初中数学十大解题方法 10页

1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式 正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完 全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分 解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 例题： 用配 方法解 方程x2+4x+1=0，经 过配方 ，得到 ( ) A．(x+2) 2=5 B．(x－2) 2=5 C．(x－2) 2=3 D．(x+2) 2=3 【分析】配方法：若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二 次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算。 【解】将方程x2+4x+1=0， 移向得：x2+4x=－1， 配方得：x2+4x+4=－1+4， 即(x+2) 2=3； 因此选D。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作 为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因 式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘 法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 例题： 若 多 项 式 x2+mx-3因 式 分 解 的 结 果 为 （ x-1） （ x+3） ， 则 m的 值 为 （ ） A． -2 B． 2 C． 0 D． 1 【分析】根 据 因式 分 解 与 整 式乘 法 是 相 反 方向 的 变 形 ， 先将 （ x-1） （ x+3） 乘 法 公式 展 开 ， 再 根据 对 应 项 系 数相 等 求 出 m的 值 。 【解】∵ x2+mx-3因 式 分解 的 结 果 为 （x-1） （ x+3） ， 即 x2+mx-3=（ x-1） （ x+3） ， ∴ x2+mx-3=（ x-1） （ x+3） =x2+2x-3， ∴ m=2； 因 此 选 B。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为 元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或 改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 例题： 已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8，则 x2+y2 的值为（ ） A．-5 或 1 B．1 C．5 D．5 或-1 【分析】解题时把 x2+y2 当成一个整体来考虑，再运用因式分解法就比较简单 【解】设 x2+y2=t，t≥0，则原方程变形得 (t+1)(t+3)=8，化简得： (t+5)(t-1)=0， 解得：t1=-5，t2=1 又 t≥0 ∴t=1 ∴x2+y2 的值为只能是 1． 因此选 B． 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a、b、c 属于 R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根 的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几 何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等 简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些 有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 注意：①△=b2-4ac＜0，方程无实数根，即无解；②△=b2-4ac =0，方程有两个相等的实数 根；③△=b2-4ac＞0，方程有两个不相等的实数根。 例题： 当 m 为什么值时，关于 x 的方程 01)1(2)4( 22  xmxm 有实根。 【分析】题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分 42 m ＝0 和 42 m ≠0 两种情形讨论。 【解】当 42 m ＝0 即 2m 时， )1(2 m ≠0，方程为一元一次方程，总有实根； 当 42 m ≠0 即 2m 时，方程有根的条件是： △＝  208)4(4)1(2 22  mmm ≥0，解得 m ≥ 2 5 ∴当 m ≥ 2 5 且 2m 时，方程有实根。 综上所述：当 m ≥ 2 5 时，方程有实根。 5、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而 后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数 间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的 方法之一。 例题： 例 1. 已知函数 y＝ mx x n x 2 2 4 3 1    的最大值为 7，最小值为－1，求此函数式。 【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数 m、n 的值；已知最大值、最小值实际是就 是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。 【解】 函数式变形为： (y－m)x 2 －4 3 x＋(y－n)＝0， x∈R, 由已知得 y－m≠0 ∴ △＝(－4 3 ) 2 －4(y－m)(y－n)≥0 即： y 2 －(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ① 不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7 是方程 y 2 －(m＋n)y＋(mn－12)＝0 的两根， 代入两根得： 1 12 0 49 7 12 0              ( ) ( ) m n mn m n mn 解得： m n      5 1 或 m n      1 5 ∴ y＝ 5 4 3 1 1 2 2 x x x    或者 y＝ x x x 2 2 4 3 5 1    此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即 y 2 －6y－7≤0，然后与不等式①比较系数 而得： m n mn         6 12 7 ，解出 m、n 而求得函数式 y。 6、构造法 在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以 是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和 结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解 题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。 例题： 如图，在△ABC 中，∠B=2∠C，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D。求证：AB＋BD＝AC 【分析】若遇到三角形的角平分线时，常构造等腰三角形，借助等腰三角形的有关性质，往 往能够找到解题途径。 【解】延长 CB 到点 F，使 BF=AB，连接 AF，则△BAF 为等腰三角形，且∠F=∠1.再根据 三角形外角的有关性质，得出∠ABD=∠1+∠F , 即∠ABD=2∠1=2∠F，而∠ABD=2∠C， 所以∠C=∠1=∠F ，△AFC 为等腰三角形，即 AF=AC，又可得△FAD 为等腰三角形,因此 ， AF=DF=DB+BF=DB+AB,即 AB＋BD＝AC。 