2020届山东省莱州市第一中学高三10月月考数学试题 19页

第 1 页 共 19 页 2020 届山东省莱州市第一中学高三 10 月月考数学试题 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】先求出集合 ， ，然后根据交集的定义求出 【详解】 ， 故选 【点睛】 本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题 2．命题 的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据含有量词的命题的否定形式求解,改变量词否定结论. 【详解】 命题 的否定是 ，故选 C. 【点睛】 本题主要考查含有量词的命题的否定形式，含有量词的命题的否定形式求解,一是要改 变量词，二是要否定结论. 3．已知 ， ，则 是 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A { }| 1 2 A x x= − < < { }2| 2 0 B x x x= + ≤ A B = { }|0 2 x x< < { }|0 2 x x≤ < { }| 1 0 x x− < < { }| 1 0 x x− < ≤ A B A B∩ { }| 1 2A x x= − < < { } { }2| 2 0 | 2 0B x x x x x= + ≤ = − ≤ ≤ { }| 1 0A B x x∴ ∩ = − < ≤ D 0 0 0: R,tanp x x x∃ ∈ > 0 0 0,tanx R x x∃ ∈ ≤ ,tanx R x x∀ ∈ < ,tanx R x x∀ ∈ ≤ 0 0 0,tanx R x x∃ ∈ < 0 0 0: R,tanp x x x∃ ∈ > R,tanx x x∀ ∈ ≤ (1, 1)a x= − ( 1,3)b x= + 2x = / /a b 第 2 页 共 19 页 【解析】已知 ， 。根据向量平行的坐标表示得到 故 是 的充分不必要条件。 故答案为：A。 4．函数 的大致图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】判断函数的奇偶性和对称性，利用 的符号进行排除即可． 【详解】 ， 函数 是奇函数，图象关于原点对称，排除 ，排除 ，故选： ． 【点睛】 本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已 知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的 排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特 殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括 等. 5．数列 的通项公式为 ,其前 项和为 ,则 等于( ) A．1008 B．2016 C．504 D．0 【答案】A ( )1, 1a x= − ( )1,3b x= + 2 2/ / 1 3 4, 2.a b x x x⇒ − = ⇒ = = ± 2x = / /a b ( ) [ ]cos sin , ,= − ∈ −f x x x x x π π 2f π     ( ) ( ) ( )cos sin cos sinf x x x x x x x f x− = − + = − − = − ( )f x ,A C cos sin 1 02 2 2 2f π π π π  = − = − <   B D , , 0 , 0x x x x+ −→ +∞ → −∞ → → { }na cos 2n na n π= n nS 2016S 第 3 页 共 19 页 【解析】由余弦函数的性质可得 为周期为 4 的数列，则有 ， 再分组求和即可得解. 【详解】 解:令 ，则 为周期为 4 的数列，即当 时有， 当 时， ，即 ， 当 时， ，即 ， 当 时， ，即 ， 当 时， ，即 ， 即 ， 所以 = ， 故选 A. 【点睛】 本题考查了数列的周期性及数列求和，此题关键是归纳出 ，属中档题. 6．已知 a∈（0， ），2sin2α=cos2α+1，则 sinα= A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1 关系得出答 案． 【详解】 cos 2 nπ    4 3 4 2 4 1 4 2k k k ka a a a− − −+ + + = cos 2n nb π= { }nb *k N∈ 4 3n k= − (4 3)cos 02 k π− = 4 3 0ka − = 4 2n k= − (4 2)cos 12 k π− = − 4 2 (4 2)ka k− = − − 4 1n k= − (4 1)cos 02 k π− = 4 1 0ka − = 4n k= 4cos 12 kπ = 4 4ka k= 4 3 4 2 4 1 4 2k k k ka a a a− − −+ + + = 2016S (0 2 0 4) (0 6 0 8) ... (0 2014 0 2016) 504 2 1008− + + + − + + + + − + + = × = 4 3 4 2 4 1 4 2k k k ka a a a− − −+ + + = π 2 1 5 5 5 3 3 2 5 5 第 4 页 共 19 页 ， ． ，又 ， ， 又 ， ，故选 B． 