人教版七年级数学下册期考经典题型汇总：列二元一次方程组解应用题（附答案与全解全析） 28页

人教版七年级数学下册期考经典题型汇总：列二元一次方程组解应用题 知识网络 重难突破 知识点一 列二元一次方程组解应用题 列二元一次方程组解应用题的一般步骤：‎ 1. 审：审题，明确各数量之间的关系。‎ 2. 设：设未知数 3. 找：找题中的等量关系 4. 列：根据等量关系列出两个方程，组成方程组 5. 解：解方程组，求出未知数的值 6. 答：检验方程组的解是否符合题意，写出答案。‎ 题型一 二元一次方程组的应用 - 方案问题 典例1 （2020·监利县期中）1400元奖金要分给22名获奖员工，其中一等奖每人200元，二等奖每人50元。试问经理，该怎样分发这1400元奖金？‎ 变式1-1（2018·大石桥市期末）已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨;用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨.某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物.根据以上信息，解答下列问题：‎ ‎①1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？‎ ‎②请你帮该物流公司设计租车方案．‎ ‎ 28 / 28‎ 变式1-2（2019·贵港市期末）某中学组织学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知45座客车每日每辆租金为220元，60座客车每日每辆租金为300元．试问：‎ ‎（1）春游学生共多少人，原计划租45座客车多少辆？‎ ‎（2）若租用同一种车，要使每位同学都有座位，怎样租车更合算．‎ 题型二 二元一次方程组的应用 – 行程问题 典例2（2018·广州市期末）从甲地到乙地的路有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地用54分钟，从乙地到甲地用42分钟，甲地到乙地的全程是多少．‎ 变式2-1（2020·辉县市期中）一列快车长230米，一列慢车长220米，若两车同向而行，快车从追上慢车时开始到离开慢车，需90秒钟；若两车相向而行，快车从与慢车相遇时到离开慢车，只需18秒钟，问快车和慢车的速度各是多少？‎ 变式2-2（2019·许昌市期末）为提高学生综合素质，亲近自然，励志青春，某学校组织学生举行“远足研学”活动，先以每小时6千米的速度走平路，后又以每小时3千米的速度上坡，共用了3小时；原路返回时，以每小时5千米的速度下坡，又以每小时4千米的速度走平路，共用了4小时，问平路和坡路各有多远.‎ 题型三 二元一次方程组的应用 – 工程问题 典例3（2020·甘南县期中）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：‎ ‎(1)甲，乙两组工作一天，商店各应付多少钱?‎ ‎(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少?‎ ‎(3)若装修完后，商店每天可贏利200元，你认为如何安排施工更有利于商店?请你帮助商店决策.(可用(1)(2)问的条件及结论)‎ 变式3-1（2020·成都市期末）某汽车制造厂生产一款电动汽车，计划一个月生产200辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．‎ ‎（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？‎ ‎（2）若工厂现在有熟练工人30人，求还需要招聘多少新工人才能完成一个月的生产计划？‎ 变式3-2（2019·成都市 ‎ 28 / 28‎ 期末）某工程队承包了某标段全长1755米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进0．6米，经过5天施工，两组共掘进了45米．‎ ‎（1）求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米?‎ ‎（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进0．2米，乙组平均每天能比原来多掘进0．3米．按此旄工进度，能够比原来少用多少天完成任务?‎ 题型四 二元一次方程组的应用 – 数字问题 典例 4（2019·靖远县期末）一个两位数，个位数字与十位数字的和为8，个位数字与十位数字互换位置后，所得的两位数比原两位数小18，则原两位数是多少？‎ 变式4-1（2020·海淀区期末）小明和小亮做加减法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242，而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341。原来两个加数是多少？‎ 变式4-2（2020·阳谷县期中）列二元一次方程组解应用题.‎ 已知一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字的和为12，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小18，求原来的两位数．‎ 题型五 二元一次方程组的应用 – 年龄问题 典例5（2019·南阳市期中）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话：‎ 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄．‎ 变式5-1（2020·江北市期末）4月9日上午8时，2017 徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：‎ 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.