人教版初一数学上学期 整式 24页

‎2020-2021学年人教版初一数学上学期高频考点01 整式 知识框架 基础知识点：‎ 知识点1-1.列代数式及书写要求 代数式：用运算符号把字母和数字连接而成的式子就叫代数式。‎ 代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，就可以得到代数式的值。‎ 代数式的书写要求：‎ ①字母与数字相乘，或字母与字母相乘，乘号不用“×”，而是“”，或略去不写。因“×”与“x”易混淆。‎ ②字母与数字相乘，一般数字在前，系数带分数的，一般写成假分数。因3x易混淆为3x。‎ ③系数是1时，一般省略不写。‎ 多项式后面带单位，多项式须用括号括起来。‎ 例1．（2020·湖北省初二期中）下列各式哪些是代数式？哪些不是代数式？‎ ‎（1）3＞2；（2）a+b=5；（3）a；（4）3；（5）5+4﹣1；（6）m米；（7）5x﹣3y ‎【答案】代数式有（3）（4）（5）（7）；（1）（2）（6）不是代数式．‎ ‎【分析】根据代数式的概念，代数式是用运算符号把数和字母连接而成的式子，单个的数和单个的字母也是代数式，逐一判断即可．‎ ‎【解析】（1）、（2）中的“＞”、“=”它们不是运算符号，因此（1）、（2）不是代数式．‎ ‎（3）、（4）中a、3是代数式，因为单个数字和字母是代数式．‎ ‎（5）中是加减运算符号把5、4、1连接起来，因此是代数式．（6）m米含有单位名称，故不是代数式．‎ ‎（7）5x﹣3y中由乘、减两种运算联起5、x、3、y，因此是代数式．‎ 答：代数式有（3）（4）（5）（7）；（1）（2）（6）不是代数式．‎ ‎【点睛】本题考查了代数式的识别，注意：代数式中不含等号，也不含不等号，单独的一个数或字母也是代数式.‎ 例2．（2020·全国初一课时练习）下列代数式中符合书写要求的是（ ）‎ A． B．n2 C．a÷b D．‎ ‎【答案】D ‎【分析】根据代数式的书写要求对各选项进行分析后即可解答．‎ ‎【解析】选项A中的带分数要写成假分数，选项A不符合代数式的书写要求；‎ 选项B中的2应写在字母的前面，项B不符合代数式的书写要求；‎ 选项C应写成分数的形式，选项C不符合代数式的书写要求；‎ 选项D符合书写要求．故选D．‎ ‎【点睛】本题考查代数式的书写规则，熟知代数式的书写规则是解决问题的关键．‎ 例3．（2020·成都市锦江区初一期中）我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的，请仔细分析下列赋予3a实际意义的例子中不正确的是（　　）‎ A．若葡萄的价格是3元/千克，则3a表示买a千克葡萄的金额 B．若a表示一个等边三角形的边长，则3a表示这个等边三角形的周长 C．将一个小木块放在水平桌面上，若3表示小木块与桌面的接触面积，a表示桌面受到的压强，则3a表示小木块对桌面的压力 D．若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则3a表示这个两位数 ‎【答案】D ‎【分析】根据总价=单价×数量可判断A的对错，根据等边三角形的周长公式可判断B的对错，根据压强公式可判断C的对错，根据多位数的表示法可判断D的对错.‎ ‎【解析】A. 若葡萄的价格是3元/千克，则3a表示买a千克葡萄的金额，故正确；‎ B. 若a表示一个等边三角形的边长，则3a表示这个等边三角形的周长，故正确；‎ C. 将一个小木块放在水平桌面上，若3表示小木块与桌面的接触面积，a表示桌面受到的压强，则3a表示小木块对桌面的压力，故正确；‎ D. 若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则30+a表示这个两位数，故不正确；故选D.‎ ‎【点睛】此题主要考查了代数式在实际问题中所表示的意义，关键是正确理解题意．[来源:学*科*网]‎ 例4．（2020·天津和平初一期末）若x＝y+3，则（x﹣y）2﹣2.3（x﹣y）+0.75（x﹣y）2+（x﹣y）+7等于_____．‎ ‎【答案】10‎ ‎【分析】由由x=y+3得x-y=3，整体代入原式计算即可.‎ ‎【解析】由x=y+3得x-y=3,将其代入要求的式子得:‎ 原式=，故答案为10.‎ ‎【点睛】本题考查了整式的加减—化简求值，解题的关键是掌握整体代入思想的运用.‎ 例5．（2020·阳新县陶港中学初三零模）随着通讯市场竞争的日益激烈，某通讯公司的手机市话收费按原标准每分钟降低m元后，再次下调25%，现在的收费标准是每分钟n元，则原收费标准每分钟为多少元（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【分析】设原收费标准每分钟为x元，则根据题意，以现在的收费标准为等量关系，列出等式，表示出原收费标准即可．‎ ‎【解析】解：设原收费标准每分钟为x元，由题意得，，解得， 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了根据实际问题列代数式，列代数式实质是实现从基本数量关系的语言表述到代数式的一种转化．