【点睛】 本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余 弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后 得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉． 7．函数 （其中 ， ）的图象如图所示，为了得到 的图象，只需将 的图象（ ） A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度 C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度 【答案】C 【解析】根据图象求出 的值，再由“左加右减”法则，判断出函数图象平移的方向和单 位长度，即可得到答案． 【详解】 由题意，根据选项可知只与平移有关，没有改变函数图象的形状，故 ， 又函数的图象的第二个点是 ， ，所以 ， 所以 ，故 所以只需将函数 的图形要向右平移 个单位，即可得到 的图象， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了三角函数的函数图象，其中解答中根据函数图象求解析式时，注意应用 正弦函数图象的关键点进行求解，考查了读图能力和图象变换法则，属于中档题． 2sin 2 cos2 1α = α + 24sin cos 2cos . 0, , cos 02 π ∴ α⋅ α = α α∈ ∴ α >   sin 0, 2sin cosα > ∴ α = α 2 2sin cos 1α α+ = 2 2 15sin 1, sin 5 ∴ α = α = sin 0α > 5sin 5 α∴ = ( ) sin( )f x A xω ϕ= + 0A > 2 πϕ < ( ) sin3g x x= ( )f x π 4 π 4 π 12 π 12 φ ω 3= π ,04      π3 φ π4 ∴ × + = πφ 4 = ( ) πf x Asin 3x 4  = +   ( ) π πg x Asin3x Asin 3 x 12 4   = = − +     ( )f x π 12 ( )g x 第 5 页 共 19 页 8．设 ，则 a,b,c 的大小关系是（ ） A．a 10 2c< < 11 sin sin5 6 2 π π> > = 1 12 a< < 2 2log 3 log 2 1> = 1b > 2 1 3 21 1 1 4 4 2    < =       10 2c< < c a b< < R ( )f x (1 ) (1 )f x f x− = + [0,1]x∈ ( )f x x= | 1|( ) ( 1 3)xg x e x− −= − < < ( )f x ( )g x (1 ) (1 )f x f x− = + | 1|( ) ( 1 3)xg x e x− −= − < < ( ), ( )f x g x 1x = ( )f x ( )g x ( )1,3− ( )f x (1 ) (1 )f x f x− = + ( )f x 1x = | 1|( ) ( 1 3)xg x e x− −= − < < 1x = 1 2x≤ ≤ ( ) 2f x x= − 1( ) xg x e −= 1( ) 2 xh x x e −= − − ( )1 2x≤ ≤ ' 1( ) 1 0xh x e −= − + < ( )h x [ ]1,2 (1) 0h = ( ) 0h x ≤ 第 6 页 共 19 页 即函数 ， 的图像在 无交点， 则函数 ， 在 上的图像如图所示，可知两个图像有 3 个交点，一个在直 线 上，另外两个关于直线 对称，则三个交点的横坐标之和为 3， 故选 A. 【点睛】 本题考查了函数图像的对称性，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题. 10．己知函数 有三个不同的零点，则实数 k 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】求导得到 得到函数的单调区间，只需满足 解得答案案. 