七年级下册数学课件《完全平方公式 完全平方公式的应用》 (6)_北师大版 32页

1.6完全平方公式（2）《数学》(北师大.七年级下册)第一章整式的乘除 学习目标：1、应用完全平方公式解决数字计算问题2、完全平方公式在整式计算中的应用 回顾与思考回顾&思考☞完全平方公式共有个：这2个公式的区别是；联系是________________________________________2a2+2ab+b2;(a+b)2=(a−b)2=a2−2ab+b2;左边括号内与右边第二项的符号不同左右两边的结构分别相同、第二项的符号与左边括号内的符号相同。两个公式中的字母都表示什么?(数或代数式)++−−根据两数和或差的完全平方公式，能够计算多个数的和或差的平方吗?完全平方公式在计算化简中有些什么用?这节课我们就来研究这个问题。 例题解析例题学一学例1利用完全平方公式计算：(1)1022;(2)1972.完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2的左边的底数是两数的和或差.观察&思考提示：把1022，1972改写成(a+b)2还是(a−b)2?a、b怎样确定？ 例题解析例题学一学例2计算：(1)(x＋3)2－x2；(2)(a＋b＋3)(a＋b－3)；(3)(x＋5)2－(x－2)(x－3) 例2计算：(1)(x+3)2−x2;(3)(x+5)2−(x−2)(x−3).本例两个小题的计算,可能用到哪些公式?观察&思考(x+3)2−x2的计算你能用几种方法?试一试.法二:平方差公式单项式乘多项式.解:(1)法一完全平方公式合并同类项(见教材);(x+3)2−x2=(x+3+x)(x+3−x)思考本题的计算有哪几点值得注意?运算顺序;(x−2)(x−3)展开后的结果要添括号. 例2计算：(2)(a+b+3)(a+b−3);若不用一般的多项式乘以多项式,怎样用公式来计算?观察&思考因为两多项式不同,即不能写成()2,分析故不能用完全平方公式来计算,只能用平方差公式来计算.三项能看成两项吗?☾平方差公式中的相等的项(a)、符号相反的项(b)在本题中分别是什么？[(a+b)+3][(a+b)−3]解:(a+b+3)(a+b−3)=+3−3(a+b)(a+b)=()2−()2a+b3=a2+2ab+b2−9. 随堂练习一1、利用整式乘法公式计算：(1)962(2)(2x+y+1)(2x+y-1) 点拨、更正解：1(1)962=(100-4)2=1002-2×100×4+42=9216(2)原式=[(2x+y)+1][(2x+y)-1]=(2x+y)2-1=4x2+4xy+y2-1这里的2不能漏乘注意这里应添括号 随堂练习一2、计算：(1)(ab+1)2-(ab-1)2(2)(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)(3)(2x-y)2-4(x-y)(x+2y) 点拨、更正2(1)原式=(ab+1+ab-1)(ab+1-ab+1)=2ab·2=4ab(2)原式=x2-4-(x2-2x-3)=x2-4-x2+2x+3=2x-1(3)原式=4x2-4xy+y2-4(x2+xy-2y2)=4x2-4xy+y2-4x2-4xy+8y2=9y2-8xy本题也可直接用完全平方公式解这里只能用多项式×多项式来解这里应注意合并同类项 做一做做一做有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们。来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块糖，……(1)第一天有a个男孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？a2(2)第二天有b个女孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？b2(3)第三天这(a+b)个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？(a+b)2(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？第三天多;多多少？为什么？多2ab.∵(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)2−(a2+b2)= 随堂练习二1、一个底面是正方形的长方体，高为6cm，底面正方形边长为5cm。如果它的高不变，底面正方形边长增加了acm，那么它的体积增加了多少？ 点拨、更正1、解：依题意，得6[(a+5)2-52]=6(a2+10a+25-25)=6a2+60a因此这个长方体的体积增加了(6a2+60a)cm3.点拨：这里求的是长方体体积的增加量，后面作答时必须加上单位。 随堂练习二2、a，b，c是三个连续的正整数，以b为边长作正方形，分别以a，c为长和宽作长方形，哪个图形的面积大？大多少？ 点拨、更正2、解：由题意可知(a+1)=b;(c-1)=b所以a=b-1;c=b+1所以b2-ac=b2-(b-1)(b+1)=b2-b2+1=1所以正方形的面积大，大1个面积单位。这里是应用比差法来对两个图形的面积进行比较 拓展练习真棒！！真棒！！如果把完全平方公式中的字母“a”换成“m+n”，公式中的“b”换成“p”，那么(a+b)2变成怎样的式子?(a+b)2变成(m+n+p)2。怎样计算(m+n+p)2呢?(m+n+p)2=[(m+n)+p]2逐步计算得到：=(m+n)2+2(m+n)p+p2=m2+2mn+n2+2mp+2np+p2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np把所得结果作为推广了的完全平方公式，试用语言叙述这一公式：三个数和的完全平方等于这三个数的平方和，再加上每两数乘积的2倍。