河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题 16页

石家庄二中2019～2020学年第一学期10月月考高一数学试卷 一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合，再根据交集的定义得出.‎ ‎【详解】解不等式，即，解得，则，‎ 因此，，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，同时也考查了绝对值不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2.下列四个函数中，在上为增函数的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据常见函数的性质判断函数的单调性即可．‎ ‎【详解】对于A：函数在R递减，不符合题意；‎ 对于B：函数的对称轴是x，在（0，）递减，不合题意；‎ 对于C：函数在（0，+∞）递减，不合题意；‎ 对于D：函数在（-1，+∞）递增，所以在（0，+∞）满足递增，符合题意；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了基本初等函数：一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间的判断．‎ ‎3.函数的定义域为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据求函数定义域的基本原则列不等式组求出实数的取值范围，即可得出函数的定义域.‎ ‎【详解】由题意得，即，解得且，‎ 因此，函数的定义域为，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，解题时要熟悉几条求函数定义域的基本原则，根据条件列出不等式求出自变量的取值范围，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎4.已知集合A＝{x|－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. (0,3)‎ B. (0,1)∪(1,3)‎ C. (0,1)‎ D. (－∞，1)∪(3，＋∞)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：∵有4个子集，∴有2个元素，∴，∴‎ 且，即实数的取值范围是，故选B．‎ ‎【考点】本题主要考查集合的关系．‎ ‎5.若函数，且，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换元法求出函数的解析式，然后由求出的值.‎ ‎【详解】设，则，，‎ 则，解得，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查函数解析式的应用，利用换元法求出函数的解析式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎6.若函数在上是单调函数，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 得出函数的对称轴方程，对该函数的对称轴与区间分三种位置进行讨论，分析函数在区间上的单调性，可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.‎ ‎①当时，函数在区间上单调递增，合乎题意；‎ ‎②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时，函数在区间上不单调，不合乎题意；‎ ‎③当时，函数在区间上单调递减，合乎题意.‎ 综上所述，实数的取值范围是或，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数的单调性与参数，解题时要分析二次函数图象的开口方向和对称轴，再者就是要讨论对称轴与定义域的位置关系，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ ‎7.已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 分、、三种情况，在的前提下，讨论二次函数图象的对称轴与定义域的位置关系，分析函数的单调性，可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】当时，，此时，函数在区间上是减函数，合乎题意；‎ 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，若函数在区间上是减函数，则，解得；‎ 当时，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线.‎ 则函数在区间上单调递增，在单调递减，‎ 此时，函数在区间上不单调，不合乎题意.‎ 综上所述，实数的取值范围是，故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数的单调性与参数，解题时要分析二次函数图象的开口方向和对称轴，再者就是要讨论对称轴与定义域的位置关系，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ ‎8.函数的单调减区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的定义域，分离出内层函数和外层函数，并分析内层函数和外层函数的单调性，利用同增异减法得出函数的单调减区间.‎ ‎【详解】由，即，解得，‎ 内层函数为，外层函数为，‎ 内层函数的增区间为，减区间为，外层函数为增函数，‎ 由复合函数同增异减法可知，函数的单调减区间是，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查函数单调区间的求解，考查复合函数法求解函数的单调区间，在求解函数的单调区间时，要注意求出函数的定义域，要在函数定义域内得出单调区间，否则得到的单调区间无意义，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎9.如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线于E，当从左至右移动（与线段AB有公共点）时，把四边形ABCD分成两部分，设，左侧部分面积为，则关于的图像大致为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：直线l从A到D的移动过程中，面积在增大并且面积的增大率在增加，即函数的导数为正且在变大，直线l从D到C的移动过程中，面积在增大，但面积的增大率不变，所以导数为正的常数，直线l从C到B的增大过程中，面积在增大，但面积的增大率在减小，所以导数为正但逐渐减小，综上可得函数为增函数，且函数的导数先增大后不变再减小，C项符合要求 考点：函数导数的几何意义及瞬时变化率 点评：函数在某点处的导数值等于该点处的切线斜率 ‎10.已知函数，，构造函数，那么函数（ ）‎ A. 有最大值1，最小值﹣1 B. 有最小值﹣1，无最大值 C. 有最大值1，无最小值 D. 有最大值3，最小值1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的定义令，可得函数的解析式，作函数的图象即可求解.‎ ‎【详解】由得，；‎ 故，故可作的图象如下，‎ 通过图象观察可得有最大值1，没有最小值，故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的图象的应用，准确得到函数的解析式作出函数的图象是解题的关键，属于中档题．‎ ‎11.已知偶函数对于任意都有，且在区间上是单调递增，则、、大小关系是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用题中等式推导出函数是以为周期的周期函数，由函数的周期性和奇偶性得出，，再利用函数在区间上的单调性可得出、、三个数的大小关系.‎ ‎【详解】对任意的，，，‎ 所以，函数是周期为周期函数，‎ 又函数为偶函数，，，‎ 函数在区间上单调递增，所以，，即，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用奇偶性和周期性比较函数值的大小关系，要充分利用周期性和奇偶性将自变量置于同一单调区间，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎12.已知函数，若，，则 A. B. ‎ C. D. 与的大小不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 故选A.