【详解】 在 和 上单增,在 上单减， 当 时， ，当 时， ， 故 要有三个零点，只需满 ， 即 故答案选 B 【点睛】 本题考查了函数的零点问题，计算函数的单调区间得到函数简图是解题的关键，意在考 查学生对于函数的导数的综合应用能力. ( )f x ( )g x ( )1,2 ( )f x ( )g x ( )1,3− 1x = 1x = 2( ) ( 3 1) xf x x x e k= + + − 4 1 5( , )e e − 4 5(0, )e 4 5 1( , )e e − 1( , )e − +∞ ( ) ( 1)( 4)exf x x x′ = + + 0, ( 4) 0, ( 1) 0k f f− < − > − < ( )2( ) 5 4 e ( 1)( 4)ex xf x x x x x′ = + + = + + ( )f x∴ ( , 4)−∞ − ( 1, )− +∞ ( 4, 1)− − x → −∞ ( )f x k→ − x → +∞ ( )f x → +∞ ( )f x 4 5 10, ( 4) 0, ( 1) 0e ek f k f k− < − = − > − = − − < 4 50 ek< < 第 7 页 共 19 页 11．若正实数 a，b 满足 ，则下列说法正确的是 A．ab 有最小值 B． 有最小值 C． 有最小值 4 D． 有最小值 【答案】C 【解析】根据 a，b 都是正数，以及 即可得出 ，从而判断选项 A 错误，根 据基本不等式即可排除选项 B，D，从而只能选 C． 【详解】 解： ， ，且 ； ； ； 有最大值 ， 选项 A 错误； ， ，即 有最大值 ， B 项错误. ， 有最小值 4， C 正确； , 的最小值是 ，不是 ， D 错误． 故选：C． 【点睛】 考查基本不等式的应用，以及不等式的性质． 二、多选题 12．已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列，前 n 项和为 Sn，满足 a1+5a3＝S8，下列选 项正确的有（ ） A． B． C． 最小 D． 【答案】AB 【解析】由已知可得 ，由等差数列的性质，当 时， 可得 ，再结合等差数列的前 项和公式 求和即可得解. 【详解】 10 0a = 7 12S S= 10S 20 0S = 10 0a = p q m n+ = + p q m na a a a+ = + 12 7 0S S− = n 2 1 (2 1)n nS n a− = − 第 8 页 共 19 页 解：因为{an}是等差数列，设公差为 ，由 ， 可得 ，即 ，即选项 A 正确， 又 ，即选项 B 正确， 当 时，则 或 最小，当 时，则 或 最大，即选项 C 错误， 又 ， ，所以 ，即选项 D 错误， 故选 AB. 【点睛】 本题考查了等差数列的性质及前 项和公式，属中档题. 13．在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，如图，则下列等式成立的是(　　) A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由平面向量的数量积运算可得： ， = ， 再结合直角三角形中的射影定理可得选项 A,B 正确，由 的符号可得选 项 C 错误，由三角形全等可得选项 D 正确，综合可得解. 【详解】 解：由 ,由射影定理可得 ， 即选项 A 正确， 由 = ,由射影定理可得 ， 即选项 B 正确， 由 ,又 ，即选项 C 错误， 由图可知 ，所以 ， d 1 3 85a a S+ = 1 9 0a d+ = 10 0a = 12 7 8 9 10 11 12 105 0S S a a a a a a− = + + + + = = 0d > 9S 10S 0d < 9S 10S 19 1019 0S a= = 20 0a ≠ 20 0S ≠ n 2 AC C ABA ⋅=    2 C B BCB A⋅=    2 B A CDA C ⋅=    ( ) ( )2 2 AB BAC BA B C CD A ⋅ × = ⋅        AC AB AD AB⋅ =  BA BC⋅  BA BD 2 ,B A CDA C ⋅   cosAC AB AC AB A AD AB⋅ = =    2 AC C ABA ⋅=    BA BC⋅  cosBA BC B BA BD=  2 C B BCB A⋅=    cos( ) 0CD AC CDA CDC Aπ⋅ = − ∠ <    2 0AB > Rt ACD Rt ABC∆ ≅ ∆ AC BC AB CD= 第 9 页 共 19 页 由选项 A,B 可得 ，即选项 D 正确， 故选 ABD. 【点睛】 本题考查了平面向量的数量积运算、直角三角形中的射影定理及三角形全等，属中档题. 三、填空题 14．某驾驶员喝了 升酒后，血液中的酒精含量 （毫克/毫升）随时间 （小时） 变化的规律近似满足表达式 《酒后驾车与醉酒驾车的标准及 相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过 毫克/毫升．此驾驶员至少要 过______小时后才能开车．（精确到 1 小时） 【答案】4 【解析】此驾驶员血液中酒精含量不得超过 毫克/毫升时，才能开车，因此只需由 ，求出 的值即可. 【详解】 当 时，由 得 ，解得 ， 舍去； 当 时，由 得 ，即 ，解得 ，因为 ，所以此驾驶员至少要过 4 小时后 才能开车. 故答案为 4 【点睛】 本题主要考查函数的应用，由题意得出不等式，分类求解即可，属于基础题型. 15．