仿照上述结果，你能说出(a−b+c)2所得的结果吗? 课堂小结：①弄清在什么情况下才能使用各乘法公式.②注意公式的逆用.③注意公式的灵活运用.④公式中的a,b可以是数，也可以是单项式或多项式.①平方差公式(a+b)(a–b)=a2–b2完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a–b)2=a2–2ab+b2 夯实基础1．(a＋3b)2－(3a＋b)2计算结果是()A．8(a－b)2B．8(a＋b)2C．8b2－8a2D．8a2－8b22．将正方形的边长由acm增加6cm，则正方形的面积增加了()A．36cm2B．12acm2C．(36＋12a)cm2D．以上都不对CC 夯实基础3.代数式2xy-x2-y2=()A.(x-y)2B.(-x-y)2C.(y-x)2D.-(x-y)2D4.若a+b=7,ab=12,则的值为（）A.-11B.13C.37D.61B 5.若则xy=______.16.若x－y＝３，xy＝10,则____.29夯实基础 夯实基础7．用乘法公式计算：(1)9992(2)(2a＋3b－c)2(3)(x＋2y－3)(x－2y＋3)答案：(1)998001(2)4a2＋9b2＋c2＋12ab－6bc－4ac](3)x2－4y2＋12y－9 夯实基础8．先化简，再求值：(x＋5)(x－1)＋(x－2)2，其中x＝－2.答案：2x2－1；7 提升能力9．填空：x2－4x＋3＝(x－____)2－1.10．计算：(1)20152－4030×2016＋20162(2)(x＋5)2－2(x＋5)(x＋3)＋(x＋3)22答案：（1）1；（2）4 提升能力11．已知实数a，b满足(a＋b)2＝10，ab＝1.求下列各式的值：(1)a2＋b2；(2)(a－b)2.[答案：(1)8(2)6]12．已知：x2－2x＋y2＋6y＋10＝0，求x＋y的值．[答案：－2] 提升能力13．观察下面各式规律：12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；22+（2×3）2+32=（2×3+1）2；32+（3×4）2+42=（3×4+1）2…写出第n个式子，并证明你的结论．解：第n个式子：n2+[n（n+1）]2+（n+1）2=[n（n+1）+1]2，证明：因为左边=n2+[n（n+1）]2+（n+1）2=n2+（n2+n）2+（n+1）2=（n2+n）2+2n2+2n+1=（n2+n）2+2（n2+n）+1=（n2+n+1）2，而右边=（n2+n+1）2，所以左边=右边，等式成立． 拓广探究14．图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的面积为_______；（2）观察图2，三个代数式（m+n)2，（m-n)2，mn之间的等量关系是___________如果x+y=-6，xy=2.75，则x-y=___________；(3）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢?（4）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2.（1）（m-n）2（2）（m-n）2+4mn=（m+n）2±5（3）（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2；答案： 拓广探究15．阅读下列材料并解答后面的问题：利用完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形，如a2+b2=（a+b）2-2ab或a2+b2=（a-b）2+2ab．从而使某些问题得到解决．例：已知a+b=5，ab=3，求a2+b2的值．解：a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2×3=19．问题：（1）已知a+a-1=6，则a2+a-2=_______；（2）已知a-b=2，ab=3，求a4+b4的值．解：（1）∵(a+a-1)2=a2+2+a-2，∴a2+a-2=(a+a-1)2-2=34；（2）∵a-b=2，ab=3，∴a2+b2=（a-b）2+2ab=4+2×3=10，a2b2=9，∴a4+b4=（a2+b2）2-2a2b2=100-2×9=82． 本节课你的收获是什么？总结【温馨提示】1．公式的特征：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍．2．应用完全平方公式时，要先观察题目特点是否符合公式条件，若不符合，应先变形为符合公式的形式，再利用公式进行计算；若不能变为符合公式结构的形式，则应运用多项式乘法法则进行计算．3．公式中的字母可以是单项式，也可以是多项式，只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式． 总结【方法技巧】1．在进行两数和或两数差的平方时，应注意将两数分别平方，避免出现(2-3x)2=4-12x+3x2的错误．2．在应用完全平方公式的过程中，常有以下几种变形形式：（1）a2+b2=(a+b)2-2ab;（2）a2+b2=(a-b)2+2ab；（3）2ab=(a+b)2-(a2+b2);（4）2ab=(a2+b2)-(a-b)2；（5）(a+b)2=(a-b)2+4ab:（6）(a+b)2-(a-b)2=4ab.我们可以根据这些变形公式来解决相应的问题． 作业必做题：课本p27习题1.12选做题：若a+b+c=0,=1，试求下列各式的值：(1)bc+ac+ab;(2) 学习知识要善于思考，思考，再思考。