‎ 二、填空题（本大题共5个小题，每个小题4分，17题每空2分，共20分）‎ ‎13.已知函数是定义在上奇函数，当时，，则当时，______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，求出的表达式，再利用奇函数的定义得出，可得出函数在上的解析式.‎ ‎【详解】设，则，则，‎ 函数是上的奇函数，则当时，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查奇函数的解析式，利用对称转移法求解，首先先设自变量在所求区间，然后求出的表达式，再利用奇函数的定义可得出结果，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎14.设函数对的一切实数都有，则=___________‎ ‎【答案】-2017‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别令和 代入等式，解方程组得到的值.‎ ‎【详解】时，，当时， ‎ 即 ，解得.‎ 故填：-2017.‎ ‎【点睛】本题考查了利用方程组求解析式，属于简单题型，一般求解析式的方法分为：‎ ‎1.待定系数法，适应于已知函数类型；‎ ‎2.代入法，适用于已知的解析式，求的解析式；‎ ‎3.换元法，适用于已知的解析式，求的解析式；‎ ‎4.方程组法，适用于已知和的方程，或和的方程.‎ ‎15.已知函数，为奇函数且在区间上的最大值与最小值分别为和，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先推导出函数的图象关于点对称，可得出函数在区间上的最高点和最低点也关于点对称，由此可得出的值.‎ ‎【详解】函数为奇函数，则，‎ ‎，则，‎ 所以，函数的图象关于点对称，则函数在区间上的最高点和最低点也关于点对称，因此，，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查函数对称性的应用，利用题中等式推导出函数的对称性是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎16.已知函数，函数为偶函数，且当时，，若，则实数的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 判断出函数在上为减函数，再由该函数为偶函数，结合 可得出，解出即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】当时，，易知函数在区间和上均为减函数，又函数在上连续，所以，函数在上为减函数，‎ 函数为偶函数，由，得，，‎ 解得且，因此，实数的取值范围是，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，在涉及到偶函数的性质时，可充分利用性质，可简化分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎17.如图是某公共汽车线路收支差额元与乘客量的图象．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的方案，根据图上点、点以及射线上的点的实际意义，用文字说明图方案是______，图方案是______．‎ ‎【答案】 (1). 降低成本，票价不变 (2). 增加票价 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察函数的图象可知，函数图象上的横坐标表示乘客量，纵坐标表示收支差额，结合图象可得出结论.‎ ‎【详解】由图可知，点表示无人乘车时收支差额为元，点表示有 人乘车时收支差额为零，线段上的点表示亏损，延长线上的点表示盈利.‎ 对于图而言，与图相比，两个一次函数的一次项系数没变，但无人乘车时收支差额变为元，差距在减少，则图的方案是降低成本，票价不变；‎ 对于图而言，与图相比，图对应的一次函数一次项系数增大了，但无人乘车时收支差额仍是元，则图的方案是增加票价.‎ 故答案为：降低成本，票价不变；增加票价.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数图象的性质，要理解一次项系数和直线与纵轴的交点纵坐标在实际问题中的意义，理解问题的叙述过程是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ 三、解答题（本大题共3个小题，共32分）‎ ‎18.已知集合，集合．‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解出集合，再将代入集合，再利用并集的定义求出集合；‎ ‎（2）分和两种情况讨论，在的前提下，由题意得出或，由此可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）解不等式，得，，‎ 当时，，因此，；‎ ‎（2）当时，，得，此时，成立；‎ 当时，，得，‎ ‎，则或，解得或，此时，.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的并集运算，同时也考查了利用交集的运算结果求参数的取值范围，解题时要注意对集合分空集与非空集合两种情况讨论，考查分类讨论思想，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎19.二次函数满足，且．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，由得出，根据等式列关于、的方程组，解出这两个未知数，可得出函数的解析式；‎ ‎（2）当时，由利用参变量分离法得出，并利用定义法证明出函数在区间上的单调性，求出函数在区间上的最小值，可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）设，则.‎ ‎，‎ ‎，解得，因此，；‎ ‎（2）当时，由，得，得，‎ 构造函数，，下面证明函数在区间上的单调性.‎ 任取、，且，即，‎ 则，‎ ‎，，，，，‎ 所以，函数在区间上单调递增，则，，‎ 解得，因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用待定系数法求二次函数的解析式，同时也考查了利用不等式恒成立问题求参数的取值范围，在含单参数的不等式中，利用参变量分离法进行求解，可避免分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎20.已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上既是奇函数，又是减函数．‎ ‎(1)求证：对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；‎ ‎(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）0≤a＜1.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由x2∈[﹣1，1]，可得﹣x2∈[﹣1，1]，利用函数y=f（x）在定义域[﹣1，1]上是奇函数，又是减函数，即可证明结论；（2）f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0，等价于a2+a﹣2＜0，即可求出实数a的取值范围．‎ 解析：‎ ‎(1)证明：若x1＋x2＝0，显然不等式成立．‎ 若x1＋x2＜0，则－1≤x1＜－x2≤1，‎ 因为f(x)在[－1，1]上是减函数且为奇函数，‎ 所以f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)＞0. ‎ 所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立． ‎ 若x1＋x2＞0，则1≥x1＞－x2≥－1，‎ 同理可证f(x1)＋f(x2)＜0. ‎ 所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．‎ 综上得证，对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0恒成立． ‎ ‎(2)因为f(1－a)＋f(1－a2)＜0⇔f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，‎ 所以由f(x)在定义域[－1，1]上是减函数，得 ‎ ‎ 解得0≤a＜1.‎ 点睛：本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．解抽象函数不等式问题时，一般利用函数的奇偶性，和单调性转化为括号内的自变量的大小关系的比较。‎