在△ABC 中， ， ， ，D 是 AC 的中点，E 在 BC 上， 且 ，则 • _____________. 【答案】16 【解析】由题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量 、 和 ，计算即 ( ) ( )2 2 AB BAC BA B C CD A ⋅ × = ⋅        m ( )f x x ( ) 25 0 1 3 1( ) 1.5 3 x x x f x x − ≤ ≤=  ⋅ ， ， ＞ 0.02 0.02 ( ) 0.02f x ≤ x 0 1x≤ ≤ ( ) 0.02f x ≤ 25 0.02x− ≤ 5 52 0.02 0.5 0x log log≤ + = < 1x＞ ( ) 0.02f x ≤ 3 1( ) 0.025 3 x⋅ ≤ 13 0.1x− ≤ 3 31 0.1 1 10x log log≥ − = + 33 1 10 4log< + < 4AB = 6BC = 2ABC π∠ = AE BD⊥ AE BC == AE BD BC 第 10 页 共 19 页 可． 【详解】 解：建立平面直角坐标系，如图所示； 则 A（0，4），B（0，0），C（6，0），D（3，2）， 设 E（x，0），则 （x，﹣4）， （3，2）， 由 AE⊥BD，得 • 3x﹣8＝0，解得 x ， ∴ （ ，﹣4）； 又 （6，0）， ∴ • 6﹣4×0＝16． 故答案为：16． 【点睛】 本题考查了平面向量坐标表示与数量积运算问题，考查计算能力，是中档题． 16．在 中，角 的对边分别为 ，已知 ， ，角 的平分线交边 于点 ，其中 ，则 ______. 【答案】 【解析】根据余弦定理可得 ；利用 和 可构造方程求得 ，代入余弦定理的式子可求出 ， 代入三角形面积公式求得结果. 【详解】 AE = BD = AE BD = 8 3 = AE = 8 3 BC = AE 8 3BC = × ABC∆ A B C， ， , ,a b c 3A π= 4 7a = A BC D 3 3AD = ABCS∆ = 12 3 ( )2 3 112b c bc+ − = ABC ACD ABDS S S∆ ∆ ∆= + 1 sin2ABCS bc A∆ = 1 3b c bc+ = 48bc = 第 11 页 共 19 页 由余弦定理 可得： 又 ，解得： 本题正确结果： 【点睛】 本题考查解三角形中三角形面积的求解问题，涉及到余弦定理和三角形面积公式的应用； 本题的解题关键是能够通过面积桥的方式构造方程求得 和 之间的关系，进而结 合余弦定理求得所需的值. 17．设函数 是单调函数．① 的取值范围是_____；②若 的值域是 ，且方程 没有实根，则 的取值范围是_____． 【答案】 【解析】（1）先判断 的部分单调性，则 部分单调性与 部分一致，并且 注意在 处，两段函数取值的大小关系； （2）通过 的值域为 ，结合函数图象可求 的值；由于 无实根， 根据函数图象，确定临界位置： 与 相切的时候，求出此时的 值， 通过将 平移，可得出 的取值范围. 【详解】 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − ( )22 2 3 112b c bc b c bc+ − = + − = ( )1 1 3 3sin sin2 2 2 2 4ABC ACD ABD A AS S S b AD c AD b c∆ ∆ ∆= + = ⋅ + ⋅ = + 1 3sin2 4ABCS bc A bc∆ = = ( )3 3 3 4 4bc b c∴ = + 1 3b c bc∴ + = ( )21 3 1129 bc bc∴ − = 48bc = 3 48 12 34ABCS∆∴ = × = 12 3 b c+ bc 2 1, 1( ) , 1 x xf x x ax x  + ≥=   < a ( )f x R ( ) ln( )f x x m= + m (0,2] ( ,ln 2 )e−∞ 1x ≥ 1x < 1x ≥ 1x = ( )f x R a ( ) ln( )f x x m= + y ax= ln( )y x m= + m ln( )y x m= + m 第 12 页 共 19 页 ①当 时， ，则 恒成立，故 在 上单调 递增， ， 当 时， ， 由于 在 上单调递增，故 也为单调递增函数，且 恒成立， ∴ ， 故 的范围为 ， ②由①可得当 时， ， ∵ 的值域是 ， ∴当 时， ， ∴ ， ∵方程 没有实根， 当 与 相切时，设切点为 ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ∴ 故 的取值范围为 ， 1x ≥ 1( )f x x x = + 2 1( ) 1 0f x x ′ = − ≥ ( )f x [1, )+∞ min( ) (1) 2f x f= = 1x < ( )f x ax= ( )f x [1, )+∞ ( )f x ax= 2ax ≤ 0 2 a a >  ≤ a (0,2] 1x ≥ ( ) 2f x ≥ ( )f x R 1x = 2ax = 2a = ( ) ln( )f x x m= + 2y x= ( ) ln( )y g x x m= = + ( )0 0,2x x 1( )g x x m ′ = + 0 1 2x m =+ ( )0 0 12 ln ln 2x x m= + = 0 1 ln 22x = − 0 1 1 1 ln 2 ln 22 2 2m x e= − = + = ln 2m e> ( ,ln 2 )e−∞ 第 13 页 共 19 页 故答案为： ， 【点睛】 （1）确定分段函数的单调性，不仅要考虑每一段函数的单调性，还要注意分段点处的 两段函数取值的大小关系； （2）方程解得个数问题可以转化为函数图象的交点个数问题去解决，利用数形结合的 思想更便捷 四、解答题 18．