2020春人教版七年级下数学第6章实数课件全套 167页

人教版七年级数学下册精 编版课件 第六章 实 数 [ 教育部审定 ] RJ· 数学 目 录 使用说明：点击对应课时，就会跳转到相应章节内容，方便使用。 6.1 平方根 6.2 立方根 6.3 实数 人教版 数学 七年级 下册 6.1 平方根 第一课时 第二课时 第三课时 第一课时 返回 算术平方根 同学们 , 你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度是在什么范围吗 ? 这 时它的速度要大于第一宇宙速度 v 1 (m/s ) 而小于第二宇宙速度 v 2 (m/s). v 1 、 v 2 的大小满足 v 1 2 =gR, v 2 2 = 2 gR, 其中， g 是物理中的一个常数 , g ≈ 9.8 m/s 2 , R 是地球半径 , R ≈ 6.4×10 6 m . 怎样求 v 1 和 v 2 呢 ? 导入新知 1. 了解 算术平方根 的概念，会表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的 非负性 . 2. 会求一些数的算术平方根，并用 算术平方根符号 表示 . 素养目标 3. 了解开方与乘方互为 逆运算 ，会用平方运算求 某 些 非负数 的算术平方根 . 学校要举行美术作品比赛，小鸥很 高兴，他想裁出一块面积为 25dm 2 的正 方形画布，画上自己的得意之作参加比 赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 因 为 5 2 =25, 探究新知 知识点 1 算术平方根的概念和性质 所以这 块正方形画布的边长应 取 5dm . 已知一个正数，求这个正数的平方 , 这是平方运算 . 正方形的边长 /cm 1 2 0.5 正方形的面积 /cm 2 1 填表： 表 1 【 讨论 】 你 能从 表 1 发现什么共同点吗？ 4 0. 25 探究新知 正方形的面积 /cm 2 1 4 0.36 49 正方形的边长 /cm 已知一个正数的平方，求这个正数 . 表 2 2. 表 1 和表 2 中 的 两种运算有什么关系？ 1 2 0.6 7 【 讨论 】 1. 你 能 从表 2 发现 什么共同点吗？ 探究新知 一 般地，如果一个 正数 x 的平方等于 a ，即 x 2 ＝ a ，那么这个 正 数 x 叫 做 a 的 算术平方根 . a 的算术平方根记 为 , 读作“ 根号 a ” . 规定： 0 的算术平方根是 0 ，即 . 探究新知 a 的 算术平方根 互为 逆运算 平方根号 被开方数 读作：根号 a （ a ≥ 0 ） 怎么用符号来表示一个数的算术平方根？ ( x ≥ 0 ) 探究新知 1. 一个正数的算术平方根 有几个？ 0 的算术平方根 有 1 个 ， 是 0 . 2. 0 的算术平方有几个？ 负数 没有 算术平方根 . 3.-1 有算术平方根吗？ 负数 有算术平方根 ? 一个 正数 的算术平方根 有 1 个 . 探究新知 例 1 求下列各数的算术平方根： （ 1 ） 100 ； （ 2 ） ； （ 3 ） 0.0001 ． 解： （ 1 ） 因为 10 2 =100 ， 　　　 所以 100 的算术平方根是 10 ． 即 ． 探究新知 素养考点 1 求一个数的算术平方根 解 ： （ 2 ）因为 ， 　　　　所以 的算术平方根是 ． 即 ． 探究新知 （ 2 ） ； 解 ： （ 3 ）因为 0.01 2 =0.0001 ， 　　　所以 0.0001 的算术平方根是 0.01 ． 即 ． 探究新知 总结 ： 从例 1 可以看出：被开方数 越大 ，对应的算术平方根也 越大 ，这个结论对所有正数都成 立 . （ 3 ） 0.0001 ． 1 . 求下列各式的值： （ 1 ） ； （ 2 ） ； （ 3 ） ； （ 4 ） ． 解： （ 1 ） 　； 　（ 2 ） 　　 ； 　（ 3 ） 　； 　（ 4 ） 　 ． 巩固练习 1. 负数有算术平方根吗？ 2. 是什么数？ 3. 中的 a 可以取任何数吗？ 也 就是说，非负数的“算术”平方根是非负数 . 负数不存在算术平方根，即当 a ＜ 0 时 ， 无意义 . 探究新知 知识点 2 算术平方根的双重非负性 的 双重非负性 1 . 被开方数 a≥ 0 2 . a 的算术平方根 例 2 下列各式是否有意义，为什么？ （ 1 ） ；（ 2 ） ；（ 3 ） ；（ 4 ） ． 解： （ 1 ） 无意义 ； （ 4 ） 有意义 ． （ 3 ） 有意义 ； （ 2 ） 有意义 ； 探究新知 素养考点 1 算术平方根有意义的识别 2. 下列各式是否有意义，为什么？ 3. 下列各 式中， x 为何 值时有意义？ ∵- x ≥0 ∴ x ≤0 　 ∵ x 2 +1≥0 恒成立 ∴ x 为任何数 　 × √ √ √ 巩固练习 （ 1 ） （ 2 ） （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） 解 : 解 : 解 : 因为 | m -1| ≥ 0 ， ≥ 0 ，又 | m -1| + =0 , 所 以 | m -1| =0 ， =0 ，所以 m= 1 ,n= -3 , 所 以 m+n =1+(-3)=-2 . 例 3 若 | m -1| + = 0 , 求 m+n 的值 . 总结： 几 个非负数的和为 0 ，则每个数均为 0 ，初中阶段学过的非负数有 绝对值 、 偶次幂 及一个数的 算术平方根 . 探究新知 素养考点 2 利用非负性求字母的值 （ 3 ） 若 ， 则 a = ； （ 2 ） 若 （ m -7 ) 2 =0 ， 则 m = ； （ 4 ） 若 ， 则代数式 =___. （ 1 ） 若 | a +3|=0 ， 则 a = ； -3 7 5 -1 巩固练习 4. 求 下列各式中字母的 值 . 1. （2019• 广东）化简 的结果是 （　　） A．