‎ 变式5-2（2019·绍兴市期末）师生对话，师：我像你这么大的时候，你才1岁，你到我这样大的时候，我已经40岁了，问老师和学生现在各几岁？‎ 题型六 二元一次方程组的应用 – 分配问题 ‎ 28 / 28‎ 典例6（2020·许昌市期末）某校的大学生自愿者参与服务工作,计划组织全校自愿者统一乘车去某地．若单独调配座客车若干辆,则空出个座位,若只调配座客车若干辆,则用车数量将增加辆,并有人没有座位．‎ ‎(1)计划调配座客车多少辆?该大学共有多少名自愿者?(列方程组解答)‎ ‎(2)若同时调配座和座两种车型,既保证每人有座,又保证每车不空座,则两种车型各需多少辆?‎ 变式6-1（2020·宁波市期中）某铁件加工厂用如图所示的长方形和正方形铁片(长方形的宽与正方形的边长相等)加工成如图．所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．(加工时接缝材料不计)‎ ‎(1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各 1 个，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张． ‎ ‎(2)现 有长方形铁片 2017 张，正方形铁片 1178 张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ ‎ ‎(3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用 35 张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成 3 个长方形铁片或 4 个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出 1 个长方形铁片和 2 个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，则最多可以加工成多少个铁盒？‎ 变式6-2（2019·泉州市期中）根据小敏、小聪、小东、小强四人的对话内容，请你设计一下，分别安排多少立方米木料做桌面，多少立方米木料做桌腿，才能使得生产出来的桌面和桌腿及库存的桌腿恰好全部配套？‎ ‎ 28 / 28‎ 题型七 二元一次方程组的应用 – 销售、利润问题 典例7（2019·绍兴市期中）现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品用了160元．求A，B两种商品每件各是多少元？‎ 变式7-1（2020·锦州市期末）某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，计划购买黑白两种颜色的文化衫进行手绘设计后出售，并将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4800元购买了 黑白两种颜色的文化衫200件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：‎ 批发价(元)‎ 零售价(元)‎ 黑 色 文化衫 ‎25‎ ‎45‎ 白 色 文 化 衫 ‎20‎ ‎35‎ ‎(1)学校购进黑.白文化衫各几件？‎ ‎(2)通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润．‎ 变式7-2（2019·嘉兴市期中）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．‎ ‎（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？‎ ‎（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？‎ 题型八 二元一次方程组的应用 – 和差倍分问题 典例8（2019·泰安市期末）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且每买1张办公桌必须买2把椅子，椅子每把100元，若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费24000元；购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费2000元．求甲、乙两种办公桌每张各多少元？‎ 变式8-1（2018·鞍山市期末）某停车场的收费标准如下：小型汽车10元/辆，中型汽车15元/辆，现停车场共有50辆中、小型汽车，共缴纳停车费560元，中、小型汽车各有多少辆？‎ 变式8-2（2019·烟台市期中）某快递公司有甲、乙两个仓库，各存有快件若干件，甲仓库发走80件后余下的快件数比乙仓库原有快件数的2倍少700件；乙仓库发走560件后剩余的快件数比甲仓库余下的快件数的还多210件．求甲、乙两个仓库原有快件各多少件．‎ 题型九 二元一次方程组的应用 – 几何问题 ‎ 28 / 28‎ 典例9（2018·合肥市期中）“光明”中学为了改善校园建设，计划在长方形的校园中间修一个正方形的花坛，预计正方形花坛的边长比场地的长少10米，比它的宽少8米，并且场地的总面积比花坛的面积大116平方米，求长方形的长和宽．‎ 变式9-1（2019·泉州市期末）如图，用10块相同的小长方形地砖拼成一个宽是60厘米的大长方形，用列方程或方程组的方法，求每块小长方形地砖的长和宽分别是多少厘米?‎ 变式9-2（2020·渭南市期末）某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园，准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示，计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元，请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？‎ 题型十 二元一次方程组的应用 – 表格或图示问题 典例10（2019·长春市期末）五月份的第二个星期天是母亲节．