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- 2021-07-01 发布
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高一年级3月月考卷
一、单选题(每题5分)
1.已知向量,,,则下列结论正确的是( )
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】D
【解析】
【分析】
由平面向量共线和垂直的坐标表示可得出结果.
【详解】,,,则,,,
因此,,,.
故选:D.
【点睛】本题考查向量的坐标运算,涉及共线向量和向量垂直的坐标表示,考查推理能力,属于基础题.
2.对任意向量,下列关系式中不恒成立的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
因为,所以选项A正确;当与方向相反时,
不成立,所以选项B错误;向量的平方等于向量的模的平方,所以选项C正确;,所以选项D正确.故选B.
【考点定位】1、向量的模;2、向量的数量积.
3.已知非零向量,满足:,,,则向量,的夹角大小为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由,,,求出,再由向量的夹角公式,即可求解.
【详解】由,有,则,
有.
故选:B
【点睛】本题考查向量的数量积运算,考查向量的夹角,属于基础题.
4.在中, ,那么这样的三角形有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】
据余弦定理可得,代入题中数据化简得,由根的判别式与韦达定理得到该方程有两个不相等的正实数根,由此可得有两个解.
【详解】解:在中,,,,
由余弦定理,得:,
得:…
,且两根之和、两根之积都为正数,
方程有两个不相等的正实数根,即有两个边满足题中的条件.
由此可得满足条件的有两个解.
故选C.
【点睛】本题主要考查了利用余弦定理解三角形、一元二次方程根的判别式与韦达定理等知识,属于基础题.
5.已知向量(2,1),点C(﹣1,0),D(3,2),则向量在方向上的投影为( )
A. B. ﹣2 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
运用向量的加减运算可得,运用向量的数量积的坐标表示,以及向量在方向上的投影,即可得到所求值.
【详解】向量,点,,可得,
所以,,
所以向量在方向上的投影为.
故选:.
【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示以及向量的投影的概念,考查运算能力,属于基础题.
6.已知,是非零向量,且向量,的夹角为,若向量,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量的模的定义以及向量数量积定义求解.
【详解】,选D.
【点睛】本题考查向量的模的定义以及向量数量积定义,考查基本求解能力,属基本题.
7.如图,两个全等的直角边长分别为的直角三角形拼在一起,若,则等于( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
建立坐标系,求出点坐标,从而得出,的值.
【详解】解:,,,,
以,为坐标轴建立坐标系,则.
,,
.
,
,,
.
故选:.
【点睛】本题考查了平面向量的基本定理,属于中档题.
8.在中,( )
A. B. C. 或 D. 以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】
在三角形中,根据正弦定理可知,,所以 ,再根据正弦定理即可求出c.
【详解】在三角形中,由正弦定理知,,所以由内角和定理知,由正弦定理知, ,故选C.
【点睛】本题主要考查了三角形中正弦定理的应用,属于中档题.
9.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知,a=2,c=,则C=
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析:根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可
详解:sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,
∵sinB+sinA(sinC﹣cosC)=0,
∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0,
∴cosAsinC+sinAsinC=0,
∵sinC≠0,
∴cosA=﹣sinA,
∴tanA=﹣1,
∵<A<π,
∴A= ,
由正弦定理可得,
∵a=2,c=,
∴sinC== ,
∵a>c,
∴C=,
故选B.
点睛:本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用,属于难题.在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
10.在锐角中,角所对的边分别为,若,,
,则的值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
在锐角中,利用,,可求得,再利用,由余弦定理可求得,解方程组可求得的值.
【详解】∵在锐角中,,,
∴,
∴,①
又,是锐角,∴,
∴由余弦定理得:,
即,
∴②
由①②得:,解得.
故选A.
【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用,考查方程思想与运算能力,属于中档题
11.在中,为所在平面内一点,且,则的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题得ABCD为矩形,利用三角形面积公式求解即可
【详解】由题可作如图所示的矩形,则易知,则,则,所以
故选D.
【点睛】本题考查三角函数与向量的结合,正弦定理,三角形面积公式,是基础题
12.已知的三个内角所对的边分别为,满足,且,则的形状为( )
A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形
C. 顶角为的等腰三角形 D. 顶角为的等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用同角三角函数基本关系得,结合正余弦定理得进而得B,再利用化简得,得A值进而得C,则形状可求
【详解】由题
即,由正弦定理及余弦定理得
即
故 整理得 ,故
故为顶角为的等腰三角形
故选D
【点睛】本题考查利用正余弦定理判断三角形形状,注意内角和定理,三角恒等变换的应用,是中档题
二、填空题(每题5分)
13.若两个非零向量满足,则向量与的夹角为_____.
【答案】60°.
【解析】
【分析】
由可得:,即可以,为边构造一个矩形,利用已知得解.
【详解】解:∵,
∴,
如图,,,
,
由题意,|OC|=2|OA|,
∴∠AOC=60°,
即向量与向量的夹角为60°,
故答案为60°.
【点睛】本题主要考查了向量的加、减的三角形法则,还考查了向量模的定义及几何计算,属于中档题.