﹣4 B．4 C．± 4 D．2 2. （2019•上海）如果一个正方形的面积是3，那么它的边长 是 ________ ． 巩固练习 连接中考 B 1. 4的算术平方根是 ( ) A.± B . C. ±2 D. 2 2. 下列说法正确的是 ( ) A. －1的算术平方根是－1 B. 0没有算术平方根 C.－1的相反数没有算术平方根 D. (－1) 2 的算术平方根是1 D D 课堂检测 基础巩固题 3 . 填空：（看谁算得又对又快） ( 1 ) 一个数的算术 平方根是 3 ，则这个数是 . ( 2 ) 一个自然数的算术平方 根为 a ， 则这个自然数 是___；和这个自然数相邻的下一个自然数是 . ( 3 ) 的 算术平方根为 . ( 4 ) 2的算术 平方根为 ____. 3 9 a 2 a 2 +1 课堂检测 基础巩固题 4. 求下列各数的算术平方根： （ 1 ） 0.0025 ； ( 2 ) 81 ； ( 3 ) 3 2 解： （ 1 ）因为 =0.0025 ，所以 0.0025 的算术平 方 根 是 _____ ， 即 = _____. （ 2 ）因为 =81 ， 所以 81 的算术平方根是 _____ ，即 = _____. （ 3 ）因 为 = 3 2 ，所以 3 2 的算术平方根是 _____ ，即 = _____ . 0.05 0.05 0.05 9 9 9 3 3 3 课堂检测 基础巩固题 解 : 设每块地板砖的边长为 x m . 由题意得 故每块地板砖的边长是 0.5 m . 用 大小完全相同的 240 块正方形地板砖，铺一间面积为 60 m 2 的会议室的地面，每块地板砖的边长是多少？ 能力提升题 课堂检测 求 x -3 y +4 z 的值 . 解： 由题意得： 解得 拓广探索题 课堂检测 已知：｜ x +2 y |+ 算术平方根 算术平方根的 概念 算术平方根的 双重 非负性 算术平方根的 应用 课堂小结 利用计算器求算术平方根和大小的比较 第二课时 返回 拼成的这 个面积为 2 的大正 方形的边长应该是多少呢？ ? 有多大呢？ 导入新知 2. 会用计算器求一个数的算术平方根，能用夹值法求一个数的算术平方根的 近似值 . 1. 用有理数估计无理数的大致范围，并初步体验“ 无限不循环小数 ”的含义． 素养目标 3. 理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根 扩大（或缩小）的规律 . 探究新知 知识点 1 算数平方根的估算与比较 做一做 : 同学们 , 你能将手中两个相同的小正方形，剪一剪，拼一拼，拼成一个大正方形吗？ 如果小正方形的边长是 1 dm ，那大正方形的边长是多少呢？ 解 : 设大正方形的边长为 xdm , 则 答 : 大正方形的边长为 dm . x 2 ＝ 2 小正方形的对角线的长是多少呢 ? 由算术平方根的意义可知 x= 有多大呢？ 你是怎样判断出 大 于 1 而小于 2 的 ？ 大于 1 而小于 2 因为 1 2 =1 ， 2 2 =4 ， 而 ， 所以 ． 探究新知 1<2<4 你能不能得到 的更精确的范围？ 有多大呢？ …… 探究新知 因为 1.4 2 =1.96,1.5 2 =2.25 ， 而 所 以 . 因为 1.41 2 =1.9881,1.42=2.0614 ，而 所 以 . 因为 1.414 2 =1.999396,1.415 2 =2.002225 而 1.999396<2<2.002225 ，所 以 . 有多大呢？ 你以前见过这种数吗？ 探究新知 小数位数无限 , 且小数部分不循环 事实上，继续重复上述的过程，可以得到 小数位数无限 , 且小数部分不循环的小数称为 无限不循环小数 . 无限不循环小数的概念 探究新知 是一个无限不循环的小 数 . 例 1 估 算 -3 的 值 ( 　　 ) A . 在 1 和 2 之间 B. 在 2 和 3 之间 C . 在 3 和 4 之间 D. 在 4 和 5 之间 A 总结 ： 估计一个有理数的算术平方根的近似值，必须先判断这个有理数位于 哪两个数的平方之 间 . 探究新知 素养考点 1 算术平方根估算数值 解析 ： 因为 4 2 <19<5 2 , 所以 4< < 5, 所以 1< -3<2. 故 选 A . 1. 与 最接近的整数是 ( ) A. 4 B. 5 C . 6 D . 7 C 巩固练习 2. 估算 的 值 ( 　　 ) A . 在 5 和 6 之间 B. 在 6 和 7 之间 C . 在 7 和 8 之间 D. 在 8 和 9 之间 C 例 2 试 比较 与 0.5 的大小. 探究新知 素养考点 2 利用算术平方根比较大小 提示 ： 比较数的大小，先 估计其算术平方根的近似 值 . 解 : 例 3 小 丽想用一块面积为 400cm 2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300cm 2 的长方形纸片，使它的长宽之比为 3∶2. 她不知能否裁得出来，正在发愁 . 你能帮小 丽用 这块纸片裁出符合要求的纸片吗？ Z 解 : 由题意知正方形纸片 的边长为 20 cm . 设长方形的长为 3 x cm , 则宽为 2 x cm . 则有 探究新知 3 x· 2 x= 300 x 2 =50 ∴长方形的长为 因为 50>49 ， ∴小丽 不能 裁出符合要求的纸 片 . 3 . 通过估算比较下列各组数的大小： ( 1 ) 与 1.9 ； ( 2 ) 与 1.5 . 解 ： ( 1 ) 因为 5>4 ，所以 >2 ，所以 >1.9 . ( 2 ) 因为 6>4 ，所以 > 2 ，所 以 > =1.5 . 巩固练习 在 估计有理数的算术平方根的过程中，为方便计算，可借助计算器求一个正有理数 a 的算术 平方根 ( 或其近似数 ). a = 按键顺序： 知识点 2 利用计算器求算术平方根 探究新知 例 4 用计算器求下列各式的值： ( 1 ) ； ( 2 ) （精确 到 0.001 ）． 