2020学年高一数学上学期期中试题（含解析） (2) 10页

‎2019学年度第一学期期中试卷 高一数学 一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）‎ ‎1．设集合，，若，则的取值范围是（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵集合，集合，，‎ ‎∴．‎ 故选．‎ ‎2．下列函数中，在区间上为增函数的是（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】项．的定义域为，故错误；‎ 项．在上递减，在上递增，所以函数在上是增函数，故正确；‎ 项，在上单调递减，故错误；‎ 项，在上单调递减，故错误．‎ 综上所述．‎ 故选．‎ ‎3．设，，，则（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由对数函数和指数函数的性质可知：，，，‎ - 10 -‎ ‎∴．‎ 故选．‎ ‎4．满足条件的集合的个数是（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】满足条件的集合有，共个．‎ 故选．‎ ‎5．已知是函数的一个零点，若，，则（）．‎ ‎ A．， B．， ‎ C．， D．，‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵是函数的一个零点，‎ ‎∴，‎ 又在上单调递增，且，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，．‎ 故选．‎ ‎6．已知函数，则的值为（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，‎ ‎∴．‎ 故选．‎ ‎7．已知函数，若对任意，总存在，使得，则实数的取值范围是（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ - 10 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，单调递增，，‎ ‎∴，‎ 若对任意，总存在，‎ 使得，‎ 则，‎ 解得．‎ 故选．‎ ‎8．设方程的两根为，，则（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】不妨设，则，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选．‎ 二、填空题（共6道小题，每小题4分，共24分）‎ ‎9．函数的定义域是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】要使函数有意义，则，解得，‎ 故函数的定义域是．‎ - 10 -‎ ‎10．已知函数（且）的图象必经过点，则点坐标是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令得，‎ 故函数的图象必过定点．‎ ‎11．已知函数，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵函数，，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎12．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，，在同一坐标系中作出它们的图象，如图所示：‎ 若时，不等式恒成立，‎ 则，解得，‎ 即实数的取值范围是．‎ ‎13．已知，若，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴方程没有正实数解，故集合有两种情况：‎ ‎①若，则，则；‎ - 10 -‎ ‎②若，则方程有两个非正数解，且不是其解，则有：，解得．‎ 综上所述，，即实数的取值范围是．‎ ‎14．给定集合，，若是的映射，且满足：‎ ‎①任取，，若，则；‎ ‎②任取，若，则有．则称映射为的一个“优映射”．‎ 例如：用表表示的映射是一个“优映射”．‎ 表 ‎（）若是一个“优映射”，请把表补充完整（只需填出一个满足条件的映射）．‎ ‎（）若是“优映射”，且，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】（）‎ 或 或 - 10 -‎ 或 ‎（）．‎ ‎【解析】（）由优映射定义可知：，，‎ ‎∴，；或，．‎ ‎∴表有以下几种可能：‎ 或 或 或 ‎（）根据优映射的定义：是一个“优映射”，‎ 且，‎ 则对，只有当，时，‎ 取得最大值为．‎ 三、解答题（4道小题，共44分．要求写出必要的解答过程）‎ ‎15．（本题满分分）求下列各式的值．‎ - 10 -‎ ‎（）．‎ ‎（）．‎ ‎（）设，求的值．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】解：（），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（）设，则，，，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎16．（本题满分分）已知为定义在上的偶函数，且当时，．‎ ‎（）求当时，的解析式．‎ ‎（）解不等式．‎ ‎【答案】见解析．‎ - 10 -‎ ‎【解析】解：（）∵当时，，‎ ‎∴当时，，，‎ 又为定义在上的偶函数，‎ ‎∴，‎ 综上，故时，．‎ ‎（）当时，等价于，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴；‎ 当时，等价于，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴，‎ 综上所述，不等式的解集为．‎ ‎17．（本题满分分）已知二次函数的最小值为，且．‎ ‎（）求的解析式．‎ ‎（）若在区间上不单调，求实数的取值范围．‎ ‎（）在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】解：（）由已知是二次函数，且，得的对称轴为，‎ 又的最小值为，‎ 故设，‎ 又，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴．‎ ‎（）要使在区间上不单调，则，‎ 解得：．‎ - 10 -‎ 故实数的取值范围是．‎ ‎（）由于在区间上，的图象恒在的图象上方，‎ 所以在上恒成立，‎ 即在上恒成立．‎ 令，则在区间上单调递减，‎ ‎∴在区间上的最小值为，‎ ‎∴，即实数的取值范围是．‎ ‎18．（本小题满分分）‎ 已知数集具有性质：对任意的，都存在，，使得成立．‎ ‎（）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由．‎ ‎（）求证：．‎ ‎（）若，求的最小值．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】解：（）∵，，，‎ ‎∴数集具有性质；‎ ‎∵不存在，，使得，‎ ‎∴数集不具有性质．‎ ‎（）∵集合具有性质，‎ ‎∴对而言，存在，，使得，‎ 又∵，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 同理可得，，‎ 将上述不等式相加得，‎ ‎∴．‎ ‎（）由（）可知，，‎ 又，‎ ‎∴，，，，，，‎ - 10 -‎ ‎∴，‎ 构造数集，‎ 经检验具有性质，‎ 故的最小值为．‎ - 10 -‎