四川省绵阳市2020届高三高考适应性考试（四诊）数学（文）试题 Word版含解析 23页

www.ks5u.com 绵阳市高中2017级高考适应性考试 文科数学 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束后，将答题卡交回.‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先解不等式，得到，再求即可.‎ ‎【详解】因为，所以.‎ ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查集合的交集运算，同时考查了指数不等式的解法，属于简单题.‎ ‎2. 下列函数中，定义域为，且在区间上单调递增的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断选项的定义域和单调性即可找到答案.‎ ‎【详解】A选项，的定义域为，故排除A.‎ - 23 -‎ B选项，的定义域为，故排除B.‎ C选项，的定义域为，在上有增有减，故排除C.‎ D选项，的定义域为，令，在上单调递增，‎ 在上单调递增，所以在上单调递增.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查函数的定义域和单调性，同时考查了复合函数的单调性，属于简单题.‎ ‎3. 等差数列中，，则（ ）‎ A. 5 B. 9 C. 11 D. 13‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差中项直接计算即可.‎ ‎【详解】因为是的等差中项，‎ 所以，‎ 即，‎ 解得，‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了等差中项，考查了运算能力，属于容易题.‎ ‎4. 时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如下统计图，根据该统计图，下列说法错误的是（ ）‎ A. 2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多 - 23 -‎ B. 2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小 C. 2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量 D. 2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据统计图，逐项分析即可.‎ ‎【详解】对于A，由柱状图可得五月出货量最高，故A正确;‎ 对于B，根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波动小，故B正确; ‎ 对于C,根据曲线上数据可得仅仅四月五月比同比高，其余各月均低于2018年，‎ 且明显总出货量低于2018年，故C正确;‎ 对于D，可计算的2018年12月出货量为，8月出货量为，故12月更高，故D错误,‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了学生合情推理能力，考查数据分析与图表分析能力，属于容易题.‎ ‎5. 在平面内，则（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量减法可得，直接计算向量的模即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了向量的减法，向量的模，向量的坐标运算，属于容易题.‎ ‎6. 函数的图象（ ）‎ - 23 -‎ A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 关于轴对称 D. 关于轴对称 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用正弦函数的图象和性质即可逐项判断求解.‎ ‎【详解】对于A，由于f (1) =sin (1-1) =sin0=0， 可得函数y=sin (x-1) 的图象关于点(1, 0)对称,故A正确;‎ 对于B，由于f (1) =sin (1-1) =sin0=0≠士1,可得函数y=sin (x-1) 的图象不关于直线x=1对称，故B错误;‎ 对于C,由于f (0) =sin (0-1) =-sin1≠0,可得函数y=sin (x-1) 的图象不关于x轴对称，‎ 故C错误;‎ 对于D，由知不是偶函数，图象不关于y轴对称,D错误.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题.‎ ‎7. 公元263年，数学家刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，提出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则圆周合体而无所失矣”.如图是利用“割圆术”思想求图形面积的一个程序框图，则其输出的的值为（ ）‎ - 23 -‎ ‎（参考数据：）‎ A. 6 B. 12 C. 24 D. 48‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环.‎ ‎【详解】模拟执行程序，可得:‎ n=6，，‎ 不满足条件S<3.2,执行循环体，n=12，‎ 不满足条件S<3.2,执行循环体，n=24, ‎ 此时，满足条件S<3.2,退出循环，输出n的值为24 .‎ 故选： C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.‎ ‎8. 方程实根个数是（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ 设，求导，利用导数分析函数的单调性及极值，可判断零点个数，即可求解.‎ ‎【详解】设,‎ 则，‎ 当或时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 故当x=1时，函数取得极大值f (1) =6，当x=2时函数取得极小值f (2) =5,‎ 又x→+∞时，f (x) >0, x→-∞时, f (x)→-∞,‎ 故函数f (x)与x轴只有一个交点.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值，函数零点个数，转化思想，属于中档题.‎ ‎9. 已知数列的前项和，则为等比数列的充要条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求通项，根据数列为等比数列即可求解.