解： ( 1 ) 依次按 键 3136 显示： 56 ． ∴ ． ( 2 ) 依次按键 2 显示： 1.414213562 ． ∴ ． 探究新知 素养考点 1 利用计算器求算数平方根 = = 4. 用计算器求下列各式的值： ( 1 ) =_______ ( 2 ) =______ ( 3 ) ( 精确到0.01） ≈ _______ 37 10.06 2.24 巩固练习 … … … … ( 1 ) 利用计算器计算下表中的算术平方根 , 并将计算结果填在表中 , 你发现了什么规律 ? 你能说出其中的道理吗 ? 探究新知 知识点 3 利用计算器找算术平方根 2 1 2 1 250 79.06 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 规律： 被开方数的小数点向右每移动 位 , 它的算术平方根的小数点就向右移动 位 ; 被开方数的小数点向左每移动 位 , 它的算术平方根的小数点就向左移动 位 . 5. 计算 （精确到0.001）≈________； ≈ _______； ≈_______； 6. 根 据 的值填空 ： ≈_______； 7. 你能根据 的值得出 的 值吗？ 1.732 0.1732 17.32 173.2 巩固练习 答： 不 能 . （2019 •潍坊） 利用教材中 的 计算器依次按键下 ： 则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（　　） A．2.5 B．2.6 C．2.8 D．2.9 巩固练习 连接中考 B 1. 式子 的结果精确到 0.01 为 ( ) A . 4.9 B. 4.87 C. 4.88 D. 4.89 2. 下列计算结果正确的是 ( ) C B 基础巩固题 课堂检测 A. B. C. D . 3. 在计算器上按键 ，下列计算结果正确的 是 （ ） A . 3 B. － 3 C. － 1 D. 1 4. 估计 在 ( ) A . 2 ～ 3 之间 B . 3 ～ 4 之间 C . 4 ～ 5 之间 D . 5 ～ 6 之间 B C 课堂检测 基础巩固题 小 明房间的面积为 10.8 平方米，房间地面恰由 120 块相同的正方形地砖铺成，问每块地砖的边长是多少？ 解： 设每块地砖的边长为 x 米， 由 题意得： 答： 每 块地 砖的边长是 0.3 米 . 课堂检测 能力提升题 ∴ （ 米） 1 . 若 则 a 的取值 ( 范围 ) 为 ( ) A. 正数　 B. 非负数　 C. 1,0　 D. 0 2 . 有一列数按如下规律排列： 则第 2016个 数是 ( ) C C 拓广探索题 课堂检测 A. B. C. D. 求算数平方根 使用 计算器 进行求算数平方根的运算 用计算器比较两个数的 大小 课堂小结 平方根 第三课时 返回 1.什么叫做算术平方根？ 2. 判断下列各数有没有算术平方根，如果有，请求出它们的算术平方根 . 100 ； 1 ； ; 0 ; －0.0025; (-3) 2 ; － 25； 导入新知 如 果一个 正数 x 的平方等于 a , 那么这个正数 x 叫做 a 的 算术平方根 . （ 1 ） 3 2 = ，（－ 3） 2 = ； （ 2 ） ， ； （ 3 ）0.8 2 = ，（－0.8） 2 = . 9 0.64 0.64 3. 填空 9 【 讨论 】 反 过来，如果已知一个数的平方，怎样求这个数？ 导入新知 1. 了解平方根的概念；掌握平方根的 特征 . 2. 能正确 区分 平方根与算术平方根的意义 . 素养目标 3. 能利用开平方与平方互为逆运算的关系， 求某些 非负数的平方根 . 3 分米 要 做一张边长是 3 分米的方桌面 ，它 的面积是多少？ 这个问题实际上就是求： 答： 9 平方分 米 . 这是已知底数和指数，求幂的运 算 . 乘方运算 探究新知 知识点 1 平方根的概念和特征 ？分米 反 过来，要做一张面积 是 9 平 方分米的方桌面，它的边长是多少分米？ 实际上就是要求出一个数，使它的平方等于 9 ，即： 显然，括号里应是 ±3 ，但－ 3 不符题意 . ∴ 方桌面的 边长应是 3 分米 . 9 平方分米 你还能得到什么问题呢？ 探究新知 问题: 如果一个数的平方等于 9 ，这个数是多少？ 想一想： 3 和 -3 有什么特征？ 由于 ， 所以这个数是 3 或 -3 . 探究新知 3 和 -3 互为相反数，会不会是巧合呢 ? ( 1 ) 4 的平方等于 16 ，那么 16 的算术平方根就 是 _____. ( 2 ) 的 平方等于 ， 那么 的 算术平方 根就是 ____. ( 3 ) 展厅地面为正方形，其面积是 49 m 2 ，则其边 长为 ___m. 4 7 问题： 平方等于 16 ， ， 49 的数还有吗？ 探究新知 做一 做 , 想 一 想 : 写出左圈和右圈中的“？”表示的数： -11 11 0.6 0 没有 x 2 x 8 -8 4 3 4 3 - ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ -4 -0.6 64 121 0.36 0 探究新知 填一填，想一 想 : 根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定的数 . 我们抽象出下述 概念 ： 如 果 x 是正数 a 的一个平方根，那么 a 的平方根有且只有两个： x 与 -x . 即 平方根互为相反数 . 平方根的性质： 例如： ( ± 1 ) 2 = 1 ， 1 的平方根为 ± 1 . 　 探究新知 如果有一个数 x ，使得 x 2 = a ，那么我们把 x 叫作 a 的一个 平方根 ，也叫作 二次方根 . 1. 121 的平方根是什么？ 2. 0 的平方根是什么？ 4. -9 有没有平方根？为什么？ 