7、反证法 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发， 经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证 法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证 法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要 的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小) 于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有 n 个/至多有(n 一 1)个；至多 有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成 为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与 已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。 例题： 若 P 是两条异面直线 l、m 外的任意一点，则( ) A．过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都平行 B．过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都垂直 C．过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都相交 D．过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都异面 【分析】 对于 A，若存在直线 n，使 n∥l 且 n∥m 则有 l∥m，与 l、m 异面矛盾；对于 C，过点 P 与 l、m 都相交的直线不一定存在，反例如 图(l∥α)；对于 D，过点 P 与 l、m 都异面的直线不唯一． 【答案】B 8、面积法 平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计 算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计 算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。 用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各 量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之 间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线， 也很容易考虑到。 例题： 如图 2，C 是线段 AB 上的一点，△ACD、△BCE 都是等边三角形，AE、BD 相交于 O。 求证：∠AOC=∠BOC。 图 2 证明：过点 C 作 CP⊥AE，CQ⊥BD，垂足分别为 P、Q。 因为△ACD、△BCE 都是等边三角形， 所以 AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE， 所以∠ACE=∠DCB 所以△ACE≌△DCB 所以 AE=BD， 可得 CP=CQ 所以 OC 平分∠AOB 即∠AOC=∠BOC 9、几何变换法 在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所 谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换 主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简， 化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下 的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。 几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。 例题： 1. 平移变换 把图形中的某一个线段或者一个角移动到一个新的位置，使图形中分散的条件 紧密地结合到一起。 一般有 2 种方法： 1.平移已知条件 2.平移所求问题，把所求问题转化，其实就是逆向证明。几何题多数都是逆向思考的。 例 ：在三角形 ABC 中，BD=CE,求证：AB+AC 大于 AD+AE。这是典型的平移条件问题。 【解】我们把三角形 AEC 平移到如图所示的 FBD 位置。这里用 了 BD=EC 的条件 。设 AB 与 FD 交于 P 这样，容易构造两个全等的三角形 AEC,FBD 由于 PA+PD 大于 AD PF+PB 大于 BF 两式相加 PA+PB+PD+PF 大于 AD+BF 又因为 BF= AE，AC= FD 所以 AB+AC 大于 AD+AE 2.旋转变换 把平面图形绕旋转中心,旋转一个定角，使分散的条件集中在一起. 例：如图,等腰直角三角形 ABC 中,AB=AC,∠A=90,M,N 为斜边 BC 上两点且∠MAN=45,求 证:BM^2+CN^2=MN^2 【解】要证 BM^2+CN^2=MN^2,容易想到勾股定理.但是 BM,CN,MN 都不在同一个三角形上,所以,我们就设法将 BM,CN,MN 移到同一三角 形上。考虑到△ABC 是等腰三角形，且是直角三角形，将△ABM 绕 点 A 逆时针旋转 90.使 AB 与 AC 重合.得到△ACD ，则△NCD 为直 角三角形 只需证明 MN=ND 即可 因为∠MAN=45,所以∠BAM+∠NAC=45 ，即∠NAD=45 又因为 AM=AD 所以△AND≌△AMN 所以 MN=ND，在直角△NDC 中，有 ND^2=NC^2+DC^2，所以 BM^2+CN^2=MN^2 3.对称变换 通过作关于某一直线或一点的对称图，把图形中的图形对称到另一个位置上， 使分散的条件集中在一起。 当出现以下两种情况时，经常考虑用此变换：1.出现了明显的轴对称、中心对称条件时。2. 出现了明显的垂线条件时。 例△ABC 中,∠BAC=90, △ACD 为等边三角形，已知∠DBC=2∠DBA，求∠DBA。 【解】由对称可知，△BAE 全等于△BAD ，DE⊥AB, 所以 BE=BD,AE=AD, ∠ABE=∠ABD 因为∠DBC=2∠DBA 所以∠DBC=∠DBE 在 BC 上取点 F，使 BF=BE 又因为∠BAC=90 ，DE⊥AB 所以 DE∥BC ，∠ADE=∠DAC=60 所以 ADE 是等边三角形 DE=AD=DC 因为 EF 关于 BD 对称 所以 DF=DE=DC ,BF=BE=BD, 设∠DBA=a 则∠DBF=2a 因为 BF=BD，所以∠BFD=（180-2a）/2=90-a 由于 DF=DC ，所以∠DCF=90-a ∠ACB=180-60-（90-a）=30+a 因为∠ABC+∠ACB=90，即 a+2a+30+a=90 ，a=15 所以∠DBA=a=15 10.客观性题的解题方法 选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构 思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容 量和知识覆盖面。 填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广， 评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出 答案，可以防止学生猜估答案的情况。 要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择 题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。 （1）直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算， 得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。 （2）验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的 答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法（也称代入法）。当遇到定量命题 时，常用此法。 （3）特殊元素法：用合适的特殊元素（如数或图形）代入题设条件或结论中去，从而获得 解答。这种方法叫特殊元素法。 （4）排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算， 把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。 （5）图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称 为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。 （6）分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正 确的结果，称为分析法。