b(a－b)>0，得或，即a>b>0或a1”是“a>b>0”的必要不充分条件，选B.
答案：B
2．“θ≠”是“cos θ≠”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为“θ≠”是“cos θ≠”的逆否命题：“cos θ＝”是“θ＝”的必要不充分条件，选B.
答案：B
3．命题p：>0；命题q：y＝ax是R上的增函数，则p是q成立的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由>0得a>1或a<0；由y＝ax是R上的增函数得a>1.因此，p是q成立的必要不充分条件，选A.
答案：A
4．对于非零向量有a＝(a1，a2)和b＝(b1，b2)，“a∥b”是“a1b2－a2b1＝0”的( )
A．必要不充分条件 B．充分必要条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由向量平行的坐标表示可得a∥b⇔a1b2－a2b1＝0，选B.
答案：B
5．已知h＞0，设命题甲为：两个实数a、b满足|a－b|＜2h，命题乙为：两个实数a、b满足|a－1|＜h且|b－1|＜h，那么( )
A．甲是乙的充分但不必要条件
4
B．甲是乙的必要但不充分条件
C．甲是乙的充分必要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析：因为所以
两式相减得－2h＜a－b＜2h，故|a－b|＜2h.
即由命题乙成立推出命题甲成立，所以甲是乙的必要条件．
由于同理也可得|a－b|＜2h.
因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选B.
答案：B
6．已知各个命题A、B、C、D，若A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充分必要条件，试问D是A的________条件(填：“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”)．
解析：∵A⇒B⇒C⇔D，
∴D是A的必要不充分条件．
答案：必要不充分
7．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充分必要条件是m＝________.
解析：x＋(m＋1)y＝2－m与mx＋2y＝－8互相垂直⇔1·m＋(m＋1)·2＝0⇔m＝－.
答案：－
8．有四个命题：①“x2≠1”是“x≠1”的必要条件；②“x＞5”是“x＞4”的充分不必要条件；③“xyz＝0”是“x＝0，且y＝0，且z＝0”的充分必要条件；④“x2＜4”是“x＜2”的充分不必要条件．其中是假命题的有________．
解析：“x2≠1”是“x≠1”的充分条件，①错误；“x＞5”是“x＞4”的充分不必要条件，②正确；“xyz＝0”是“x＝0，且y＝0，且z＝0”的必要不充分条件，③错误；“x2＜4”是“x＜2”的充分不必要条件，④正确．
答案：①③
9．在下列各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由．
(1)A：|p|≥2，p∈R，B：方程x2＋px＋p＋3＝0有实根；
(2)A：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，B：c2＝(a2＋b2)r2.
解析：(1)当|p|≥2时，例如p＝3，则方程x2＋3x＋6＝0无实根，而方程x2＋px＋p＋3＝0要有实根，必有p≤－2或p≥6，可推出|p|≥2，故A是B的必要不充分条件．
(2)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r
4
，即r＝，所以c2＝(a2＋b2)r2；
反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，则＝r成立，
说明x2＋y2＝r2的圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，故A是B的充分必要条件．
10．已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充分必要条件是xy>0.
证明：(1)必要性：由<，得－<0，即<0.
又由x>y，得y－x<0，所以xy>0.
(2)充分性：由xy>0，及x>y，得>，即<.
综上所述，<的充分必要条件是xy>0.
[B组 能力提升]
1．(2016·高考北京卷)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：结合平面向量的几何意义进行判断．
若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为菱形．
a＋b，a－b表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．
答案：D
2．不等式x－1>0成立的充分不必要条件是( )
A．－11 B．01 D．x>2
解析：由不等式知x>1为x－1>0的充分必要条件，结合选项知D为充分不必要条件．
答案：D
3．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的________条件．
解析：由1×1＋1×(－a)＝0，∴a＝1，即为充分必要条件．
答案：充分必要
4
4．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充分必要条件是________．
解析：若b≥0，函数y＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上是单调增加的；若y＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上是单调的，则只能是单调增加的，故b≥0.
答案：b≥0
5．已知p：－40”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；
(2)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围．
解析：令集合M＝{x|4x＋p<0}＝{x|x<－}，
N＝{x|x2－x－2>0}＝{x|x<－1或x>2}．
(1)若M⊆N，则－≤－1⇔p≥4，
所以p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件；
(2)若“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的必要条件，则M⊇N，
显然{x|x<－}⊇{x|x<－1或x>2}不成立．
所以不存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的必要条件．
4
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