如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，根其图中提供信息，求每束鲜花和每个礼盒的价格．‎ 变式10-1（2018·南阳市期末）芳芳妈对家里的经济收支情况有记帐的好习惯．下表记录的是她家2018年第一季度水表、电表的读表数和所缴水电费的情况：‎ 时间(月份)‎ 水表读数(吨)‎ 电表读数(度)‎ 水电费(元)‎ ‎2018.1‎ ‎528‎ ‎1235‎ ‎65‎ ‎2018.2‎ ‎538‎ ‎1265‎ ‎59‎ ‎2018.3‎ ‎558‎ ‎1305‎ ‎102‎ ‎ 28 / 28‎ ‎(1)请你根据表中提供的信息求出水、电的收费单价(即每吨水的收费标准和每度电的收费标准)；‎ ‎(2)今年4月份芳芳家水表读数为574(吨)，电表读数为1340(度)，那么芳芳家本月水电费应缴多少元？‎ 变式10-2（2019·濮阳市期中）为鼓励居民节约用电，我市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时（含180千瓦时）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时（含450千瓦时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，执行市场调节价格． 我市一位同学家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知我市的一位居民今年4、5月份的家庭用电量分别为160和 410千瓦时，请你依据该同学家的缴费情况，计算这位居民4、5月份的电费分别为多少元?‎ 题型十一 二元一次方程组的应用 – 古代问题 典例11（2019·龙岩市期末）《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题．如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问买鸡的人数、鸡的价格各是多少.请解答上述问题．‎ 变式11-1（2018·南充市期末）“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问笼中各有几只鸡和兔？‎ 变式11-2（2019·怀柔区期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、鸡价各几何？”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出8钱，多余3钱，每人出7钱，还缺4钱．问人数和鸡的价钱各是多少？”请列方程组解决此问题．‎ 题型十二 三元一次方程组的应用 典例12（2019·杭州市期中）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：‎ 营业员A：月销售件数200件，月总收入3400元；‎ 营业员B：月销售件数300件，月总收入3700元；‎ 假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖动y元．‎ ‎ 28 / 28‎ ‎(1)求x和y的值；‎ ‎(2)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服袋1件共需390元：如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元?‎ 变式12-1（2019·邢台市期中）小红在学校商店买了3支钢笔，1本练习本，2支中性笔共花13元，小颖买了2支钢笔，4本练习本，3支中性笔共花17元，小明打算在该商店买20支钢笔，20本练习本，20支中性笔寄给四川地震灾区的小朋友，他只有120元的压岁钱，请你帮他算一下，他的钱够吗？‎ 变式12-2（2019·黄冈市期中）某工程由甲乙两队合做6天完成，厂家需付甲乙两队共16800元；乙丙两队合做10天完成，厂家需付乙丙两队共17000元；甲丙两队合做7．5天完成，厂家需付甲丙两队共15750元.‎ ‎（1）求甲、乙、丙三队每天工钱各多少元？‎ ‎（2）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？‎ ‎（3）若要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？‎ ‎ 28 / 28‎ 人教版七年级数学下册期考经典题型汇总：列二元一次方程组解应用题 知识网络 重难突破 知识点一 列二元一次方程组解应用题 列二元一次方程组解应用题的一般步骤：‎ 1. 审：审题，明确各数量之间的关系。‎ 2. 设：设未知数 3. 找：找题中的等量关系 4. 列：根据等量关系列出两个方程，组成方程组 5. 解：解方程组，求出未知数的值 6. 答：检验方程组的解是否符合题意，写出答案。‎ 题型一 二元一次方程组的应用 - 方案问题 典例1 （2020·监利县期中）1400元奖金要分给22名获奖员工，其中一等奖每人200元，二等奖每人50元。试问经理，该怎样分发这1400元奖金？‎ ‎【答案】一等奖2人，二等奖20人 ‎【详解】‎ 解：设一等奖x人，二等奖y人，由题意可得：‎ ‎，‎ ‎ 28 / 28‎ 解得：，‎ 答：一等奖2人，二等奖20人即可分发这1400元奖金．‎ 变式1-1（2018·大石桥市期末）已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨;用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨.某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物.根据以上信息，解答下列问题：‎ ‎①1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？‎ ‎②请你帮该物流公司设计租车方案．‎ ‎【答案】（1）1辆A型车一次可运货3吨，一辆B型车一次可运货4吨；（2）三种方案：①A型车1辆；B型车7辆；②A型车5辆；B型车4辆；③A型车9辆；B型车1辆．