2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案：第九章平面解析几何第1节直线的方程 13页

www.ks5u.com 第1节　直线的方程 考试要求　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.‎ 知 识 梳 理 ‎1.直线的倾斜角 ‎(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；‎ ‎(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；‎ ‎(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π).‎ ‎2.直线的斜率 ‎(1)定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan__α.‎ ‎(2)计算公式：‎ ‎①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝.‎ ‎②若直线的方向向量为a＝(x，y)(x≠0)，则直线的斜率k＝.‎ ‎3.直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0)‎ 两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 ＋＝1‎ 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0‎ 所有直线 ‎(A2＋B2≠0)‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：‎ α ‎0‎ ‎0<α< <α<π k ‎0‎ k>0‎ 不存在 k<0‎ ‎2.截距和距离的不同之处 ‎“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.(　　)‎ ‎(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　)‎ ‎(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(　　)‎ ‎(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(　　)‎ 解析　(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.‎ ‎(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.‎ ‎(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2.(老教材必修2P89B5改编)若过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程为________.‎ 解析　由题意得＝12，解得m＝－2，∴A(2，6)，‎ ‎∴直线AB的方程为y－6＝12(x－2)，‎ 整理得12x－y－18＝0.‎ 答案　12x－y－18＝0‎ ‎3.(老教材必修2P101B2改编)若方程Ax＋By＋C ‎＝0表示与两条坐标轴都相交的直线(不与坐标轴重合)，则应满足的条件是________.‎ 解析　由题意知，直线斜率存在且斜率不为零，所以A≠0且B≠0.‎ 答案　A≠0且B≠0‎ ‎4.(2020·西安调研)直线x－y＋1＝0的倾斜角为(　　)‎ A.30° B.45° C.120° D.150°‎ 解析　由题意得，直线y＝x＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°.‎ 答案　B ‎5.(2020·昆明诊断)已知直线l经过A(2，1)，B(1，m2)两点(m∈R)，那么直线l的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A.[0，π) B.∪ C. D.∪ 解析　直线l的斜率k＝＝1－m2，因为m∈R，所以k∈(－∞，1]，所以直线的倾斜角的取值范围是∪.‎ 答案　B ‎6.(2020·合肥调研)过点(－3，4)，在x轴上的截距为负数，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为______.‎ 解析　由题设知，横、纵截距均不为0，设直线的方程为＋＝1，又直线过点(－3，4)，从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9(舍).故所求直线的方程为4x－y＋16＝0.‎ 答案　4x－y＋16＝0‎ 考点一　直线的倾斜角与斜率　典例迁移 ‎【例1】 (一题多解)(经典母题)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________.‎ 解析　法一　设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α 增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).‎ 当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－].‎ 故斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞).‎ 法二　设直线l的斜率为k，则直线l的方程为 y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.‎ ‎∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，‎ ‎∴(2k－1－k)(－－k)≤0，‎ 即(k－1)(k＋)≥0，解得k≥1或k≤－.‎ 即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞).‎ 答案　(－∞，－]∪[1，＋∞)‎ ‎【迁移1】 若将例1中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.‎ 解　设直线l的斜率为k，则直线l的方程为 y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.‎ ‎∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，‎ ‎∴(2k－1＋k)(－＋k)≤0，‎ 即(3k－1)(k－)≤0，解得≤k≤.‎ 即直线l的斜率的取值范围是.‎ ‎【迁移2】 若将例1中的B点坐标改为B(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围.‎ 解　由例1知直线l的方程kx－y－k＝0，‎ ‎∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，‎ ‎∴(2k－1－k)(2k＋1－k)≤0，‎ 即(k－1)(k＋1)≤0，解得－1≤k≤1.‎ 即直线l倾斜角的取值范围是∪.‎ 规律方法　1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y＝tan x在∪上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在∪上并不是单调的.‎ ‎2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为时，直线斜率不存在.‎ ‎【训练1】 如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)‎ A.k1α3，所以00；‎ 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞).‎ ‎(3)解　由题意可知k≠0，再由l的方程，‎ 得A，B(0，1＋2k).‎ 依题意得解得k>0.‎ ‎∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|‎ ‎＝·＝ ‎≥×(2×2＋4)＝4，‎ ‎“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，‎ ‎∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.‎ A级　基础巩固 一、选择题 ‎1.(2020·安阳模拟)若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝(　　)‎ A.1±或0 B.或0‎ C. D.或0‎ 解析　由题意知kAB＝kAC，即＝，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±.‎ 答案　A ‎2.(2020·广东七校联考)若过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(－2，1) B.(－1，2)‎ C.(－∞，0) D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)‎ 解析　由题意知<0，即<0，解得－20，b>0时，－a<0，－b<0，结合选项知B符合，其他均不符合.‎ 答案　B ‎4.(2020·成都诊断)过点(2，1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是(　　)‎ A.x＝2 B.y＝1‎ C.x＝1 D.y＝2‎ 解析　直线y＝－x－1的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为，故所求直线斜率不存在，又直线过点(2，1)，所以所求直线方程为x＝2.‎ 答案　A ‎5.已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为(　　)‎ A.y＝x＋2 B.y＝x－2‎ C.y＝x＋ D.y＝－x＋2‎ 解析　因为直线x－2y－4＝0的斜率为，所以直线l在y轴上的截距为2，所以直线l的方程为y＝x＋2.‎ 答案　A ‎6.(2020·湖北四地七校联考)已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，若f＝f，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　由f＝f知函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f(0)＝f，所以a＝－b，由直线ax－by＋c＝0知其斜率k＝＝－1，所以直线的倾斜角为，故选D.‎ 答案　D ‎7.直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A.[0，π) B.∪ C. D.∪ 解析　设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.‎ 又sin α∈[－1，1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ<π.‎ 答案　B ‎8.(2020·东北三省四校调研)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为(　　)‎ A. B.[－1，0]‎ C.[0，1] D. 解析　由题意知，y′＝2x＋2，‎ 设P(x0，y0)，则在点P处的切线的斜率k＝2x0＋2.‎ 因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，‎ 故－1≤x0≤－.‎ 答案　A 二、填空题 ‎9.直线l的倾斜角为60°，且在x轴上的截距为－，则直线l的方程为________.‎ 解析　由题意可知，直线l的斜率为，且该直线过，∴直线l的方程为y＝ ‎，即3x－y＋1＝0.‎ 答案　3x－y＋1＝0‎ ‎10.已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为________.‎ 解析　BC的中点坐标为，∴BC边上中线所在直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.‎ 答案　x＋13y＋5＝0‎ ‎11.设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________.‎ 解析　b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值.所以b的取值范围是[－2，2].‎ 答案　[－2，2]‎ ‎12.若经过两点A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角是直线4x－3y＋2 020＝0的倾斜角的一半，则y的值为________.‎ 解析　因为直线4x－3y＋2 020＝0的斜率为，所以由倾斜角的定义可知直线4x－3y＋2 020＝0的倾斜角α满足tan α＝，因为α∈[0，π)，所以∈，所以＝，解得tan ＝，由已知及倾斜角与斜率的关系得＝，所以y＝－.‎ 答案　－ B级　能力提升 ‎13.(2019·湖南长郡中学月考)已知点(－1，2)和在直线l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A. B.∪ C. D. 解析　因为点(－1，2)和在直线l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，所以(－a－2＋1)·>0，即(a＋1)(a＋)<0，所以－0，bc<0 B.ab>0，bc>0‎ C.ab<0，bc>0 D.ab<0，bc<0‎ 解析　易知直线的斜率存在，则直线方程可化为y＝－x－，由题意知所以ab>0，bc<0.‎ 答案　A ‎15.已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，其前n项和Sn＝，则直线＋＝1与坐标轴所围成的三角形的面积为________.‎ 解析　由an＝可知an＝－，‎ 所以Sn＝＋＋＋…＋＝1－，‎ 又知Sn＝，所以1－＝，所以n＝9.‎ 所以直线方程为＋＝1，且与坐标轴的交点为(10，0)和(0，9)，所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为×10×9＝45.‎ 答案　45‎ ‎16.(2020·豫北名校调研)直线l过点P(6，4)，且分别与两坐标轴的正半轴交于A，B两点，当△ABO的面积最小时，直线l的方程为________.‎ 解析　设直线l的方程为y－4＝k(x－6)(k≠0)，则A，B(0，4－6k)，由题意知k<0，则S△ABO＝×|OA|·|OB|＝·(4－6k)＝24－18k－，∵k<0，∴－18k>0，－>0，∴－18k－≥2＝24，当且仅当－18k＝－，即k2＝，也即k＝－时取得等号，所以△ABO的面积的最小值为48，此时直线l的方程为y－4＝－(x－6)，即2x＋3y－24＝0.‎ 答案　2x＋3y－24＝0‎ C级　创新猜想 ‎17.(多填题)设点A(－2，3)，B(3，2)，已知直线l的方程为ax＋y＋2＝0，则直线l过定点________，若直线l与线段AB没有交点，则实数a的取值范围是________.‎ 解析　直线ax＋y＋2＝0恒过点M(0，－2)，且斜率为－a，∵kMA＝＝－，kMB＝＝，结合题意可知－a>－，且－a<，∴a∈.‎ 答案　(0，－2)