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- 2021-07-01 发布
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课时作业3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、选择题
1.(2020·长春质监)命题“∀x∈R,ex≥x+1”的否定是( D )
A.∀x∈R,ex0 B.∀x∈N,x2>0
C.∃x0∈R,lnx0<1 D.∃x0∈N*,sin=1
解析:对于选项A,由函数y=ex的图象可知,∀x∈R,ex>0,故选项A为真命题;对于选项B,当x=0时,x2=0,故选项B为假命题;对于选项C,当x0=时,ln=-1<1,故选项C为真命题;对于选项D,当x0=1时,sin=1,故选项D为真命题.综上知选B.
4.命题p:若sinx>siny,则x>y;命题q:x2+y2≥2xy.下列命题为假命题的是( B )
A.p或q B.p且q
C.q D.綈p
解析:当x=,y=π时,满足sinx>siny,但xy,则x2>y2,命题q:若x-y.在命题①p∧q;②p∨q;③p∨(綈q);④(綈p)∧q中,真命题是( D )
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
解析:命题p:当x=0,y=-2时,x20”
B.命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件
C.命题“若am2≤bm2,则a≤b”是假命题
D.命题“在△ABC中,若sinA<,则A<”的逆否命题为真命题
解析:A中,命题的否定是“∀x∈R,x2-x>0”,故A错误;B中,当p为假命题,q为真命题时,满足p∨q为真,但p∧q为假,故B错误;C中,当m=0时,由am2≤bm2不能得出a≤b,故C正确;D中,命题“在△ABC中,若sinA<,则A<”为假命题,所以其逆否命题为假命题,故D错误.故选C.
9.(2020·广东七校联考)已知命题p:∃x∈R,x-1≥lgx,命题q:∀x∈(0,π),sinx+>2,则下列判断正确的是( D )
A.p∨q是假命题 B.p∧q是真命题
C.p∨(綈q)是假命题 D.p∧(綈q)是真命题
解析:对于命题p,当x=10时,x-1≥lgx成立,所以命题p是真命题;对于命题q,当x=时,sinx+>2不成立,所以命题q是假命题.根据复合命题真假的判断,可知p∧(綈q)是真命题,故选D.
10.已知命题p:关于x的方程x2+ax+1=0没有实根;命题q:∀x>0,2x-a>0.若“綈p”和“p∧q”都是假命题,则实数a的取值范围是( C )
5
A.(-∞,-2)∪(1,+∞)
B.(-2,1]
C.(1,2)
D.(1,+∞)
解析:方程x2+ax+1=0无实根等价于Δ=a2-4<0,即-20,2x-a>0等价于a<2x在(0,+∞)上恒成立,即a≤1.因“綈p”是假命题,则p是真命题,又因“p∧q”是假命题,则q是假命题,∴得10,所以f(x)≥f=2,则λ≤2.
二、填空题
12.(2020·石家庄检测)命题p:∃x0∈(0,+∞),x≤x0+2,则綈p是∀x∈(0,+∞),x2>x+2.
解析:特称命题的否定方法是先将存在量词改为全称量词,再否定结论,因此綈p:∀x∈(0,+∞),x2>x+2.
13.命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是∃x0∈R,|x0|+x<0.
14.若命题“对∀x∈R,kx2-kx-1<0”是真命题,则k的取值范围是(-4,0].
解析:“对∀x∈R,kx2-kx-1<0”是真命题,当k=0时,则有-1<0;当k≠0时,则有k<0且Δ=(-k)2-4×k×(-1)=k2+4k<0,解得-40;命题q:>1,若“(綈q)∧p”为真,则x的取值范围是(-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞).
解析:因为“(綈q)∧p”为真,即q假p真,而当q为真命题时,-1=->0,即20,解得x>1或x<-3,由
5
得x≥3或1a2-a恒成立;命题q:关于x的方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实数根.若“(綈p)∨q”为真命题,“(綈p)∧q”为假命题,则实数a的取值范围是{-1}∪(1,2).
解析:令f(x)=2x+|2x-2|,
则f(x)=
∵y=2x+1-2在x∈(1,+∞)上是增函数,
∴f(x)有最小值2,
若命题p为真命题,则a2-a<2,解得-10,
解得a<-1或a>1.
5
∵(綈p)∨q为真命题,(綈p)∧q为假命题,
∴綈p与q一真一假.
若p真,则q真,此时1
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