列代数式时，若直接表达不容易时，可以借助方程，设出未知数，列出等式，从而表达出所求代数式．‎ 知识点1-2.单项式的概念 单项式：数或字母的积。（单独的一个数或一个字母也是单项式）。例：5x；100；x；10ab等 注：分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式。例：不是单项式。‎ 单项式的系数：单项式中的数字叫做单项式的系数。例：的系数为。‎ 单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和。例： 的次数为3次。‎ 例1．（2020·全国初一课时练习）找出下列各式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．‎ ‎(1)；(2)；(3)；(4)；(5).‎ ‎【答案】（1），（3），（4），（5）符合单项式的定义，是单项式；（1）的系数是，次数是1；（3）的系数是，次数是1；（4）的系数是，次数是3；（5）的系数是，次数是7.‎ ‎【分析】根据单项式的定义找出单项式，再根据单项的系数与次数的概念进行求解即可.‎ ‎【解析】 (1)(3)(4)(5)符合单项式的定义，是单项式．‎ ‎(1)的系数是，次数是1；(3)的系数是，次数是1；‎ ‎(4)的系数是，次数是3；(5)的系数是，次数是7.‎ ‎【点睛】本题考查了单项式的概念、单项式的系数与次数，熟练掌握相关概念是解题的关键.‎ 例2．（2020·四川省绵阳市初一期末）下列说法中正确的有(　　).(1)单项式a既没有系数，也没有次数；(2)单项式的系数是2；(3)单项式的系数与次数都是1；(4)单项式的系数是.‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】A ‎【分析】根据单项式的系数及次数的定义逐一进行分析解答即可.‎ ‎【解析】 (1)单项式a的系数是1，次数是1，故错误；(2)单项式的系数是2×108，故错误；‎ ‎(3)单项式的系数是-1，次数是1，故错误；(4)单项式的系数是，正确，‎ 所以正确的只有1个，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查的是单项式系数及次数的定义，即单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号．‎ 例3．（2020·福建省初一期末）整式﹣0.3x2y，0，， ，，﹣2a2b3c中是单项式的个数有（　　）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎【答案】C ‎【分析】根据单项式的定义解答，定义为：数字与字母的积叫做单项式．（单独的一个数或一个字母也叫单项式）．‎ ‎【解析】根据单项式的定义可知-0.3x2y，0，-x2，-22abc2 是单项式，共4个，故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了单项式的概念，比较简单，解题的关键是熟记单项式的定义．‎ 例4．（2020·河南省初一期中）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 分析：此题规定了单项式的系数和次数，但没规定单项式中含几个字母．‎ ‎【解析】A．系数是﹣2，错误；B．系数是3，错误；‎ C．次数是4，错误；D．符合系数是2，次数是3，正确；故选D．‎ 考点：单项式．‎ 例5．（2020·广西壮族自治区初一期末）单项式的系数是________，次数是________．‎ ‎【答案】 5 ‎ ‎【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．‎ ‎【解析】单项式的系数是，次数是2+3=5，故答案为：，5.‎ ‎【点睛】本题考查了单项式的系数与次数，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．‎ 例6．（2019·山东初一期末）小亮在抄写单项式时，把字母中有的指数写掉了，他只知道这个单项式是四次单项式，你能帮他写出这个单项式吗？‎ ‎【答案】或或 ‎【分析】利用单项式的定义求解即可．‎ ‎【解析】解：∵这个单项式是四次单项式，∴这个单项式可能是或或 ‎【点睛】本题主要考查了单项式，解题的关键是熟记单项式的定义．‎ 知识点1-3.多项式的有关概念 多项式：几个单项式的和。 ‎ 注：和，即减单项式，实际是加该单项式的相反数。‎ 例如： 32x3y﹣y2+ xy可以视作： 32x3y+（﹣y2）+ xy．‎ 项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式。‎ 常数项：不含字母的项。‎ 多项式的次数：所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数（最高次数是n次，就叫做n次式）。‎ 例1．