‎ ‎【详解】,‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 为等比数列，‎ - 23 -‎ 当时，，‎ 可得，‎ 由知为等比数列，‎ 故为等比数列的充要条件是，‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了由求数列的通项公式，等比数列的通项公式、定义，充要条件，属于中档题.‎ ‎10. 在区间上任取一个数，使直线与曲线相交的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆心到直线的距离，根据直线与圆有两个不同的公共点列不等式求出k的取值范围，再计算所求的概率.‎ ‎【详解】由可得，，圆心为，表示过定点的直线，‎ 圆心到直线的距离为，‎ 要使直线与曲线相交，‎ 则，‎ 解得，‎ - 23 -‎ 结合图形知，‎ 在区间[-1， 1]上随机取一 个数k，使直线与曲线相交的概率为 ‎，‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了几何概型，直线与圆相交的判定，点到直线的距离，数形结合的思想，属于中档题.‎ ‎11. 直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，是的中点，若点的纵坐标是1，则线段的长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点，利用点差法求出点的坐标之间的关系，求出点P的坐标即可解决问题.‎ ‎【详解】设点，‎ 由题意知: ①，②‎ ‎①②得，‎ 由题意知直线l的斜率存在，设为k，‎ - 23 -‎ 则，‎ 是MN的中点，且点的纵坐标是1，‎ ‎， ‎ 又，设，则，‎ 解得，‎ 故选: C ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的简单几何性质，点差法，斜率公式，两点间的公式，属于中档题.‎ ‎12. 已知正方体的棱长为1，分别是线段上的动点，若平面，则三棱锥的最大体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在平面内过作于，证明平面，平面，得到平面 的距离等于到平面 的距离．设，则到平面 的距离等于到平面 的距离为，利用等体积法写出三棱锥的体积，再由二次函数求最值．‎ ‎【详解】如图，‎ - 23 -‎ 由底面，可得平面底面，‎ 在平面内过作于，则底面，可得，‎ 平面，又平面，且，‎ 平面平面，‎ 可得，则平面，‎ 又，且平面，可得平面，‎ 则到平面 的距离等于到平面 的距离．‎ 设，则到平面 的距离等于到平面 的距离为，‎ 则，‎ ‎．‎ 当时，．‎ 故选： 【点睛】‎ 本题主要考查了线线、线面、面面平行，线面垂直，三棱锥体积最大值的求法，考查化归与转化思想方法，利用二次函数求最值，属于难题．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13. 复数__________．‎ ‎【答案】;‎ ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【详解】 ，故答案为 ‎14. 某工件模具的三视图如图所示，已知俯视图中正方形的边长为，则该模具的体积为_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图可知，该几何体是在一个长方体中挖去一个半径为的半球而形成，结合三视图中的数据可计算出该几何体的体积.‎ ‎【详解】由三视图可知，该几何体是在一个长方体中挖去一个半径为的半球而形成，且长方体的底面是边长为的正方形，长方体的高为，‎ 因此，该几何体的体积为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，解答的关键就是要结合三视图确定几何体的结构，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎15. 实数满足约束条件若目标函数的最大值为4，则的最大值为______‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式对应的平面区域,利用z - 23 -‎ 的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式进行求，可得的最大值.‎ ‎【详解】作出不等式对应的平面区域,‎ 由得，‎ 则目标函数对应直线的斜率，平移直线，‎ 由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大.‎ 由 解得 此时z的最大值为，当且仅当时取等号.‎ 解 故答案为: 2.‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键.‎ ‎16. 已知双曲线的左右焦点为，点是双曲线上任意一点，若的最小值是，则双曲线的离心率为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ 设，先得的表达式，再由其最小值解出a，即可求出离心率.‎ ‎【详解】设，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时等号成立，‎ 的最小值是，‎ ‎，‎ 解得，‎ 又，‎ ‎，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，向量的运算，离心率的求法，属于中档题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17. 为助力湖北新冠疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：‎ 单价（元/件）‎ ‎8‎ ‎8.2‎ ‎8.4‎ ‎8.6‎ ‎8.8‎ ‎9‎ 销量（万件）‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ ‎（1）根据以上数据，求关于的线性回归方程；‎ - 23 -‎ ‎（2）若该产品成本是4元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润?‎ ‎（参考公式：回归方程，其中）‎ ‎【答案】（1）（2）8.25元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据所给数据及参考公式求得与的值，可得线性回归方程；‎ ‎(2) 设工厂获得的利润为L万元，则 ，利用二次函数求最值即可.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎，‎ 回归直线方程为.‎ ‎（2）设工厂获得的利润为万元，‎ 则 ‎，‎ - 23 -‎ 该产品的单价定为8.25元时，工厂获得利润最大，最大利润为361.25万元.