0 没有，因为一个数的平方不可能是负 数 . 探究新知 3. 的平方根是什么？ 通过这些题目的解答，你能发现什么 ? 问题 ： （ 1 ）正数有几个平方根？ （ 2 ） 0 有几个平方根？ （ 3 ）负数呢？ 因为任何实数的平方都为非负数，所以 负数没有平方根 ， 也没有算术平方根 . 探究新知 有没有一个数的平方是负数？ 探究新知 归纳总结 平 方根的性质： 1. 正数 有 两 个平方根，两个平方 根 互 为相反数 . 2. 0 的平方根还是 0 . 3. 负数没有 平方根 . 例 1 求下列各数的平方根： ( 1 ) 100 ； ( 2 ) ； ( 3 ) 0.25 . 解 ： ( 1 ) ∵ (±10) 2 ＝ 100 ， ∴ 100 的平方根是 ±10 ； ( 3 ) ∵ (±0.5) 2 ＝ 0.25 ， ∴ 0.25 的平方根是 ±0.5 . ( 2 ) ∵ (± ) 2 ＝ ， ∴ 的平方根是 ± ； 探究新知 素养考点 1 求平方根 1. 判断下列说法是否正确： x 8 -8 - 16 0.36 （ 1 ） 0 的平方根是 0 ； （ ） （ 2 ） 1 的平方根是 1 ； （ ） （ 3 ） -1 的平方根是 - 1 ; （ ） （ 4 ） 0.01 是 0.1 的一个平方 根 . （ ） 　 2. 填表： √ × × × 64 64 +4 -4 +0.6 -0.6 巩固练习 根号 被开方数 根指数 可以省略 合 起来，一个正数 a 的平方根就用 “ ” 表示，（读作 “ 正、负根号 a ” ） 一 个正数 a 的正平方根，用 “ ” 表示，（读作 “ 根号 a ” ） . 又叫 a 的算术平方根 . a 的负平方根，用 “ ” 表示，（读作 “ 负根号 a ” ） . 探究新知 知识点 2 平方根的读法和表示 非负数 a 的平方 根表示为： 例如： 探究新知 5 的平方根表示为 4 的平方根表示为 的平方根表示为 0 的 平方根表示 为 : 规定 0 的平方根为 0. 例 2 分别求下列各数的平方根： 解 : 由于 因此 36 的平方根是 6 与 -6 . 36 是正数 （ 1 ） 36 ; 有两个平方根 即 探究新知 素养考点 1 利用平方根的表示求平方根 （ 2 ） ; （ 1 ） 36 ; （ 3 ） 1.21 有两个平方根 因此 的平方根是 与 . 有两个平方根 （ 3 ） 1.21 因此 1.21 的平方根是 1.1 与 -1.1 . 即 即 探究新知 解 : 由于 ， 解 : 由 于 ， （ 2 ） ; 3. 求下列各数的平方根： （ 1 ） 81 ； （ 2 ） ； （3） 0.49; 解： ( 1 ) ∵  (±9) 2 =81 ， ( 3 ) ∵ ( ± 0.7) 2 =0.49 ， ∴ 0.49 的平方根为 ±0.7 ． ∴81 的平方根为 ±9 ． 巩固练习 即 . （ 2 ） 的平方根是 ， 即 . 即 . +1 - 1 +2 - 2 +3 - 3 1 4 9 平方 已知一个数，求它的平方的运算，叫作 平方运算 . 知识点 3 平方与开方的关系 探究新知 +1 - 1 +2 - 2 +3 - 3 1 4 9 ？运算 反之，已知一个数的平方，求这个数的运算 是什么？ 求一个数 的平方根 的运算叫作 开平方 . 探究新知 开平方与平方是什么关系？ a 的平方根 底数 幂 被开方数 互为 逆运算 指数 根号 已知底数和指数求幂 已知幂和指数求底数 开平方运算 平方运算 探究新知 开平方 与 平方的对比 填空 正数与零 任何数 幂 平方根 开方 平方 运算符号 适用范围 运算结果名称 性质 正数有 个平方根,它们是 ,零的平方根是 , 负 数 . 正数的平方是 数; 零的平方是 ; 负数的平方是 数. 正 正 0 2 互为相反数 0 没有平方根 探究新知 1. 包含关系：平方根包含算术平方根，算 术平方 根是平方根的一种 . 平方根与算术平方根的联系与区别： 2. 只有非负数才有平方根和算术平方根 . 3. 0 的平方根是 0 ，算术平方根也是 0. 区别： 1. 个 数不同：一个正数有两个平方根， 但 只有一个算术平方根 . 联系： 探究新知 2. 表 示法不同：平方根表示为： 而算术平方根表示 为 . 例 3 　求下列各式的值： 解 ： （ 1 ） ； （ 2 ） ； （ 3 ） . 探究新知 素养考点 1 开平方的有关计算 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 4. 下列各式有意义吗 ？ ± （ 3 ） 5. 求下列各式的 值 . （4） 巩固练习 （ 1 ） （ 2 ） 有意义 有意义 有意义 无意义 1. （2019•桂林）9的平方根是（　　） A．3 B ．± 3 C．﹣3 D．9 2. （2019•台州）若一个数的平方等于5，则这个数等于　 ______ 　． 巩固练习 连接中考 B 1. 下列说法正确的是 _________ ① -3 是 9 的平方根 ; ② 25 的平方根是 5 ; ③ -36 的平方根是 -6 ; ④ 平方根等于 0 的数是 0 ; ⑤64 的算术平方根是 8 . ① B 2. 下列说法不正确的是 ______ A.0 的平方根是 0 B. 的平方根是 2 C. 非负数的平方根互为相反数 D. 一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数 基础巩固题 课堂检测 ④ ⑤ 3. 判 断下列说法是否正确 . 正确 . （4） ( -4 ) 2 的平方根是 -4. （1） 是 的一个平方根； （2 ） 是 6 的算术平方根 ； （3） 的值是 ±4； 正确 . 不正确， 是 4 . 不正确，是 ±4 . 课堂检测 基础巩固题 4. 