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- 2021-07-01 发布
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第十一章 第五节 古典概型[理]
课下练兵场
命 题 报 告
难度及题号
知识点
容易题
(题号)
中等题
(题号)
稍难题
(题号)
简单的古典概型问题 1、2、5 7、8、9、10
复杂事件的古典概型问题 3 4、6 11、12
一、选择题
1.某班准备到郊外野营,为此向商店定了帐篷,如果下雨与不下雨是等可能的,能否准
时收到帐篷也是等可能的,只要帐篷如期运到,他们就不会淋雨,则下列说法正确的
是 ( )
A.一定不会淋雨 B.淋雨的可能性为3
4
C.淋雨的可能性为1
2 D.淋雨的可能性为1
4
解析:基本事件有“下雨帐篷到”“不下雨帐篷到”“下雨帐篷未到”“不下雨帐篷未
到”4 种情况,而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨,故淋雨的可能性为1
4.
答案:D
2.有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们 12 个月大的婴儿 3 块分别写有“20”,“08”和“北
京”的字块,如果婴儿能够排成“2008 北京”或者“北京 2008”,则他们就给婴儿奖
励. 假设婴儿能将字块横着正排,那么这个婴儿能得到奖励的概率是 ( )
A.1
6 B.1
4 C.1
3 D.1
2
解析:“20”,“08”,“北京”三字块的排法共有“2008 北京”、“20 北京 08”、“0820
北京”、“08 北京 20”、“北京 2008”、“北京 0820”6 种情况,而得到奖励的情况有 2
种,故婴儿能得到奖励的概率为2
6=1
3.
答案:C
3.某同学同时掷两颗骰子,得到点数分别为 a,b,则椭圆x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)的离心率 e>
3
2 的概率是 ( )
A. 1
18 B. 5
36 C.1
6 D.1
3
解析:e= 1-b2
a2> 3
2 ⇒b
a<1
2⇒a>2b,符合 a>2b 的情况有:当 b=1 时,有 a=
3,4,5,6 四种情况;当 b=2 时,有 a=5,6 两种情况,总共有 6 种情况.则概率为 6
6 × 6=
1
6.
答案:C
4.连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n,记向量 a=(m,n)与向量 b=(1,-1)的夹角
为 θ,则 θ∈(0,π
2]的概率是 ( )
A. 5
12 B.1
2 C. 7
12 D.5
6
解析:cosθ= m-n
m2+n2· 2
,
∵θ∈(0,π
2],∴m≥n.
满足条件 m=n 的概率为 6
36=1
6,
m>n 的概率为1
2×5
6= 5
12.
∴θ∈(0,π
2]的概率为1
6+ 5
12= 7
12.
答案:C
5.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6),骰子
朝上的面的点数分别为 X、Y,则 log2XY=1 的概率为 ( )
A.1
6 B. 5
36 C. 1
12 D.1
2
解析:由 log2XY=1 得 Y=2X,满足条件的 X、Y 有 3 对,而骰子朝上的点数 X、Y 共
有 6×6=36 对,
∴概率为 3
36= 1
12.
答案:C
6.[理]电子钟一天显示的时间是从 00∶00 到 23∶59,每一时刻都由四个数字组成,则一
天中任一时刻显示的四个数字之和为 23 的概率为 ( )
A. 1
180 B. 1
288 C. 1
360 D. 1
480
解析:电子钟显示时刻可设为 AB∶CD,
其中 A=0,1,2,B=0,1,2,3,…,9,C=0,1,2,3,…,5,D=0,1,2,3,…,9.
(1)当 A=0 时,B,C,D 可分别为 9、5、9 一种情况;
(2)当 A=1 时,B,C,D 可分别为 9、4、9 或 9、5、8 或 8、5、9 三种情况;
(3)当 A=2 时,不存在.∴符合题意的只有 4 种,
显示的所有数字和数为:
A=0 时,10×6×10=600;
A=1 时,10×6×10=600;
A=2 时,4×6×10=240.
∴P= 4
1 440= 1
360.
