2005年重庆市高考数学试卷（理科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 6页

‎2005年重庆市高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1. 圆‎(x+2‎)‎‎2‎+y‎2‎=5‎关于原点‎(0, 0)‎对称的圆的方程为（ ）‎ A.‎(x-2‎)‎‎2‎+y‎2‎=5‎ B.‎x‎2‎‎+(y-2‎)‎‎2‎=5‎ C.‎(x+2‎)‎‎2‎+(y+2‎)‎‎2‎=5‎ D.‎x‎2‎‎+(y+2‎)‎‎2‎=5‎ ‎2. ‎(‎1+i‎1-i‎)‎‎2005‎=(‎ ‎‎)‎ A.i B.‎-i C.‎2‎‎2005‎ D.‎‎-‎‎2‎‎2005‎ ‎3. 若函数f(x)‎是定义在R上的偶函数，在‎(-∞, 0]‎上是减函数，且f(2)=0‎，则使得f(x)<0‎的x的取值范围是（ ）‎ A.‎(-∞, 2)‎ B.‎‎(2, +∞)‎ C.‎(-∞, -2)∪(2, +∞)‎ D.‎‎(-2, 2)‎ ‎4. 已知A(3, 1)‎，B(6, 1)‎，C(4, 3)‎，D为线段BC的中点，则向量AC‎→‎与DA‎→‎的夹角为（ ）‎ A.π‎2‎‎-arccos‎4‎‎5‎ B.arccos‎4‎‎5‎ C.arccos(-‎4‎‎5‎)‎ D.‎‎-arccos(-‎4‎‎5‎)‎ ‎5. 若x，y是正数，则‎(x+‎1‎‎2y‎)‎‎2‎+(y+‎‎1‎‎2x‎)‎‎2‎的最小值是‎(‎        ‎‎)‎ A.‎3‎ B.‎7‎‎2‎ C.‎4‎ D.‎‎9‎‎2‎ ‎6. 已知α，β均为锐角，若p:sinα0)‎上变化，则x‎2‎‎+2y的最大值为（ ）‎ A.b‎2‎‎4‎‎+4(00‎成立，证明：an‎0‎．‎ 即a<0‎或a>4‎时，方程x‎2‎‎+(a+2)x+(2a+1)=0‎有两个不同的实根x‎1‎，x‎2‎，不妨设x‎1‎‎<‎x‎2‎，‎ ‎ 6 / 6‎ 于是f'(x)=ex(x-x‎1‎)(x-x‎2‎)‎，从而有下表：‎ ‎ ‎x ‎ ‎‎(-∞, x‎1‎)‎ ‎ ‎x‎1‎ ‎ ‎‎(x‎1‎, x‎2‎)‎ x‎2‎‎ ‎ ‎(x‎2‎, +∞)‎‎ ‎ ‎ ‎f'(x)‎ ‎+‎ ‎0‎‎ ‎ ‎-‎ ‎ ‎‎0‎ ‎+‎ ‎ ‎f(x)‎ ‎↗‎ f(x‎1‎)‎为极大值 ‎ ‎↘‎ f(x‎2‎)‎为极小值 ‎ ‎↗‎ 即此时f(x)‎有两个极值点．‎ ‎(2)‎当‎△=0‎即a=0‎或a=4‎时，方程x‎2‎‎+(a+2)x+(2a+1)=0‎有两个相同的实根x‎1‎‎=‎x‎2‎ 于是f‎'‎‎(x)=ex(x-‎x‎1‎‎)‎‎2‎故当x<‎x‎1‎时，f‎'‎‎(x)>0‎；当x>‎x‎2‎时，f‎'‎‎(x)>0‎，因此f(x)‎无极值．‎ ‎(3)‎当‎△<0‎，即‎00‎，f‎'‎‎(x)=ex[x‎2‎+(a+2)x+(2a+1)]>0‎，故f(x)‎为增函数，此时f(x)‎无极值．因此当a>4‎或a<0‎时，f(x)‎有‎2‎个极值点，当‎0≤a≤4‎时，f(x)‎无极值点．‎ 综上所述：当a<0‎或a>4‎时，f(x)‎有两个极值点．‎ ‎20.解：（1）因AB⊥‎面BB‎1‎C‎1‎C，故AB⊥BE．