已知函数 的相邻两条对称轴 之间的距离为 ． （1）求 的值； （2）当 时，求函数 的值域. 【答案】（1）1；（2） . 【解析】（1）先利用降幂公式和辅助角公式可把 转化为 ，根据周期可求 的值. （2）结合（1），可先求出 的取值范围，再利用三角函数的性质可求函数 的值域 【详解】 （1） = . ∵函数 的最小正周期为 且 ， ,解得 . （2） ，根据正弦函数的图像可得： 当 即 时， 取最大值 1； (0,2] ( ,ln 2 )e−∞ 2( ) sin 3sin sin 1( 02f x x x x πω ω ω ω  = + ⋅ + − >     2 π ω ,12 2x π π ∈ −   ( )f x 1 3 1[ , ]2 2 +− ( )f x ( ) 1sin(2 ) .6 2f x x πω= − − ω 2 6x π− ( )f x 1 cos2 3 1 1( ) 3sin cos 1 sin 2 cos22 2 2 2 xf x x x x x ω ω ω ω ω−= + − = − − 1sin(2 )6 2x πω − − ( )f x π 0>ω 2 2 π πω∴ = 1, ( ) sin 2 6f x x πω  = ∴ = −   5, , 2 ,12 2 6 3 6x x π π π π π   ∈ − ∴ − ∈ −       2 26x ππ− = 3x π= ( ) sin 2 6g x x π = −   第 14 页 共 19 页 当 即 ， 最小值 . ,即 的值域为 . 【点睛】 形如 的函数，可以利用降幂公式和辅 助角公式将其化为 的形式，再根据复合函数的讨论方法 求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等． 19．已知 是公差为 3 的等差数列，前 项和为 ， 是首项为 的等 比数列，且公比大于 ， ， . （1）求 和 的通项公式； （2）求 的前项和 【答案】(1) ； ； (2) 【解析】（1）由已知可得等差数列的首项为 、等比数列的公比 ， 再由等差数列，等比数列的通项公式求解即可. （2）由 为等差比数列，采用错位相减法，将 左右两边同时乘以 2，再作差即可得解. 【详解】 (1)等差数列 的公差为 3,等比数列 的公比为 q. 由已知 得 ,而 ,所以 . 又因为 q>0,解得 q=2.所以, . ， 即 ,可得 ， 所以 的通项公式为 , 的通项公式为 . (2)由(1)得 2 6 3x π π− = − 12x π= − ( ) sin 2 6g x x π = −   3 2 − 1 3 1 1sin(2 )2 2 6 2 2x π∴− − ≤ − − ≤ ( )f x 1 3 1[ , ]2 2 +− ( ) 2 2sin sin cos cosf x A x B x x C xω ω ω ω= + + ( ) ( )'sin 2 'f x A x Bω ϕ= + + { }na n ( )* nS n N∈ { }nb 2 0 2 3 12b b+ = 11 411S b= { }na { }nb { }n na b nT 3 2na n= − 2n nb = ( ) 13 5 2 10n nT n += − ⋅ + 1 1a = 2q = { }n na b 1 1 2 2 3 3 1 1n n n n nT a b a b a b a b a b− −= + + + + + { }na { }nb 2 3 12b b+ = ( )2 1 12b q q+ = 1 2b = 2 6 0q q+ − = 2n nb = ( ) 46 11 6 1 11 1 4 211 11 11 11 5 11 11 22 2 aa aS a a d b += × = × = = + = = × 1 5 16a d+ = 1 1 1, ( 1) 3 23 n a a a n d nd = ∴ = + − = − = { }na 3 2na n= − { }nb 2n nb = ( ) ( )3 2 3 2 2n n n na b n a n= − = − ⋅ 第 15 页 共 19 页 所以 ,① ,② ①—②得 所以 . 【点睛】 本题考查了等差数列，等比数列的通项公式及等差比数列求和，重点考查了错位相减法， 属中档题. 20．