求 下列各式的值： （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 课堂检测 解 : （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 基础巩固题 1 . a 的一个平方根是 3 ，则另一个平 方根是 　 ， a = . 2 . 81 的平方根是 __ _ _， 的算术平方根是 _ _ _ _ . 3 . 3 a -2 和 2 a -3 是一个正数的两个平方根，则这两个平方根是 _ _ _和_ _ _， 这个数是 _ _ _ . -3 9 3 1 -1 1 能力提升题 课堂检测 一 个正数的两个平方根分别是 2 a ＋ 1 和 a － 4 ， 求这个数． 解： 由于一个正数的两个平方根是 2 a ＋ 1 和 a － 4 ， 则有 2 a ＋ 1 ＋ a － 4 ＝ 0 ，即 3 a － 3 ＝ 0 ， 解 得 a ＝ 1 . 所以这个数为 (2 a ＋ 1) 2 ＝ (2 ＋ 1) 2 ＝ 9 . 拓广探索题 课堂检测 平方根 平方根的 概念 开平方及相关 运算 平方根的 性质 课堂小结 人教版 数学 七年级 下册 6.2 立方根 导入新知 某化工厂使用半径为 1 米的一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果要求它的体积必须是原来体积的 8 倍，那么它的半径应是原来储气罐半径的多少倍？ 1. 了解立方根的 概念 ，会 用开立 方运算求一个数的 立方根 . 2. 了解立方根的 性质 ，并学会用计算器计算一个数的立方根或立方根的 近似值 . 素养目标 3. 分清一个数的立方根与平方根的 区别 . 探究新知 知识点 1 立方根的概念和性质 观 察 二阶魔方由几个小立方体构成 _______ 8 个 三阶魔方由几个小立方体构成 _______ 四阶魔方由几个小立方体构成 _______ 27 个 64 个 探究新知 探究新知 如 果一个魔方由 27 个 小立 方体构成 , 它应该是几阶魔方 ? 解 : 设这个魔方为 x 阶 , 则 : x 3 = 27 因为 3 3 = 27 所以 x =3 即这个魔方为 3 阶魔方 . 什么数的立方等于 -27 ? 【 想 一 想 】 因为 3 的立方等于 27 , 那么 3 就叫做 27 的 立方根 . 因为 -3 的立方等于 -27 , 那么 -3 就叫做 -27 的立方根 . = － 27 探究新知 探究新知 立 方根的定义 一般地 ，如果一 个数的立方等于 a ，这个数就叫做 a 的 立方 根 或 三 次方根 ．记作　 　 . ３ 1. 如何表示一个数的立方根 ? 一个数 a 的立方根可以表示为 : 根指数 被开方数 读作 : 三次根号 a 其中 a 是被开方数， 3 是根指数， 3 不能省略 . ( ) 3 =1 ( ) 3 =8 ( ) 3 = ( ) 3 =0 ( ) 3 =-64 数 a 1 2 1 a 的立方根 8 1. 填一填 ： 0 -64 64 27 64 27 0 -4 0 -4 1 2 4 3 4 3 巩固练习 解： 探究新知 归纳总结 立方根的性 质： 一个 正数 有 一个正 的立方根； 一个 负数 有 一个负 的立方根， 零 的立方根是 零 . 注： 1. 立 方根是它本身的数有 1, -1, 0 ； 2. 平 方根是它本身的数 只有 0. ( 1 ) 27 ( 2 ) - 27 ( 3 ) ( 4 ) -0.064 ( 5 ) 0 解： ( 1 )∵ 　 ∴27 的立方根是 3 ， 即 . ( 2 ) ∵ ∴ -27 的立方根是 － 3, 即 . 探究新知 例 1 求 下列各数的立方根 . 素养考点 1 求一个数的立方根 ( 4 ) ∵ ∵ 0 3 =0 ( 5 ) 3 ( 3 ) ∵ 探究新知 ∴ 　 的 立方根 是 , 2. 判断下列说法是否正确 , 并说明理 由 . × ( 2 ) 25 的平方根是 5 ； ( 3 ) -64 没有立方 根； ( 4 ) -4 的平方根 是 ； ( 5 ) 0 的平方根和立方根都是 0 . √ ( 1 ) 的立方根 是 ； 巩固练习 × × × 你能从上述问题中总结出互为相反数的两个数 a 与 -a 的立方根的关系吗 ? a 3 - a 3 = -2 -2 = -3 -3 互为相反数的数的立方根也互为相反数 探究新知 因为 = , = 所以 因为 = , = 猜一猜 : 所以 规律： 对于任何数 a 都有 规律： 对于任何数 a 都有 2 -2 -3 4 0 8 － 8 27 -27 0 探究新知 类似开平方运算，求一个数的立方根的运算叫作“ 开立方 ” . 提示： “开立方”与“立方”互为逆运 算 . 探究新知 知识点 2 立方根的有关计算 立方 开立方 27 － 27 125 － 125 ＋ 3 － 3 ＋ 5 － 5 例 2 求下列各式的值： 探究新知 素养考点 1 立方根的计算 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 2 ） 解： （ 1 ） （ 3 ） 3. 求下列各式的值： 巩固练习 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 解 ： （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 平方根 立方根 性 质 正数 0 负数 表示方法 被开方数的范围 两个，互为相反数 一个，为正数 0 0 没有平方根 一个，为负数 平方根与立方根的区别和联系 可以为任何数 非负数 探究新知 例 3 用 计算器求下列各数的立方根： 343 ， -1.331. 解： 依次按键： 显 示： 7 所 以 2ndF 4 3 3 = 依次按键： 显示： -1.1 所 以 2ndF 1 - . 3 1 3 = 由 于 一个数的立方根可能是无限不循环小数 , 所以我们可以 利用计算器求一个数的立方根或它的近似值 . 不同的计算器的按键方 式可 能有所差别！ 