（2020·四川省初一期末）下列各式中，3a+4b，0，﹣a，am+1，﹣xy， ，﹣1， 单项式有______个，多项式有_______个 ‎【答案】3 3 ‎ ‎【分析】根据单项式、多项式的定义解答即可.‎ ‎【解析】∵0 ，-a ，-xy是由数或字母的积组成的式子，∴0 ，-a ，-xy是单项式，共3个，‎ ‎∵=，∴是多项式，‎ ‎∵3a2+4b 和am+1是几个单项式的和组成的，∴3a2+4b 和am+1是多项式，‎ ‎∴3a2+4b ，am+1，是多项式，共3个，故答案为3；3；‎ ‎【点睛】本题考查多项式和多项式的定义，由数或字母的积组成的式子叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式.熟练掌握定义是解题关键.‎ 例2．（2020·成都市初一期末）多项式的常数项是(　　)‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【分析】先将多项式化简，再根据多项式的定义得到常数项.‎ ‎【解析】，其常数项为.故选D ‎【点睛】本题考查多项式的定义，解题的关键是熟悉多项式的定义.‎ 例3．（2019·全国初一课时练习）在代数式中，多项式的个数是(　　)‎ A．4 B．3 C．2 D．1 ‎ ‎【答案】B ‎【分析】根据多项式的定义即可的得出答案.‎ ‎【解析】只有和是多项式，共3个．故选B.‎ ‎【点睛】本题考查多项式的定义，熟练掌握多项式的定义是解题的关键.‎ 例4．（2020·广东省初一期末）已知一个多项式是三次二项式，则这个多项式可以是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】A. 是二次三项式，故此选项错误；B. 是三次二项式，故此选项正确；‎ C. 是二次二项式，故此选项错误；D. 是三次三项式，故此选项错误；故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查多项式次数的定义,熟悉掌握定义是关键.‎ 例5．（2020·辽宁省初一期中）多项式1+xy﹣xy2的次数及最高次项的系数分别是（ ）‎ A．2，1 B．2，﹣1 C．3，﹣1 D．5，﹣1‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据多项式次数和单项式的系数的定义求解．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，即﹣xy2的次数．解：多项式1+xy﹣xy2的次数及最高次项的系数分别是3，﹣1．故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了多项式的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.‎ 知识点1-4.整式的概念 整式：单项式与多项式统称为整式。 ‎ 注：①多项式是由多个单项式构成的；②单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算；‎ ③分母中含有字母的式子不是整式（因不是单项式或多项式）‎ 例1．（2020·上海初一期中）下列代数式：，其中单项式有m个，多项式有n个，整式有t个，则m＋n＋t等于(　　)‎ A．12 B．13 C．14 D．15‎ ‎【答案】A ‎【分析】根据多项式、单项式和整式的概念，知单项式由4个，多项式有2个，整式有6个，即可得出答案.‎ ‎【解析】根据多项式和单项式的概念，可知中，‎ 单项式有，共4个；多项式有，共2个；整式有6个，所以.故选择A项.‎ ‎【点睛】本题多项式、单项式和整式的概念，解题的关键是熟悉多项式、单项式和整式的概念.‎ 例2．（2019·全国初一课时练习）把下列代数式分别填入下表适当的位置：.‎ 单项式： ；多项式： ；非整式： ；‎ ‎【答案】单项式： 多项式： 非整式：‎ ‎【分析】根据多项式、单项式和整式的概念，结合题意，即可得出答案.‎ ‎【解析】根据多项式、单项式和整式的概念，对分类为：‎ 单项式： 多项式： 非整式：‎ ‎【点睛】本题考查多项式、单项式和整式的概念，解题的关键是熟练掌握多项式、单项式和整式的概念.‎ 例3．（2020·湖北省初一期末）下列说法中，不正确的是（ ）‎ A．的系数是，次数是 B．是整式 C．的项是、， D．是三次二项式 ‎【答案】D ‎【分析】根据单项式的系数、次数，可判断A，根据整式的定义，可判断B，根据多项式的项是多项式中每个单项式，可判断C，根据多项式的次数是多项式中次数最高项的单项式的次数，可判断D．‎ ‎【解析】A. −ab2c的系数是−1，次数是4，故A正确；B.  −1是整式，故B正确；‎ C. 6x2−3x+1的项是6x2、−3x，1，故C正确；D. 2πR+πR2是二次二项式，故D错误；故答案选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了整式的知识点，解题的关键是熟练的掌握整式的概念与运算法则.‎ 例4．