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨，y吨，‎ 根据题意得：，解得：．‎ 答：1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨．‎ ‎（2）由题意可得：3a+4b=31，‎ ‎∴b=．‎ ‎∵a，b均为整数，‎ ‎∴有、和三种情况．‎ 故共有三种租车方案，分别为：①A型车1辆，B型车7辆；‎ ‎②A型车5辆，B型车4辆；③A型车9辆，B型车1辆．‎ 变式1-2（2019·贵港市期末）某中学组织学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知45座客车每日每辆租金为220元，60座客车每日每辆租金为300元．试问：‎ ‎（1）春游学生共多少人，原计划租45座客车多少辆？‎ ‎（2）若租用同一种车，要使每位同学都有座位，怎样租车更合算．‎ ‎【答案】（1）春游学生共240人，原计划租45座客车5辆；（2）租用4辆60座客车更合算．‎ ‎ 28 / 28‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设参加春游的学生共x人，原计划租用45座客车y辆．‎ 根据题意，得 ‎，‎ 解这个方程组，得 ‎．‎ 答：春游学生共240人，原计划租45座客车5辆；‎ ‎（2）租45座客车：240÷45≈5.3（辆），所以需租6辆，租金为220×6=1320（元），‎ 租60座客车：240÷60=4（辆），所以需租4辆，租金为300×4=1200（元）．‎ 答：租用4辆60座客车更合算．‎ 题型二 二元一次方程组的应用 – 行程问题 典例2（2018·广州市期末）从甲地到乙地的路有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地用54分钟，从乙地到甲地用42分钟，甲地到乙地的全程是多少．‎ ‎【答案】3.1‎ ‎【详解】‎ 解：设从甲地到乙地的上坡路为xkm，平路为ykm， ‎ 依题意得， ‎ 解之得，‎ ‎∴x+y=3.1km， ‎ 答：甲地到乙地的全程是3.1km．‎ 变式2-1（2020·辉县市期中）一列快车长230米，一列慢车长220米，若两车同向而行，快车从追上慢车时开始到离开慢车，需90秒钟；若两车相向而行，快车从与慢车相遇时到离开慢车，只需18秒钟，问快车和慢车的速度各是多少？‎ ‎ 28 / 28‎ ‎【答案】快车的速度是15米/秒，慢车的速度是10米/秒.‎ ‎【详解】‎ 设快车的速度是x米/秒，慢车的速度是y米/秒，‎ ‎，‎ 解得，‎ 答：快车的速度是15米/秒，慢车的速度是10米/秒.‎ 变式2-2（2019·许昌市期末）为提高学生综合素质，亲近自然，励志青春，某学校组织学生举行“远足研学”活动，先以每小时6千米的速度走平路，后又以每小时3千米的速度上坡，共用了3小时；原路返回时，以每小时5千米的速度下坡，又以每小时4千米的速度走平路，共用了4小时，问平路和坡路各有多远.‎ ‎【答案】平路有千米，坡路有千米 ‎【详解】‎ 解：设平路有x千米，坡路有y千米.‎ 由题意可知 解得 答：平路有千米，坡路有千米 题型三 二元一次方程组的应用 – 工程问题 典例3（2020·甘南县期中）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：‎ ‎(1)甲，乙两组工作一天，商店各应付多少钱?‎ ‎(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少?‎ ‎(3)若装修完后，商店每天可贏利200元，你认为如何安排施工更有利于商店?请你帮助商店决策.(可用(1)(2)问的条件及结论)‎ ‎【答案】（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付300元和140元；（2）单独请乙组需要的费用少；（3）甲乙合作施工更有利于商店.‎ ‎【详解】‎ ‎ 28 / 28‎ 解：(1)设：甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店付y元.‎ 由题意得：‎ 解得：‎ 答：甲、乙两组工作一天，商店各应付300元和140元 ‎(2)单独请甲组需要的费用：300×12=3600元.‎ 单独请乙组需要的费用：24×140=3360元.‎ 答：单独请乙组需要的费用少.‎ ‎(3)请两组同时装修，理由：‎ 甲单独做，需费用3600元，少赢利200×12=2400元，相当于损失6000元；‎ 乙单独做，需费用3360元，少赢利200X24=4800元，相当于损失8160元；‎ 甲乙合作，需费用3520元，少赢利200×8=1600元，相当于损失5120元；‎ 因为5120<6000<8160，所以甲乙合作损失费用最少，‎ 答：甲乙合作施工更有利于商店.‎ 变式3-1（2020·成都市期末）某汽车制造厂生产一款电动汽车，计划一个月生产200辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．‎ ‎（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？‎ ‎（2）若工厂现在有熟练工人30人，求还需要招聘多少新工人才能完成一个月的生产计划？‎ ‎【答案】（1）每名熟练工每月可以按装4辆电动汽车，每名新工人每月可以按装2辆电动汽车；（2）40名 ‎【详解】‎ 解：（1）设每名熟练工每月可以按装x辆电动汽车，每名新工人每月可以按装y辆电动汽车，‎ 依题意，得：，‎ 解得：．‎ 答：每名熟练工每月可以按装4辆电动汽车，每名新工人每月可以按装2辆电动汽车．‎ ‎ 28 / 28‎ ‎（2）设还需要招聘m名新工人才能完成一个月的生产计划，‎ 依题意，得：4×30+2m＝200，‎ 解得：m＝40．‎ 答：还需要招聘40名新工人才能完成一个月的生产计划．‎ 变式3-2（2019·成都市期末）某工程队承包了某标段全长1755米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进0．