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- 2021-10-22 发布
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1 认识三角形
第四章 三角形
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
第1课时 三角形的内角和
1.了解三角形及相关概念,能正确识别和表示三角形;
2. 会按角的大小对三角形进行分类;
3.掌握三角形的内角和等于180°,并会据此解决简单
的问题.(重点、难点)
学习目标
导入新课
埃及金字塔
氨
气
分
子
结
构
示
意
图
飞机机翼
问题:
(1)从古埃及的金字塔到现代的飞机,从宏伟的建筑
物到微小的分子结构,都有什么样的形象?
(2)在我们的生活中有没有这样的形象呢?试举例.
讲授新课
三角形的概念一
问题1:观察下面三角形的形成过程,说一说什么叫三
角形?
定义:由不在同一条直线上的三条
线段首尾顺次相接所组成的图形叫
作三角形.
问题2:三角形中有几条线段?有几个角?
A
B C
边:线段AB,BC,CA是三角形的边.
顶点:点A,B,C是三角形的顶点,
角:∠A,∠B,∠C叫作三角形的内角,简称三角
形的角.
有三条线段,三个角
记法:三角形ABC用符号表示________.
边的表示:三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字
母分别表示为________.
△ABC
c,a,b
边c 边b
边a 顶点C
角 角
角
顶点A
顶点B
辨一辨:下列图形符合三角形的定义吗?
不符合 不符合 不符合
①位置关系:不在同一直线上;
②联接方式:首尾顺次相接.
u三角形应满足以下两个条件:
要点提醒
u表示方法:
三角形用符号“△”表示;记作“△ABC”,读作
“三角形ABC”,除此△ABC还可记作△BCA,
△ CAB, △ ACB等.
u基本要素:
三角形的边:边AB、BC、CA;
三角形的顶点:顶点A、B、C;
三角形的内角(简称为三角形的角):∠ A、 ∠ B、
∠ C.
u特别规定:
三角形ABC的三边,一般的顶点A所对的边记作
a,顶点B所对的边记作b,顶点C所对的边记作c.
5个,它们分别是△ABE,△ABC,
△BEC,△BCD,△ECD.
找一找:(1)图中有几个三角形?用符号表示出这些三
角形?
A
B C
D
E(2)以AB为边的三角形有哪些?
△ABC、△ABE.
(3)以E为顶点的三角形有哪些?
△ ABE 、△BCE、 △CDE.
(4)以∠D为角的三角形有哪些?
△ BCD、 △DEC.
(5)说出△BCD的三个角和三个顶点所对的边.
△BCD的三个角是∠BCD、∠BDC、∠CBD.顶点B所
对应的边为DC,顶点C所对应的边为BD,顶点D所
对应的边为BC.
A
B C
D
E
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观测的结果不一定可靠,还需要通过数学知识来说明.
从上面的操作过程,你能发现证明的思路吗?
还有其他的拼
接方法吗?
三角形的内角和二
探究:在纸上任意画一个三角形,将它的内角剪下
拼合在一起.
l
验证结论 三角形三个内角的和等于180°.
求证:∠A+∠B+∠C=180°.
已知:△ABC.
证法1:过点A作l∥BC,
∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°,
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
1 2
证法2:延长BC到D,过点C
作CE∥BA,
∴ ∠A=∠1 .
(两直线平行,内错角相等)
∠B=∠2.
(两直线平行,同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°,
∴∠A+∠B+∠ACB=180°. CB
A E
D
1
2
CB
A
E
D
F
证法3:过D作DE∥AC,作
DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(两直线平行,同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°,
(两直线平行,同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°,
∴∠A+∠B+∠C=180°.
想一想:同学们还有其他的方法吗?
思考:多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是
什么?
借助平行线的“移角”的功能,将三
个角转化成一个平角.
C
A
B
1
2 3
4
5
l
A
C B
1
2 34
5
l
P
6
m A
B C
D
E
例1 已知,如图,D是△ABC中BC边延长线上
一点,F为AB上一点,直线FD交AC于E,∠DFB=
90°,∠A=46°,∠D=50°.求∠ACB的度数.
解:在△DFB中,
∵∠DFB=90°,∠D=50°,
∠DFB+∠D+∠B=180°,
∴∠B=40°.
在△ABC中,
∵∠A=46°,∠B=40°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=94°.
典例精析
同学们手中有直角三角板,请再画一个
内角都不是90°的三角形.
三角形按角分类三
三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形;
锐角三角形
有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形.
钝角三角形
有一个角是直角的三角形叫作直角三角形;
直角三角形
直角边
直
角
边
斜
边
A
B C
直角三角形ABC可以写成Rt△ABC;
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
三角形
三角形按角的大小分类
根据“三角形的内角和为180°”易得“直角三角形
的两个锐角互余”.
例2 一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3,
这个三角形一定是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.无法判定
解析:设这个三角形的三个内角的度数分别是x,
2x,3x,根据三角形的内角和为180°,得x+
2x+3x=180°,解得x=30°,∴这个三角形
的三个内角的度数分别是30°,60°,90°,
即这个三角形是直角三角形.
典例精析
A
例3 如图,CE⊥AF,垂足为E,CE与BF相交
于点D,∠F=40°,∠C=30°,求∠EDF、
∠DBC的度数.
解:∵CE⊥AF,
∴∠DEF=90°,
∴∠EDF=90°-∠F=90°-40°=50°.
由三角形的内角和定理得
∠C+∠DBC+∠CDB=∠F+∠DEF+∠EDF,
又∵∠CDB=∠EDF,
∴30°+∠DBC=40°+90°,
∴∠DBC=100°.
1.三角形是指( )
A.由三条线段所组成的封闭图形
B.由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相
接组成的图形
C.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相
接组成的图形
D.由三条线段首尾顺次相接组成的图形
C
当堂练习
2.(口答)下列各组角是同一个三角形的内角
吗?为什么?
(2)60°, 40°, 90°
(3)30°, 60°, 50°
(1)3°, 150°, 27° 是
不是
不是
提醒:三角形的内角和为180°.
3.(1)在△ABC中,∠A=35°,∠ B=43°,
则∠ C =_______;
(2)在△ABC中,∠C=90°,∠B=50°,
则∠A = _______;
(3)在△ABC中, ∠A=40°,∠A=2∠B,
则∠C = ________.
102°
40°
120
°
4.在△ABC中,∠A的度数是∠B的度数的3倍,
∠C 比∠B 大15°,求∠A,∠B,∠C的度数.
设∠B为x °,则∠A为(3x)°,∠C为(x+ 15)°.
3x+x+(x+15)=180,解得 x=33.
所以 3x=99 ,x+15 =48.
即∠A,∠B,∠C的度数分别为99°,33°,48°.
根据三角形的内角和等于180°, 得
解:
5.如图,△ABC中BD⊥AC,垂足为D,∠ABD=54°,
∠DBC=18°,求∠A和∠C的度数.
∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°,
∵BD⊥AC,∴∠ADB=∠CDB=90°.
∠ABD=54°,∠ADB=90°,
∴∠A=180°-∠ABD-∠ADB
=180°-54°-90°=36°.
解:
C
A
B
D ∠C=180°-∠A-(∠ABD+∠DBC)
=180°-36°-(54°+18°)
=72°.
三角形
三角形的概念:由不在同一
条直线上的三条线段首尾依
次相接所组成的封闭图形.
课堂小结
三角形按
角分类
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
三角形的内角和等于180°
直角三角形的两个锐角互余