14.数列,,,,,…的一个通项公式为_______.
【答案】
【解析】
分析】
分别观察分子分母的特点,归纳出通项公式来.
【详解】数列,,,,…,
观察该数列各项的特征是由分数组成,且分数的分子与项数相同,分子与分母相差1,
由此得出该数列的一个通项公式为.
故答案为.
【点睛】本题主要考查利用观察法求解数列的通项公式,发现蕴含的规律是求解的关键.
15.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上,行驶600m后到达处,测得此山顶在西偏北的方向上,仰角为,则此山的高度 ________ m.
【答案】
【解析】
试题分析:由题设可知在中,,由此可得
,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.
考点:正弦定理及运用.
16.在中,角所对的边分别为,若的面积为,则的最大值为________.
【答案】
【解析】
分析】
根据三角形的面积公式以及余弦定理,采用整体代换,结合辅助角公式,可得结果.
【详解】由面积公式得,,
即,
由余弦定理得,所以
则
其中,,
故当时,取得最大值.
故答案为:
【点睛】本题考查解三角形中面积公式,余弦定理的应用,以及对辅助角公式的考查,熟练掌握公式,细心计算,属中档题.
三、解答题(17题10分,其余每题12分)
17.已知向量;
(1)若3与共线,求m;
(2)若,求||.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)求出,,由与共线,能求出;
(2)由,求出,从而,由此能求出.
【详解】解:(1),,
∵与共线,
∴﹣3(2m+6)﹣13(2﹣3m)=0,解得;
(2)∵
∴,解得m=4,
∴,
∴,
∴.
【点睛】本题主要考查向量平行与垂直的坐标运算,属于基础题.
18.如图所示,在中,是以为中点的点的对称点,,和交于点,设,.
(1)用和表示向量、;
(2)若,求实数值.
【答案】(1),;(2).
【解析】
【分析】
(1)根据平面向量加减运算的三角形法则可得出、关于、的表达式;
(2)利用向量减法的三角形法则可得出,设,可建立有关、的方程组,即可解出实数的值.
【详解】(1)由题意知,是线段中点,且.
,
;
(2),
由题可得,且,
设,即,则有,解得.
因此,.
【点睛】本题考查向量加法、减法,及数乘的几何意义,以及共线向量、平面向量基本定理,考查方程思想的应用,属于中等题.
19.已知分别为三个内角对边,.
(1)求;
(2)若是上一点,且,,,求的值.
【答案】(1);(2)3
【解析】
【分析】
(1)首先根据正弦定理得到,再由辅助角公式得到
,即可求出的值.
(2)首先根据题意得到是中点,即,再平方即可得到,再利用余弦定理即可求出的值.
【详解】(1)在中由正弦定理,
∴,
∵,得:,即
∵,∴,∴.
(2)∵,∴是中点,.
则,
∴代入得:,
即,∴或(舍).
在中,
∴
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理,同时考查了向量的线性运算,属于中档题.
20.中,三个内角的对边分别为,若,,且.
(1)求角的大小;
(2)若,,求的面积.
【答案】(1);(2).
【解析】
试题分析:(1)根据题意,由向量数量积的坐标计算公式可得若,则有cosB•(2a+c)+cosC•b=0,结合正弦定理可得cosB•(2sinA+sinC)+cosC•sinB=0,将其整理变形可得
,由B的范围分析可得答案;(2)结合题意,根据余弦定理分析可得49=a2+c2+ac,又由a+c=8,变形可得ac=15,由三角形面积公式计算可得答案.
详解:
(1)∵,∴,
∴,
∴ ,
∴,∴.
(2)根据余弦定理可知,∴,
又因为,∴,∴,∴,
则.
点睛:本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式,属于难题.在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
21.已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,且.
(1)求角的大小;
(2)若,且面积为,求a的值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意结合正弦定理边化角,整理计算可得,则.
(Ⅱ)由三角形面积公式可得:,结合余弦定理计算可得,则.
【详解】(Ⅰ)由正弦定理得,,
∵,
∴,即.
∵∴,
∴∴.
(Ⅱ)由:可得.
∴,
∵,
∴由余弦定理得:,
∴.
【点睛】在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题时,注意角的限制范围.
22.已知△ABC的三内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,,.
(1)求的值;
(2)若C为钝角且c,求△ABC的周长的取值范围.
【答案】(1)或9(2)(2,2]
【解析】
【分析】
(1)先根据条件求解,然后结合正弦定理可得;
(2)求解角,结合正弦定理表示出三角形的周长,结合角的范围可得周长的取值范围.
【详解】(1)因为,
所以.A∈(0,π).
解得或.
因为,所以,
所以或9.
(2)若C为钝角,所以,C∈(0,π).
所以.
又,所以A+B,.
所以.
△ABC的周长=
A∈(0,),A∈(,),
所以.
所以△ABC的周长的范围为.
【点睛】本题主要考查利用正弦定理求解三角形,三角形中的范围问题一般是转换为角的表达式,然后根据角的范围求解,侧重考查数学运算的核心素养.