‎ 又EB‎1‎⊥EA，且EA在面BCC‎1‎B‎1‎内的射影为EB．‎ 由三垂线定理的逆定理知EB‎1‎⊥BE，因此BE是异面直线AB与EB‎1‎的公垂线，‎ 在平行四边形BCC‎1‎B‎1‎中，设EB=x，则EB‎1‎=‎‎4-‎x‎2‎，‎ 作BD⊥CC‎1‎，交CC‎1‎于D，则BD=BC⋅sinπ‎3‎=‎‎3‎‎2‎．‎ 在‎△BEB‎1‎中，由面积关系得‎1‎‎2‎x‎4-‎x‎2‎=‎1‎‎2‎⋅2⋅‎‎3‎‎2‎，即‎(x‎2‎-1)(x‎2‎-3)=0‎．‎ 解得x=±1‎，x=±‎‎3‎（负根舍去）‎ 当x=‎‎3‎时，在‎△BCE中，CE‎2‎+‎1‎‎2‎-2CE⋅cosπ‎3‎=3‎，‎ 解之得CE=2‎，故此时E与C‎1‎重合，由题意舍去x=‎‎3‎．‎ 因此x=1‎，即异面直线AB与EB‎1‎的距离为‎1‎．‎ ‎（2）过E作EG // ‎B‎1‎A‎1‎，则GE⊥‎面BCC‎1‎B，故GE⊥EB‎1‎且GE在圆A‎1‎B‎1‎E内，‎ 又已知AE⊥EB‎1‎ 故‎∠AEG是二面角A-EB‎1‎-‎A‎1‎的平面角．‎ 因EG // B‎1‎A‎1‎ // BA，‎∠AEG=∠BAE，故tanAEG=BEAB=‎1‎‎2‎=‎‎2‎‎2‎．‎ ‎21.解：（1）设双曲线C‎2‎的方程为x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1‎，则a‎2‎‎=4-1=3‎，再由a‎2‎‎+b‎2‎=‎c‎2‎得b‎2‎‎=1‎．‎ 故C‎2‎的方程为x‎2‎‎3‎‎-y‎2‎=1‎．‎ ‎（2）将y=kx+‎‎2‎代入x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎得‎(1+4k‎2‎)x‎2‎+8‎2‎kx+4=0‎ 由直线l与椭圆C‎1‎恒有两个不同的交点得‎△1=(8‎2‎‎)‎‎2‎k‎2‎-16(1+4k‎2‎)=16(4k‎2‎-1)>0‎，‎ 即k‎2‎‎>‎‎1‎‎4‎①‎ 将y=kx+‎‎2‎代入x‎2‎‎3‎‎-y‎2‎=1‎得‎(1-3k‎2‎)x‎2‎-6‎2‎kx-9=0‎．‎ 由直线l与双曲线C‎2‎恒有两个不同的交点A，B得‎1-3k‎2‎≠0‎‎△‎‎2‎‎=(-6‎2‎k‎)‎‎2‎+36(1-3k‎2‎)=36(1-k‎2‎)>0.‎ 即k‎2‎‎≠‎‎1‎‎3‎且k‎2‎‎<1‎．②‎ 设A(xA, yA)B(xB, yB)‎，则xA‎+xB=‎‎6‎2‎k‎1-3‎k‎2‎，xA‎⋅xB=‎‎-9‎‎1-3‎k‎2‎．‎ 由OA‎→‎‎⋅OB‎→‎<6‎得xAxB‎+yAyB<6‎，‎ ‎ 6 / 6‎ 而xAxB‎+yAyB=xAxB+(kxA+‎2‎)(kxB+‎2‎)‎ ‎=(k‎2‎+1)xAxB+‎2‎(xA+xB)+2‎ ‎=(k‎2‎+1)⋅‎-9‎‎1-3‎k‎2‎+‎2‎k⋅‎6‎2‎k‎1-3‎k‎2‎+2‎ ‎=‎‎3k‎2‎+7‎‎3k‎2‎-1‎‎．‎ 于是‎3k‎2‎+7‎‎3k‎2‎-1‎‎<6‎，即‎15k‎2‎-13‎‎3k‎2‎-1‎‎>0‎．‎ 解此不等式得k‎2‎‎>‎‎13‎‎15‎或k‎2‎‎<‎‎1‎‎3‎．③‎ 由①、②、③得‎1‎‎4‎‎