如图所示， 是边长为 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全 等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 四个点重合于图中的点 ，正好形 成一个正四棱柱形状的包装盒， 、 在 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两 个端点，设 . （1）若广告商要求包装盒侧面积 最大，试问 应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积 最大，试问 应取何值？并求出此时包装盒的高 与底面边长的比值。 【答案】(1) .(2) 当 时，包装盒的容积最大，此时包装盒的高与底面边长 的比值为 . 【解析】设包装盒的高为 ，底面边长为 ，（1）中，求得 1 1 2 2 3 3 1 1n n n n nT a b a b a b a b a b− −= + + + + + 2 31 2 4 2 7 2= × + × + × + + ( ) ( )13 5 2 3 2 2n nn n−− ⋅ + − × 2 3 42 1 2 4 2 7 2nT = × + × + × + + ( ) ( ) 13 5 2 3 2 2n nn n +− ⋅ + − × ( ) ( )2 3 12 3 2 2 2 3 2 2n n nT n +− = + + + + − − ( )2 12 2 22 3 3 2 21 2 n nn +− ⋅= + × − − ⋅− ( )1 12 3 2 12 3 2 2n nn+ += + ⋅ − − − ⋅ ( ) 110 5 3 2nn += − + − ⋅ ( ) 13 5 2 10n nT n += − ⋅ + ABCD 40cm ABCD P E F AB AE FB x cm= = ( )S cm x ( )V cm x 15x = 20x = 1 2 h a 第 16 页 共 19 页 ，根据二次函数的性质，即可求解. （2）中，求得容积 ，利用导数求解函数的单调性与最值， 即可求解. 【详解】 设包装盒的高为 ，底面边长为 . 由已知得 ， ， . （1） ， 所以当 时， 取得最大值. （2）由题意，可得 ，则 . 由 得 （舍去）或 . 当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减. 所以当 时， 取得极大值，也是最大值，此时 . 即当 时，包装盒的容积最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为 . 【点睛】 本题主要考查了导数的实际应用，其中解答中认真审题，设出变量，列出函数的解析式， 利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能 力，属于基础题. 21．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ． （1）求 的值； （2）若 ， ，求 的面积 ． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）在 中，由正弦定理化简得 ，又由 ，化简得 ，即可求得 的值； （2）在 中，由余弦定理，列出关于 方程，求得 ，再利用三角形的面积 公式，即可求解． 【详解】 （1）由题意，知 ， 由正弦定理可得 ， 24 8( 15) 1800S ah x= = − − + 2 3 22 2( 30 )V a h x x= = − + ( )h cm ( )a cm 2a x= 60 2 2(30 ) 2 xh x −= = − 0 30x< < 24 8 (30 ) 8( 15) 1800S ah x x x= = − = − − + 15x = S 2 3 22 2( 30 )V a h x x= = − + ' 6 2 (20 )V x x= − ' 0V = 0x = 20x = (0,20)x∈ ' 0V > V (20,30)x∈ ' 0V < V 20x = V 1 2 h a = 20x = 1 2 第 17 页 共 19 页 整理得 ， 即 ， 又因为 ，则 ，所以 ， 即 ， 又因为 ，所以 ，解得 ． （2）在 中，由余弦定理可得 ， 因为 ， ，所以 ，解得 ，所以 ， 则三角形的面积 ． 【点睛】 本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形 的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理李额 方程求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 22．已知正项数列 的前 n 项和为 ,且 ， （1）求数列 的通项公式 （2）求数列 的前 n 项和 【答案】(1) ；(2) 【解析】（1）由 的关系，因为 ，得等式 ， 两式相减，再确定数列 的性质，从而求其通项公式即可； （2）先求出数列 ，再利用累加法求和即可. 