6米，经过5天施工，两组共掘进了45米．‎ ‎（1）求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米?‎ ‎（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进0．2米，乙组平均每天能比原来多掘进0．3米．按此旄工进度，能够比原来少用多少天完成任务?‎ ‎【答案】（1）甲班组平均每天掘进4.8米，乙班组平均每天掘进4.2米；‎ ‎（2）少用10天完成任务．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设甲、乙班组平均每天掘进x米，y米，‎ 得，解得．‎ ‎∴甲班组平均每天掘进4.8米，乙班组平均每天掘进4.2米．‎ ‎（2）设按原来的施工进度和改进施工技术后的进度分别还需a天，b天完成任务，则 a=（1755﹣45）÷（4.8+4.2）=190（天）‎ b=（1755﹣45）÷（4.8+0.2+4.2+0.3）=180（天）‎ ‎∴a﹣b=10（天）‎ ‎∴少用10天完成任务．‎ 题型四 二元一次方程组的应用 – 数字问题 典例 4（2019·靖远县期末）一个两位数，个位数字与十位数字的和为8，个位数字与十位数字互换位置后，所得的两位数比原两位数小18，则原两位数是多少？‎ ‎【答案】原两位数是53．‎ ‎【详解】‎ 解：设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，‎ ‎ 28 / 28‎ 根据题意得：解得：‎ ‎∴10y+x＝53．‎ 答：原两位数是53．‎ 变式4-1（2020·海淀区期末）小明和小亮做加减法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242，而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341。原来两个加数是多少？‎ ‎【答案】21,32;‎ ‎【解析】‎ 设一个加数为x，另一个加数为y． 根据题意得 解得． 答：原来两个加数分别是21，32．‎ 变式4-2（2020·阳谷县期中）列二元一次方程组解应用题.‎ 已知一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字的和为12，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小18，求原来的两位数．‎ ‎【答案】原来的两位数为75.‎ ‎【解析】‎ 设个位数字为,十位数字为. ‎ 根据题意得： ‎ 解得: ‎ 答：原来的两位数为75. ‎ 题型五 二元一次方程组的应用 – 年龄问题 典例5（2019·南阳市期中）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话：‎ ‎ 28 / 28‎ 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄．‎ ‎【答案】妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁．‎ ‎【详解】‎ 解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，‎ 依题意，得： ，‎ 解得： ．‎ 答：妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁．‎ 变式5-1（2020·江北市期末）4月9日上午8时，2017 徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：‎ 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.‎ ‎【答案】今年妹妹6岁，哥哥10岁．‎ ‎【详解】‎ 试题分析：设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，根据两个孩子的对话，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．‎ 试题解析：设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，‎ 根据题意得：‎ ‎ 解得： ．‎ 答：今年妹妹6岁，哥哥10岁．‎ 变式5-2（2019·绍兴市期末）师生对话，师：我像你这么大的时候，你才1岁，你到我这样大的时候，我已经40岁了，问老师和学生现在各几岁？‎ ‎【答案】老师和学生现在的年龄分别为27岁和14岁 ‎【详解】‎ ‎ 28 / 28‎ 设老师的年龄是x岁，学生的年龄是y岁，由题意得：根据题意列方程组得：‎ ‎，解得．‎ 答：老师和学生现在的年龄分别为27岁和14岁．‎ 题型六 二元一次方程组的应用 – 分配问题 典例6（2020·许昌市期末）某校的大学生自愿者参与服务工作,计划组织全校自愿者统一乘车去某地．若单独调配座客车若干辆,则空出个座位,若只调配座客车若干辆,则用车数量将增加辆,并有人没有座位．‎ ‎(1)计划调配座客车多少辆?该大学共有多少名自愿者?(列方程组解答)‎ ‎(2)若同时调配座和座两种车型,既保证每人有座,又保证每车不空座,则两种车型各需多少辆?‎ ‎【答案】（1）计划调配36座客车6辆，该大学共有210名自愿者；（2）需调配36座新能源客车4辆，22座新能源客车3辆 ‎【详解】‎ 解：（1）设计划调配36座新能源客车辆，该大学共有名自愿者，则根据题意得 ‎，解得：.‎ 答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有210名自愿者。‎ ‎（2）设需调配36座新能源客车辆，22座新能源客车辆，根据题意得 ‎，∴.‎ 又∵为正整数，∴.‎ 答：需调配36座新能源客车4辆，22座新能源客车3辆。‎ 变式6-1（2020·宁波市期中）某铁件加工厂用如图所示的长方形和正方形铁片(长方形的宽与正方形的边长相等)加工成如图．