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线性回归方程，利用二次函数求最值，考查了运算能力， 属于中档题.‎ ‎18. 已知向量 ‎（1）求的最小正周期和最大值；‎ ‎（2）在中，角所对的边分别为，若，且的面积为，求.‎ ‎【答案】（1），最大值；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)先利用向量的数量积运算和三角函数的二倍角公式对函数的解析式化简整理,可求得函数最小正周期T和最大值. (2)根据，求得,进而根据A的范围求得A，再由余弦定理和三角形的面积公式可求得值.‎ ‎【详解】（1）由题意得，‎ 函数的最小正周期为，‎ 当，即，时，函数的最大值为.‎ ‎（2），即，.‎ 由题意得的面积，解得.‎ - 23 -‎ 由余弦定理得，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及余弦定理.考查了学生综合运用基础知识的能力，属于中档题.‎ ‎19. 在几何体中，如图，四边形为平行四边形，，平面平面平面，‎ ‎（1）若三棱锥的体积为1，求；‎ ‎（2）求证：‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用面面平行的性质定理可得，，再利用平行线的传递性可得，再利用线面垂直的性质定理可得，又，根据线面垂直的判定定理可得平面，利用三棱锥的体积公式即可求解.‎ ‎（2）由（1）可知，由，平面，可得，，利用线面垂直判定定理可得平面，即证.‎ ‎【详解】解：（1），‎ 确定平面确定平面.‎ 平面平面，平面平面，‎ 平面平面，‎ ‎，同理，，‎ 四边形和为平行四边形.‎ 又四边形为平行四边形，，‎ 四边形为平行四边形.‎ - 23 -‎ 平面，平面，‎ 又平面，.‎ 又，且，平面.‎ 设，在中，，‎ 则.‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎（2）证明：由（1）得平面平面，‎ ‎.‎ 又四边形都为平行四边形，‎ ‎.‎ 平面，平面，‎ ‎.‎ 由，平面，平面，‎ 平面，‎ 又平面，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理以及三棱锥的体积公式，考查了考生的逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎20. 已知函数 ‎（1）当时，求曲线在处的切线方程；‎ - 23 -‎ ‎（2）设是的导函数的零点，若，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数进行求导，利用导数的几何意义求出曲线在处的切线的斜率，写出切线的点斜式方程，最后化成一般式即可；‎ ‎（2）求出的表达式，根据零点定义，得到一个指数方程，然后取对数，变成对数方程，构造新函数，利用新函数的单调性，结合已知的不等式进行证明即可.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ ‎，且，‎ 曲线在处的切线的斜率.‎ 曲线在处的切线方程为，‎ 即；‎ ‎（2）由题意得.‎ 是的导函数的零点，‎ ‎，即，‎ ‎，‎ 即.‎ 又，则.‎ 令，显然，所以 因此在上是增函数，且.‎ ‎，因此.‎ - 23 -‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了过曲线上一点求曲线切线方程问题，考查了利用导数证明不等式问题，考查了数学运算能力.‎ ‎21. 已知椭圆，直线交椭圆于两点，为坐标原点.‎ ‎（1）若直线过椭圆的右焦点，求的面积；‎ ‎（2）若，试问椭圆上是否存在点，使得四边形为平行四边形?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据直线过右焦点求出直线方程，联立直线与椭圆方程，求出或，利用面积公式即可得解；‎ ‎（2）联立直线与椭圆方程，根据四边形为平行四边形，且.‎ 又，，求出点的坐标为，代入椭圆方程，结合韦达定理计算求解.‎ ‎【详解】（1）设.‎ 直线过椭圆的右焦点，则，‎ 直线的方程为.‎ 联立得，‎ 解得或.‎ 的面积为.‎ ‎（2）联立得，‎ - 23 -‎ ‎，解得.‎ 由韦达定理得，.‎ ‎.‎ 四边形为平行四边形，‎ ‎，且.‎ 又，，‎ 点的坐标为.‎ 又点在椭圆上，即，‎ 整理得.‎ 又，，即，‎ ‎，即.‎ ‎，‎ ‎，‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎【点睛】此题考查根据直线与椭圆关系求三角形面积，将几何关系转化为代数关系，利用点的坐标结合韦达定理求解，综合性强.‎ ‎（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分 ‎22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设曲线与交于两点，若，求的取值范围.‎ - 23 -‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由曲线的极坐标方程,结合运算即可;‎ ‎（2）将曲线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，结合直线参数方程中参数的几何意义求解即可.‎ ‎【详解】解：（1），‎ 由，‎ 曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将曲线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，‎ 化简得，‎ 由，得.‎ 设两点对应的参数分别为，‎ 则，‎ ‎，‎ 又，，‎ 的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化,重点考查了直线参数方程中参数的几何意义,属基础题.‎ ‎23. 已知函数 ‎（1）若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）1；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ ‎（1）先解不等式,然后利用待定系数法求解即可;‎ ‎（2）原不等式等价于恒成立,然后结合绝对值三角不等式性质求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）由，得，‎ 即，‎ 得，‎ 解得.‎ 又不等式的解集为，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎（2）恒成立，‎ 恒成立.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，重点考查了绝对值三角不等式的性质，属基础题.‎ - 23 -‎ - 23 -‎