【详解】 (1)当 时， ， 当 时， ，相减可得 又 ， 是首项为 1 是公差为 1 的等差数列, 即 ， { }na nS 2 1 1 11, n n na s s a+ += + = 1 1 n n n n n a ab a a + + = + { }na { }nb nT na n= 21n nT nn = ++ ,n nS a 2 1 1n n ns s a+ ++ = 2 1n n ns s a−+ = { }na 1 1 21nb n n = − ++ 1n = 2 2 2 2 1 2s s a+ = 20, 2na a> ∴ = 2n ≥ 2 1n n ns s a−+ = 1n na a+ + 2 2 1n na a+= − 10, 1( 2)n n na a a n+> ∴ − = ≥ 2 1 1a a− = { }na∴ 1 ( 1) 1na n n= + − × = 第 18 页 共 19 页 故 ； (2)由(1)知, 所以 . 【点睛】 本题考查含 的递推式求数列的通项公式及累加法求数列的前 n 项和， 此题关键是由已知条件得等式 ，再作差求通项，属中档题. 23．已知函数 (1)判断函数 在 上的单调性 (2)若 恒成立，求整数 的最大值 (3)求证： 【答案】（1）函数 在 上为减函数 （2）整数 的最大值为 3 （3）见解析 【解析】（1）由导数的应用，结合 ，得函数 在 上为减函数； （2）原命题可转化为即 恒成立，即 ，再构造函数 ，利用导数 求其最小值即可； （3）由（2）知， ， ，令 ，再求和即 可证明不等式，得解. 【详解】 解：（1）因为 ， 所以 ， ， 又因为 ，所以 ， ， 所以 ， 即函数 在 上为减函数； （2）由 恒成立， na n= 1 1 1 21 1n n nb n n n n += + = − ++ + 1 1 1 1 1 1 11 ... 2 22 2 3 3 4 1 1n nT n nn n n = − + − + − + + − + = ++ + ,n nS a 2 1n n ns s a−+ = 1 ln(1 )( ) ( 0)xf x xx + += > ( )f x (0, )+∞ ( ) 1 kf x x > + k 2 3(1 1 2)(1 2 3) [1 ( 1)] nn n e −+ × + × + + > ( )f x (0, )+∞ k ' ( ) 0f x < ( )f x (0, )+∞ 1 ( 1)ln( 1)x x xk x + + + +< min 1 ( 1)ln( 1)( )x x xk x + + + +< 1 ( 1)ln( 1)( ) x x xh x x + + + += 2 1 3ln( 1) 21 1 xx x x −+ > = −+ + ( 0)x > ( 1)x n n= + 1 ln(1 )( ) ( 0)xf x xx + += > ' 2 1 ln(1 )1( ) xxf x x − − ++= ( 0)x > 0x > 1 01 x >+ ln(1 ) 0x+ > ' ( ) 0f x < ( )f x (0, )+∞ ( ) 1 kf x x > + 第 19 页 共 19 页 即 恒成立， 即 ， 设 ， 所以 ， ， 令 ， 则 ， 即 在 为增函数， 又 ， ， 即存在唯一的实数根 ，满足 ，且 ， ， 当 时， ， ，当 时， ， ， 即函数 在 为减函数，在 为增函数， 则 ， 故整数 的最大值为 3； （3）由（2）知， ， ， 令 ， 则 ， 则 = ， 故 . 【点睛】 本题考查了利用导数判断函数的单调性、构造函数求解不等式恒成立问题及利用证明的 结论证明不等式，属综合性较强的题型. 1 ( 1)ln( 1)x x xk x + + + +< min 1 ( 1)ln( 1)( )x x xk x + + + +< 1 ( 1)ln( 1)( ) x x xh x x + + + += ' 2 1 ln( 1)( ) x xh x x − − += ( 0)x > ( ) 1 ln( 1)g x x x= − − + ' 1( ) 1 01 1 xg x x x = − = >+ + ( )g x ( )0, ∞+ (2) 1 ln3 0g = − < (3) 2 2ln2 0g = − > a ( ) 0g a = ( )2,3a∈ 1 ln( 1) 0a a− − + = x a> ( ) 0>g x ' ( ) 0h x > 0 x a< < ( ) 0 = −+ + ( 0)x > ( 1)x n n= + 3 3 1 1ln[1 ( 1))] 2 2 2 3( )( 1) 1 ( 1) 1n n n n n n n n + + > − > − = − −+ + + + ln(1 1 2) ln(1 2 3) ... ln[1 ( 1)]n n+ × + + × + + + + > 1 1 1 1 12 3(1 ) 2 ( ) ... 2 3( )2 2 3 1n n − − + − − + + − − + 12 3(1 ) 2 31n nn − − > −+ 2 3(1 1 2)(1 2 3) [1 ( 1)] nn n e −+ × + × + + >