所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．(加工时接缝材料不计)‎ ‎(1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各 1 个，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张． ‎ ‎(2)现 有长方形铁片 2017 张，正方形铁片 1178 张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ ‎ ‎(3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用 35‎ ‎ 28 / 28‎ ‎ 张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成 3 个长方形铁片或 4 个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出 1 个长方形铁片和 2 个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，则最多可以加工成多少个铁盒？‎ ‎【答案】（1）7，3 （2）加工的竖式铁容器有100个，横式铁容器各有539个 （3）最多可加工铁盒19个 ‎【详解】‎ ‎（1）如图，加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张．‎ 故如果加工竖式铁容器与横式铁容器各 1 个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3 张．‎ ‎（2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器各有y个，由题意得 解得 故加工的竖式铁容器有100个，横式铁容器各有539个．‎ ‎（3）设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，由题意得 解得 ‎∴在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做（片），9张做正方形铁片可做（片），剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片 共可做长方形铁片（片），正方形铁片（片）‎ ‎∴可做铁盒（个）‎ 答：最多可加工铁盒19个．‎ 变式6-2（2019·泉州市期中）根据小敏、小聪、小东、小强四人的对话内容，请你设计一下，分别安排多少立方米木料做桌面，多少立方米木料做桌腿，才能使得生产出来的桌面和桌腿及库存的桌腿恰好全部配套？‎ ‎ 28 / 28‎ ‎【答案】应安排3.5立方米木料做桌面，2立方米木料做桌腿，才能使得生产出来的桌面和桌腿及库存的桌腿恰好全部配套．‎ ‎【详解】‎ 解：设安排立方米木料做桌面，立方米木料做桌腿，依题意得：，解得：.‎ 答：应安排3.5立方米木料做桌面，2立方米木料做桌腿，才能使得生产出来的桌面和桌腿及库存的桌腿恰好全部配套．‎ 题型七 二元一次方程组的应用 – 销售、利润问题 典例7（2019·绍兴市期中）现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品用了160元．求A，B两种商品每件各是多少元？‎ ‎【答案】A种商品每件20元，B种商品每件50元；‎ ‎【详解】‎ 解：设A商品1件x元，B商品1件y元，‎ 由题意得：，解得：，‎ 答：A种商品每件20元，B种商品每件50元；‎ 变式7-1（2020·锦州市期末）某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，计划购买黑白两种颜色的文化衫进行手绘设计后出售，并将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4800元购买了 黑白两种颜色的文化衫200件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：‎ ‎ 28 / 28‎ 批发价(元)‎ 零售价(元)‎ 黑 色 文化衫 ‎25‎ ‎45‎ 白 色 文 化 衫 ‎20‎ ‎35‎ ‎(1)学校购进黑.白文化衫各几件？‎ ‎(2)通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润．‎ ‎【答案】(1)学校购进黑文化衫160件，白文化衫40件；(2)该校这次义卖活动共获得3800元利润．‎ ‎（2）根据总利润=每件利润×数量，即可求出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：(1)设学校购进黑文化衫x件，白文化衫y件，‎ 依题意，得：，解得：． ‎ 答：学校购进黑文化衫160件，白文化衫40件．‎ ‎(2)(45-25)×160+(35-20)×40＝3800(元)．‎ 答：该校这次义卖活动共获得3800元利润．‎ 变式7-2（2019·嘉兴市期中）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．‎ ‎（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？‎ ‎（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？‎ ‎【答案】（1）打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．（2）打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元．‎ ‎【解析】‎ ‎1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，‎ 根据题意得：‎ ‎，解得：．