知识点 3 探究新知 利用计算器求立方根 4. 用计算器 求 的近似值（精确到 0.001 ） . 解 ： 依次按键： 显示： 1.259 921 05 所以， 2ndF = 2 巩固练习 用计算器计器 ... ， ， ， ， … ，你能发现什么规律？用计算器计算 精确到 0.001 ），并利用你发现的规律求 ， ， 的近似值 . = 6 = 0.6 = 0.06 = 60 提示 ： 被开方数的小数点向左或向右移 动 3 n 位 时，立 方根的 小数点就相应的向左或向 右移动 n 位 （ n 为正 整数） . 探究新知 1. （ 2019• 济宁）下列计算正确的是（　　） A ． ＝﹣3 B． C． D． 2. ( 201 9 ·大庆)有理数 -8 的立方根为（ ） A. -2 B. 2 C. D.   巩固练习 连接中考 D A 3. 一个数的平方等于 64 ， 则这个数的立方根是 _ _______. 1. -27 的立方根是（ ） A.3 B.-3 C. D. B D 2 或 -2 课堂检测 基础巩固题 2. 要使 ， k 的取值为（ ） A .k≤ 3 B .k≥ 3 C . 0 ≤k≤ 3 D . 一切实数 4. 比较下列各组数的大小 . （ 1 ） 与 2.5 ; （ 2 ） 与 . 解 ： 因 为 = 9 2.5 3 = 15.625 所以 9 < 15.625 所以 < 2.5 因为 = 3 所 以 3 < 所 以 < 课堂检测 基础巩固题 （ 1 ） （ 2 ） 将 体积分别为 600cm 3 和 129cm 3 的长方体铁块，熔成一个正方体铁块，那么这个正方体的棱长是多少？ 解 : ∵ 600+129=729 729 的立方根是 9 ， ∴ 正 方体的棱长为 9cm . 答： 这个正方体的棱长为 9cm . 能力提升题 课堂检测 若 = 2 ， =4 ， 求 的值 . 解： ∵ =2 ， =4 . ∴ x = 2 3 ， y 2 = 16, ∴ x = 8 ， y = ±4 . ∴ x + 2 y = 8 + 2×4 = 16 或 x + 2 y = 8 – 2×4 = 0. ∴ = = 4 或 = = 0 . 拓广探索题 课堂检测 性质 定义 正数的立方根是 正数 ， 负数的立方根是 负数 ； 0 的立方根是 0 . 被开方数的小数点向左或向右移动 3 n 位 时立方根的小数点就相应的向左或向右移动 n 位 （ n 为正整数） . 用计算器计算 立方根 课堂小结 6.3 实数 第一课时 第二课时 人教版 数学 七年级 下册 实数的概念、分类、与数轴的关系 第一课时 返回 　　 毕达哥拉斯有一句名言，叫做“万物皆数”，他把数的概念神秘化了，错误地认为：宇宙间的一切现象，都可以归结为整数或者整数的比；除此之外，就不再有别的什么东西了．　　有一天，毕达哥拉斯的一个学生找到了一种既不是整数，又不是整数之比的怪东西．这个学生叫希伯斯，他研究了一个边长为 1 的正方形，发现这个正方形对角线的长度 是 ． 1 1 导入新知 　　　 既不是整数，也不是整数的比．他很惶惑：根据老师的看法，这应该是世界上根本不存在的东西呀！希伯斯把这件事告诉了老师 ． 　　 毕达哥拉斯无法解释这种怪现象，又不敢承认它是一种新的数，因为他的全部“宇宙”理论，都奠基在整数的基础上．他下令封锁消息，不准希伯斯再谈论，并且警告说，不要忘记了入学时立下的誓言． 导入新知 　　 希伯斯很不服气 ．他 想，不承 认这是数，岂不等于是说正方形的对 角线没有长度吗 ？为 了坚持真理 ， 捍 卫真理， 希伯 斯将自己的发现传 扬 了 开去． 直到 最近几百年，数学家 们 才 弄清楚 ，它 确实不是整数，也不 是 分 数， 而是 一种新的数，那是什么呢？ 导入新知 1. 了解 实数 的意义，并能将实数按要求进行准确的 分类 . 2. 熟练掌握实数 大小的比较方法 . 素养目标 3. 了解实数和数轴上的点 一一对应 ， 能用数轴上的点表示无理数 . （ 1 ）请把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？任何有理数都能写成有限小数和无限循环小数吗？ （ 2 ）请用计算器把 和 写成小数的形式，你有什么发现？像这样的数我们把它叫什么数？你还能说出一些这样的数吗？ 探究新知 知识点 1 实数的概念和分类 事实上，任何一个有理数都可以写成 有限小数 或 无限循环小数 . 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是 有理 数 . 探究新知 无限不循环的小数 ---------- 叫做 无理数 . 你能举出一些无理数吗？ 0.1010010001… 〔 两个 1 之间依次多 1 个 0 〕 － 168.3232232223 … 〔两个 3 之间依次多 1 个 2 〕 探究新知 =1.41421356237309504880168… =1.70997594667669698935310 … 【 思考 】 我 们将有理数和无理数统称为 实数 ，仿照 有理 数的分类，据 此你能给实数分类吗？ 无理数： 无限不循环小数 有理数： 有限小数 或 无限循环小数 实 数 （ 1 ） 按定义分 分数 整数 女孩子 男孩子 妈妈 含开方开不尽的数 有规律但不循环的小数 含 有 π 的 数 探究新知 负 实数 正 实数 数实 正有理数 负有理数 （ 2 ） 按性质分 0 正无理数 负无理数 探究新知 （ 相邻两个 3 之间的 7 的个数逐次加 1 ） 有理数集合 无理数集合 1. 把 下列各数分别填入相应的集合内： 巩固练习 无理数： 有理数： 负实数： 正实数： 例 1 将下列各数分别填入下列相应的括号内： 探究新知 素养考点 1 实数的分类 2. 