答案:C
[文]已知一组抛物线 y=1
2ax2+bx+1,其中 a 为 2,4,6,8 中任取的一个数,b 为 1,3,5,7 中
任取的一个数,从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线 x=1 交点处的切线互相
平行的概率是 ( )
A. 1
12 B. 7
60 C. 6
25 D. 5
16
解析:抛物线只有 4×4=16(条),从中任取两条有 120(种)不同取法,∵y′=ax+b 在
x=1 处的斜率为 a+b.故符合 a+b=3,只有 0 对,a+b=5 共有 1 对,a+b=7 有 3 对,
a+b=9 有 6 对,a+b=11 有 3 对,a+b=13 只有 1 对,∴共有 14 对,P= 14
120= 7
60.
答案:B
二、填空题
7.在 5 个数字 1、2、3、4、5 中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概
率是________(结果用数值表示).
答案: 3
10
8.假设小军、小燕和小明所在的班级共有 50 名学生,并且这 50 名学生早上到校先后的
可能性相同,则“小燕比小明先到校,小明又比小军先到校”的概率为__________.
解析:将 3 人排序共包含 6 个基本事件,
由古典概型得 P=1
6.
答案:1
6
9.任取一个三位正整数 N,则对数 log2N 是一个正整数的概率是__________.
解析:∵26=64,27=128,28=256,29=512,210=1 024,
∴满足条件的正整数只有 27,28,29 三个,
∴所求的概率 P= 3
900= 1
300.
答案: 1
300
三、解答题
10.[理]某考生参加一所大学自主招生考试,面试时从一道数学题,两道自然科学类题,
三道社科类题中任选两道回答,且该生答对每一道数学、自然科学、社科类试题的概
率依次为 0.6、0.7、0.8.
(1)求该考生恰好抽到两道社科类试题的概率;
(2)求该考生抽到的两道题属于不同学科类并且都答对的概率.
解:(1)P=C23
C26= 3
15=1
5.
(2)该考生抽到一道数学题,一道自然科学类题的概率为 P1=C12
C26= 2
15;
该考生抽到一道数学题,一道社科类试题的概率为
P2=C13
C26= 3
15;
该考生抽到一道自然科学类题,一道社科类试题的概率为 P3=C12·C13
C26 = 6
15.
故该考生抽到的两道题属于不同学科类并且都答对的概率为 P= 2
15×0.6×0.7+ 3
15
×0.6×0.8+ 6
15×0.7×0.8=0.376.
[文]为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某
校 6 名学生进行问卷调查,6 人得分情况如下:
5,6,7,8,9,10.
把这 6 名学生的得分看成一个总体.
(1)求该总体的平均数;
(2)用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名,他们的得分组成一个样本.求该样
本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率.
解:(1)总体平均数为
1
6(5+6+7+8+9+10)=7.5.
(2)设 A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5”.从总体中抽取 2
个个体全部可能的基本结
果有:(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),
(7,10),(8,9),(8,10),(9,10),共 15 个基本结果.事件 A 包括的基本结果有:(5,9),
(5,10),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),共有 7 个基本结果.
所以所求的概率为 P(A)= 7
15.
11.(2010·银川模拟)把一颗骰子投掷 2 次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 a,
第二次出现的点数为 b,试就方程组Error!解答下列各题:
(1)求方程组只有一个解的概率;
(2)求方程组只有正数解的概率.
解:事件(a,b)的基本事件有 36 个.
由方程组Error!可得Error!
(1)方程组只有一个解,需满足 2a-b≠0,
即 b≠2a,而 b=2a 的事件有(1,2),(2,4),(3,6)共 3 个,所以方程组只有一个解的概率
为 P1=1- 3
36=11
12.
(2)方程组只有正数解,需 2a-b≠0 且
Error!即 Error!或 Error!
其包含的事件有 13 个:(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),
(6,2),(1,4),(1,5),(1,6).
因此所求的概率为13
36.
12.已知关于 x 的一元二次函数 f(x)=ax 2 -bx+1,设集合 P={1,2,3},Q={-
1,1,2,3,4,},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b.
(1)求函数 y=f(x)有零点的概率;
(2)求函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率.
解:(a,b)共有(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),
(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),15 种情况.
(1)若函数 y=f(x)有零点,则需 Δ=b2-4a≥0.
有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),6 种情况,
所以函数 y=f(x)有零点的概率为 6
15=2
5.
(2)若函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,需对称轴 x= b
2a≤1.
有(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),
(3,3),(3,4),13 种情况.
所以函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率为13
15.
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