‎ ‎ 28 / 28‎ 答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．‎ ‎（2）80×40+100×120-80×0.8×40-100×0.75×120=3640（元）．‎ 答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元．‎ 题型八 二元一次方程组的应用 – 和差倍分问题 典例8（2019·泰安市期末）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且每买1张办公桌必须买2把椅子，椅子每把100元，若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费24000元；购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费2000元．求甲、乙两种办公桌每张各多少元？‎ ‎【答案】甲400元，乙600元 ‎【详解】‎ 解：设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，‎ 根据题意，得：，‎ 解得：，‎ 答：甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元；‎ 变式8-1（2018·鞍山市期末）某停车场的收费标准如下：小型汽车10元/辆，中型汽车15元/辆，现停车场共有50辆中、小型汽车，共缴纳停车费560元，中、小型汽车各有多少辆？‎ ‎【答案】小型车有38辆，中型车有12辆 ‎【详解】‎ 解：设小型车有x辆，中型车有y辆，‎ 根据题意得：‎ 解得：，‎ 答：小型车有38辆，中型车有12辆．‎ 变式8-2（2019·烟台市期中）某快递公司有甲、乙两个仓库，各存有快件若干件，甲仓库发走80件后余下的快件数比乙仓库原有快件数的2倍少700件；乙仓库发走560件后剩余的快件数比甲仓库余下的快件数的还多210件．求甲、乙两个仓库原有快件各多少件．‎ ‎【答案】甲仓库原有快件1480件、乙仓库原有快件1050件．‎ ‎【详解】‎ ‎ 28 / 28‎ 解：设甲、乙两个仓库原有快件分别有x件和y件．‎ 由题意 ，解得，‎ 答：甲、乙两个仓库原有快件分别有1480件1050件.‎ 题型九 二元一次方程组的应用 – 几何问题 典例9（2018·合肥市期中）“光明”中学为了改善校园建设，计划在长方形的校园中间修一个正方形的花坛，预计正方形花坛的边长比场地的长少10米，比它的宽少8米，并且场地的总面积比花坛的面积大116平方米，求长方形的长和宽．‎ ‎【答案】长方形的长是12米，宽是10米 ‎【详解】‎ 设长方形的长和宽分别为米，米，根据题意得：‎ 解得 答：长方形的长是12米，宽是10米．‎ 变式9-1（2019·泉州市期末）如图，用10块相同的小长方形地砖拼成一个宽是60厘米的大长方形，用列方程或方程组的方法，求每块小长方形地砖的长和宽分别是多少厘米?‎ ‎【答案】小长方的长为，小长方的宽为．‎ ‎【详解】‎ 解：设小长方形的长为，小长方的宽为 依题意，得∴‎ 答：小长方的长为，小长方的宽为．‎ 变式9-2（2020·渭南市期末）某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园，准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示，计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元，请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？‎ ‎ 28 / 28‎ ‎【答案】要完成这块绿化工程，预计花费75600元．‎ ‎【详解】‎ 设小长方形的长为x米，宽为y米，‎ 由题意得，‎ ‎，解得：，‎ 则大长方形的长为20米，宽为18米，面积为：20×18=360平方米，‎ 预计花费为：210×360=75600(元)，‎ 答：要完成这块绿化工程，预计花费75600元．‎ 题型十 二元一次方程组的应用 – 表格或图示问题 典例10（2019·长春市期末）五月份的第二个星期天是母亲节．如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，根其图中提供信息，求每束鲜花和每个礼盒的价格．‎ ‎【答案】每束鲜花元，每个礼盒元.‎ ‎【详解】‎ 解： 设每束鲜花元，每个礼盒元.‎ 依题意 得解这个方程组得 ‎ 经检验，符合题意 答：每束鲜花元，每个礼盒元．‎ 变式10-1（2018·南阳市期末）芳芳妈对家里的经济收支情况有记帐的好习惯．下表记录的是她家2018年第一季度水表、电表的读表数和所缴水电费的情况：‎ ‎ 28 / 28‎ 时间(月份)‎ 水表读数(吨)‎ 电表读数(度)‎ 水电费(元)‎ ‎2018.1‎ ‎528‎ ‎1235‎ ‎65‎ ‎2018.2‎ ‎538‎ ‎1265‎ ‎59‎ ‎2018.3‎ ‎558‎ ‎1305‎ ‎102‎ ‎(1)请你根据表中提供的信息求出水、电的收费单价(即每吨水的收费标准和每度电的收费标准)；‎ ‎(2)今年4月份芳芳家水表读数为574(吨)，电表读数为1340(度)，那么芳芳家本月水电费应缴多少元？‎ ‎【答案】（1）水3.5元/吨，电0.8元/度；（2）84元 ‎【详解】‎ ‎(1)由图表可知，2月份的所用水：538-528=10吨；所用电为：1265-1235=30度；‎ ‎3月份的所用水：558-538=20吨；所用电为：1305-1265=40度；‎ 设水元/吨，电元/度，‎ 则，解得：；‎ 答：水、电的收费单价分别是3.5元和0.8元；‎ ‎(2) 4月芳芳家的水电费：元，‎ 答：4月芳芳家的水电费为84元．‎ 变式10-2（2019·濮阳市期中）为鼓励居民节约用电，我市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时（含180千瓦时）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时（含450千瓦时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，执行市场调节价格． 