把下列各数填入相应的集合内： （ 1 ）有理数集合： （ 2 ）无理数集合： （ 3 ）整数集合： （ 4 ）负数集合： （ 5 ）分数集合： （ 6 ）实数集合： 巩固练习 如图，直径 为 1 个 单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到 达 A 点 ，则 点 A 的 坐标为多少？ -4 -2 0 1 2 3 4 -1 -3 无 理数 可以用数轴上的点来表示 . A 问题 1 无 理数能在数轴上表示出来吗？ 探究新知 知识点 2 实数与数轴的关系 － 2 － 1 0 1 2 - 问题 2 （ 1 ） 你 能在数轴上表示出 吗？ 探究新知 （ 2 ）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数 轴能填 满吗？ － 2 － 1 0 1 2 B A C 在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数 大 . 数轴上的点有些 表示有理数，有 些表示无理数 . 探究新知 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实 数 . 即 实数和数轴上的点是 一一对应 的 . 例 2 如 图所示，数轴上 A ， B 两点表示的数分别为 -1 和 ，点 B 关于点 A 的对称点为 C ，求点 C 所表示的实数． 解： ∵数轴上 A ， B 两点表示的数分别为 -1 和 ， ∴点 B 到点 A 的距离为 1 ＋ ，则点 C 到点 A 的距离为 1+ ， 设点 C 表示的实数为 x ，则点 A 到点 C 的距离为 -1- x ， ∴ -1- x ＝ 1 ＋ ， ∴ x ＝ -2- 探究新知 素养考点 1 求数轴上的点表示的实数值 A B -1 0 3. 如果 以 2 为 边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示 ______ ，与负半轴的交点就表示 ________. 4. 请将图中数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来： ， -1.5 ， ， ， 3 解： 点 A 、 B 、 C 、 D 、 E 分别对应 _____ 、 ___ 、 ___ 、 ___ 、 ___. 4 3 巩固练习 -1.5 C D E A B 与有理数一样，实数也可以比较大小： 与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大 . 原点 0 正实数 负实数 < 正数大于零，负数小于零，正数大于负数 ； 与有理数一样，在实数范围内： 探究新知 知识点 3 实数大小的比较 ， 2可以分别看作是面积为5，4的正方形的边长，容易说明：面积较大的正方形，它的边长也较大，因此 同样，因为5<9，所以 不用计算器， 与 2 比较哪个大？与 3 比较 呢？ 探究新知 例 3 在数轴上表示下列各点，比较它们的大小， 并用 “ < ” 连接它们 . - 2 - 1 0 1 2 3 1 - 2 探究新知 素养考点 1 比较实数的大小 解 : -2< < 1< < 5. 试在数轴上标出 π, , 的大致位置,并借助数轴比较它们的大小. 解析 ： 因为 π ≈ 3.14 , ≈-2.24, ≈1.73 ,所以可以近似地标出它们在数轴上的位置,如图(其中点 A 表示π,点 B 表示 ,点 C 表示 ). 巩固练习 因为数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数,所以可知 < < π . （2019•宜昌）如图， A ， B ， C ， D 是数轴上的四个点，其中最适合表示无理数π的点是（　　） A．点 A B ．点 B C ．点 C D ．点 D 巩固练习 连接中考 D C D A B 4 3 2 1 0 -1 -2 1. 判断 对错 （ 1 ）实数不是有理数就是无理数 . （ ） （ 2 ）无理数都是无限不循环小数 . （ ） （ 4 ）无理数都是无限小数 . （ ） （ 3 ）带根号的数都是无理数 . （ ） （ 5 ）无理数一定都带根号 . （ ） × × 基础巩固题 课堂检测 2. 下列说法正确的是（ ） A . a 一定是正实数 B . 是有理数 C . 是有理数 D . 数轴上任一点都对应一个 有理数 B 课堂检测 基础巩固题 3. 有一个数值转换器，原理如下，当输 x =81 时，输出 的 y 是（ ） 输入 x 取算术平方根 是无理数 输出 y 是有理数 A . 9 B . 3 C . D . ±3 C 课堂检测 基础巩固题 4. 你能分辩下列各数是哪个家庭的成员吗 ? 试试看？ ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 正数 负数 课堂检测 基础巩固题 比较下列各组数的大小 ： 解 ： （ 1 ）因为 12 < 4 2 ， 所以 < 4 ， 所以 － 1 < 3 ； （ 2 ）因为 10 > 3 2 ， 所以 所以 能力提升题 课堂检测 （ 1 ） 与 3; （ 2 ） 与 -3. 如 图所示， 数轴上 A ， B 两点表示的数分别为 和5.1，点 A 关于原点的对称点是 C , 则 B ， C 两点之间表示整数的点共有 (　　 ) A． 7 个 B． 6 个 C． 5 个 D． 4 个 解析： ∵ ≈ - 1.414， ∴ 和5.1之间的整数有 -1,0,1, 2，3，4，5， ∴ B ， C 两点之间表示整数的点共有 7 个． A 拓广探索题 课堂检测 实数 无理数的概念 实数的 概念 实数的 分类 实数的 数轴表示 实数的 大小比较 课堂小结 实数的性质和运算 第二课时 返回 只有符号不同的两个数 , 其中一个是另一个的相反数 . ① 相反数 ② 绝对值 数轴上表示数 a 的点到原点的距离叫做数 a 的绝对值 , 用︱ a ︱表示 . ③ 倒数 如果两个数的积是 1, 则这两个数互为倒数 . 【 讨论 】 无 理数也有相反数吗？怎么表示？有绝对值吗？怎么表示？有倒数吗？怎么表示？ 导入新知 2. 知道有理数的 运算律 和运算性质同样适合于实数的运算 . 1. 理解在实数范围内的 相反数、倒数、绝对值 的意义 . 素养目标 3. 掌握实数的 运算法则 ，熟练地利用计算器去解决有关实数的运算问题 . 你能解答下列问题吗？ （ 1 ） 的 相反数是 ， 的 相反数是 ， 0 的相反数是 ； （ 2 ） ＝ ， ＝ ， ＝ ． 探究新知 知识点 1 实数的性质 0 0 结 合有理数相反数和绝对值的意义 ，你 能说说实数关于相反数和绝对值的意义吗？ 数 a 的相反数 是 - a . 一个 正实数 的绝对 值是它 本身 ； 一个 负实数 的绝对 值是它的 相反数 ； 0 的绝对值是 0 ． 探究新知 例 1 （ 1 ）分别写出 的相反数； （ 2 ）指出 分别是 什么数的相反数； （ 3 ）求 的绝对值； （ 4 ）已知一个数的绝对值是 ，求这个数． 探究新知 素养考点 1 实数性质的应用 （ 1 ） 的相反数是 ； 的相反数是 ． （ 2 ） 的相反数是 ； 的 相反数是 ． （ 3 ） 的绝对值是 4 ． （ 4 ） 绝对值是 的数是 或 ． 解 : 3.14-π 1. 分别求下列各数的相反数和绝对值． 解： ( 1 )∵ ＝ -3 ， ∴ 的相反数是 3 ，绝对值是 3 . ( 2 )∵ =15 ， ∴ 的相反数是 -15 ，绝对值是 15 . ( 3 ) 的相反数是 － ，绝对值是 . 巩固练习 （ 2 ） （ 3 ） （ 1 ） 填空： 设 a ， b ， c 是任意实数，则 （ 1 ） a+b = （加法交换律）； （ 2 ） ( a+b )+ c = （加法结合律）； （ 3 ） a+ 0 = 0 +a = ； （ 4 ） a+ ( -a ) = ( -a ) +a = ； （ 5 ） ab = （乘法交换律）； （ 6 ） ( ab ) c = （乘法结合律）； b+a a+ ( b + c ) a 0 ba a ( bc ) （ 7 ） 1 · a = a · 1 = ； a 探究新知 知识点 2 实数的运算 （ 8 ） a ( b+c ) = （乘法对于加法的分配律）， ( b+c ) a = （乘法对于加法的分配律）； （ 9 ）实数的减法运算规定为 a - b = a + ； （ 10 ）对于每一个非零实数 a ，存在一个实数 b ， 满足 a · b = b · a =1 ，我们把 b 叫作 a 的＿＿＿； （ 11 ）实数的除法运算（除数 b ≠0 ），规定为 a ÷ b = a· ； （ 12 ）实数有一条重要性质：如果 a ≠ 0 ， b ≠ 0 ， 那么 ab ＿＿＿ 0 . ab+ac ba+ca ( -b ) 倒数 ≠ 探究新知 探究新知 归纳总结 实数的平方根与立方根的性质： 此外， 前面所学的有关数、式、方程的性质、法则和解法，对于实数 仍然成立 . 1. 每 个正实数有且只有两个平方根，它们互为 相反数 . 0 的平方根是 0 . 2. 在 实数范围内， 负实数 没有平方根 . 3. 在 实数范围内，每个实数有且只有 一个立方根 ， 而且与它本身的符号相同 . 例 2 计 算下列各式的值： 探究新知 素养考点 1 实数的运算 解 : （ 2 ） （ 2 ） （ 1 ） （ 1 ） 2. 计算下列各式的值： 巩固练习 （ 1 ） （ 2 ） 解 : （ 1 ） （ 2 ） 巩固练习 （ 3 ） （ 4 ） 解 : （ 3 ） （ 4 ） 例 3 计算（结果保留小数点后两位）： 总结 ： 在实数运算中，如果遇到无理数，并且 需要求出结果的近似值 时，可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数，再进行计算 . 探究新知 素养考点 2 取实数运算的近似值 ( 1 ) ( 2 ) 解 : （ 1 ） （ 2 ） （ 2 ） （结果保留 3 位小数）． （ 1 ） （精确到 0.001 ）； 3. 计算： 巩固练习 解 : （ 1 ） （ 2 ） ≈ 2.8284 － 2.1544 ＝ 0.6740 ≈ 15 － 2× （ 5 ＋ 2.236 ） ＝ 15 － 2×7.236 ＝ 15 － 14.472 ＝ 0.528 1. （2019•湘西州）下面是一个简单的数值运算程序，当输入 x 的 值为16时，输出的数值为 ____ ．（用科学计算器计算或笔算）． 巩固练习 连接中考 2. （ 2019 •宁夏）下列各式中正确的是（　　） A． B ． C ． D ． 3 D 1. 下列各数中，互为相反数的是 ( ) A . 3 与 B. 2 与 C . 与 D . 5 与 C 2 . 的值是 ( ) A . 5 B. -1 C. D. C 4 . 是 的相反数 ;2π-6.28 的相反数是 . 6.28-2π ＞ ＜ 3. 比较大小：（1 ） ; （ 2 ） 4. 基础巩固题 课堂检测 5 ． 计算： 课堂检测 （ 1 ） （ 2 ） 基础巩固题 ＝ － 4 ＝ 0 ＝ 15 － 15 课堂检测 ( 3 ) ( 4 ) 基础巩固题 ＝ 15 － 14 ＋ 4 ＝ 5 ＝－ 8×2 － 9 ＋ 4 ＝－ 21 的 整数部分与小数部分的差是多少 ？ （ 结果保留 3 位小数） 整数部分： 1 小数部分： 解： 整数部分与小数部分的差是： 能力提升题 课堂检测 实 数 a 、 b 、 c 在数轴上的对应点如图所示，其中点 c 是点 a 与点 b 的中点． 0 c b a 试化简： 解： 拓广探索题 课堂检测 解： ＝－ a － b － c － c+ b ＝－ a － 2 c ＝－ ( a + b ) + ( － c ) － ( c － b ) 实数 在实数范围内，相反数 、绝对值、 倒数的意义和有理数范围内的相反数 、绝对值 、倒数的 意义完全一样 . 实数的运算 实数的 运算律 用 计算器 计算 课堂小结