我市一位同学家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知我市的一位居民今年4、5月份的家庭用电量分别为160和 410千瓦时，请你依据该同学家的缴费情况，计算这位居民4、5月份的电费分别为多少元?‎ ‎【答案】96，269.‎ ‎【详解】‎ 解：设基本电价为x元/千瓦时，提高电价为y元/千瓦时，‎ 由题意得， ，解得： ，‎ ‎ 28 / 28‎ 则四月份电费为：160×0.6=96（元），‎ 五月份电费为：180×0.6+230×0.7=108+161=269（元）．‎ 答：这位居民四月份的电费为96元，五月份的电费为269元．‎ 题型十一 二元一次方程组的应用 – 古代问题 典例11（2019·龙岩市期末）《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题．如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问买鸡的人数、鸡的价格各是多少.请解答上述问题．‎ ‎【答案】合伙买鸡者有9人，鸡的价格为70文钱 ‎【详解】‎ 解：设合伙买鸡者有x人，鸡的价格为y文钱，‎ 根据题意得： ，解得： ‎ 答：合伙买鸡者有9人，鸡的价格为70文钱．‎ 变式11-1（2018·南充市期末）“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问笼中各有几只鸡和兔？‎ ‎【答案】鸡23只，兔12只 ‎【详解】‎ 设笼中各有x只鸡，y只兔，根据题意得 解得 ‎∴笼中各有12只鸡，23只兔 变式11-2（2019·怀柔区 ‎ 28 / 28‎ 期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、鸡价各几何？”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出8钱，多余3钱，每人出7钱，还缺4钱．问人数和鸡的价钱各是多少？”请列方程组解决此问题．‎ ‎【答案】人数为7人，鸡的价钱为53钱 ‎【详解】‎ 解：设人数为x人，鸡的价钱为y钱，根据题意，列方程组得： ‎ ‎．解方程组得．‎ 答：人数为7人，鸡的价钱为53钱．‎ 题型十二 三元一次方程组的应用 典例12（2019·杭州市期中）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：‎ 营业员A：月销售件数200件，月总收入3400元；‎ 营业员B：月销售件数300件，月总收入3700元；‎ 假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖动y元．‎ ‎(1)求x和y的值；‎ ‎(2)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服袋1件共需390元：如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元?‎ ‎【答案】(1) x的值为2800，y的值为3；(2) 190元．‎ ‎【详解】‎ 解：(1)由题意，得，‎ 解得，‎ 即x的值为2800，y的值为3； ‎ ‎(2)设一件甲服装为a元，一件乙服装为b元，一件丙服装为c元，‎ 则，‎ 将两方程相加得，4a+4b+4c=760，‎ 则a+b+c=190，‎ ‎ 28 / 28‎ 即购买一件甲、一件乙、一件丙服装共需190元．‎ 变式12-1（2019·邢台市期中）小红在学校商店买了3支钢笔，1本练习本，2支中性笔共花13元，小颖买了2支钢笔，4本练习本，3支中性笔共花17元，小明打算在该商店买20支钢笔，20本练习本，20支中性笔寄给四川地震灾区的小朋友，他只有120元的压岁钱，请你帮他算一下，他的钱够吗？‎ ‎【答案】120元的压岁钱够购买20支钢笔，20本练习本，20支中性笔． ‎ ‎【解析】‎ 设钢笔每支元，练习本元，中性笔元，则 ‎ ，‎ ‎①+②得， ‎ 所以，（元），即120元的压岁钱够购买20支钢笔，20本练习本，20支中性． ‎ 变式12-2（2019·黄冈市期中）某工程由甲乙两队合做6天完成，厂家需付甲乙两队共16800元；乙丙两队合做10天完成，厂家需付乙丙两队共17000元；甲丙两队合做7．5天完成，厂家需付甲丙两队共15750元.‎ ‎（1）求甲、乙、丙三队每天工钱各多少元？‎ ‎（2）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？‎ ‎（3）若要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？‎ ‎【答案】（1）甲、乙、丙三队每天工钱分别为1600元、12000元和500元；‎ ‎（2）甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需要10天、15天、30天；‎ ‎（3）甲队能在规定时间内完工并且花费最少.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设甲、乙、丙三队每天工钱分别为a元，b元，c元，‎ 依题意得，，‎ 解得， ，‎ ‎ 28 / 28‎ 答：甲、乙、丙三队每天工钱分别为1600元、12000元和500元；‎ ‎（2）设甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需要x天，y天，z天，‎ 依题意得， ，‎ 解得， ，‎ 经检验，是原方程组的解.‎ 答：甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需要10天、15天、30天；‎ ‎（3）甲队单独完成需付工钱1600×10=16000（元），‎ 乙队单独完成需付工钱1200×15=18000（元），‎ 丙队不能在规定时间内完工，‎ 因此，甲队能在规定时间内完工并且花费最少.‎ ‎ 28 / 28‎