（2019·内蒙古自治区初一期中）若关于x，y的多项式化简后不含二次项，则m＝（　　）‎ A． B． C．- D．0‎ ‎【答案】B ‎【分析】将原式合并同类项，可得知二次项系数为6-7m，令其等于0，即可解决问题．‎ ‎【解析】解：∵原式＝，‎ ‎∵不含二次项，∴6﹣7m＝0，解得m＝．故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了多项式的系数，解题的关键是若不含二次项，则二次项系数6-7m=0．‎ 重难点题型：‎ 题型1. 利用整式的相关概念求字母的取值 ①利用单项式的系数与次数求值 解题技巧：此类题型有2点需要注意：①题干会告知单项式的次数，利用系数关系可以列写一个等式；‎ ②还需注意，单项式的系数不为0‎ ②利用多项式的次数及特定的系数求值 解题技巧：此类题型有3点需要注意：①题干会告知次数，则多项式的最高次数项的次数等于该值；‎ ②注意最高次数项的系数不能为0；③题干还会告知项数，往往利用项数也能确定一些等式（不等式）。‎ 例1．（2020·湖北省初一全期中）若是关于x，y的五次单项式，求a的值．‎ ‎【答案】a=－2‎ ‎【解析】本题主要考查了单项式的次数的定义 根据单项式的次数的定义：单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，即可求得结果．‎ 由题意得，|a|＋1＋2=5，|a|=2，∵a－2≠0，a≠2，∴a=－2.‎ 思路拓展：解答本题的关键是掌握好单项式的次数的定义．‎ 例2．（2020·全国初一单元测试）单项式2x4-my与6xy2的次数相同，则m的值为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【分析】根据两单项式的次数相同列出关于m的方程，求出m的值即可．‎ ‎【解析】∵单项式2x4−my与6xy2的次数相同，∴4−m=1，∴m=3，故答案选C.‎ ‎【点睛】本题考查了单项式，解题的关键是熟练的掌握单项式的相关知识点.‎ 例3．（2020·上海市黄浦中学初一月考）若关于a,b单项式的系数是,次数是5,则_____,_____．‎ ‎【答案】 4 ‎ ‎【分析】直接利用单项式的次数与系数确定方法分析得出答案．‎ ‎【解析】解：是关于a,b的单项式,系数是,次数是5,‎ ‎,,解得：,,故答案为,4．‎ ‎【点睛】此题主要考查了单项式,正确把握单项式的次数与系数确定方法是解题关键．‎ 例4．（2019·浙江省初一课时练习）是六次四项式，且的次数跟它相同 求，的值求多项式的常数项以及各项的系数和．‎ ‎【答案】（1），；（2）系数和为：‎ ‎【分析】根据多项式的概念即可求出n与m的值，然后根据多项式即可判断常数项与各项系数．‎ ‎【解析】解：由题意可知：该多项式时六次多项式，∴，∴，‎ ‎∵的次数也是六次，∴，∴‎ ‎∴，该多项式为：‎ 常数项，各项系数为：，，，，故系数和为：‎ ‎【点睛】本题考查了多项式与单项式，解题的关键是熟练的掌握多项式与单项式的定义.‎ 例5．（2019·青神县实验初级中学校初一期中）已知多项式（m–3）x|m|–2y3+x2y–2xy2是关于xy的四次三项式．‎ ‎（1）求m的值；（2）当x=‎3‎‎2‎，y=–1时，求此多项式的值．‎ ‎【答案】（1）-3 （2）‎15‎‎4‎ ‎ ‎【分析】（1）直接利用多项式的次数的确定方法得出m的值； （2）将x，y的值代入求出结果即可．‎ ‎【解析】（1）∵多项式（m﹣3）x|m|﹣2y3+x2y﹣2xy2是关于的xy四次三项式，‎ ‎∴|m|﹣2+3=4，m﹣3≠0，解得：m=﹣3，‎ ‎（2）当x=‎3‎‎2‎，y=﹣1时，此多项式的值为：﹣6×‎3‎‎2‎×（﹣1）3+（‎3‎‎2‎）2×（﹣1）﹣2×‎3‎‎2‎×（﹣1）2‎ ‎=9﹣‎9‎‎4‎﹣3=‎15‎‎4‎．‎ ‎【点睛】本题考查了多项式及绝对值的知识点，解题的关键是根据题意得出m的值.‎ 例6．（2020·北京市初一期末）如果一个多项式的各项的次数都相同，那么这个多项式叫做齐次多项式．如：x3+3xy2+4xz2+2y3 是 3 次齐次多项式，若 ax+3b2﹣6ab3c2 是齐次多项式，则 x 的值为（ ）‎ A．-1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】C ‎【分析】根据齐次多项式的定义一个多项式的各项的次数都相同,得出关于m的方程,解方程即可求出x的值.‎ ‎【解析】由题意,得,解得.所以C选项是正确的.‎ ‎【点睛】本题考查了学生的阅读能力与知识的迁移能力.正确理解齐次多项式与单项式的次数的定义是解题的关键.‎ 例7．（2020·全国初一课时练习）已知关于x，y的多项式x4＋（m＋2）xny﹣xy2＋3．[来源:学科网]‎ ‎（1）当m，n为何值时，它是五次四项式？‎ ‎（2）当m，n为何值时，它是四次三项式？‎ ‎【答案】（1）n＝4，m≠﹣2；（2）m＝﹣2，n为任意实数 ‎【分析】（1）根据多项式是五次四项式可知n＋1＝5，m＋2≠0，从而可求得m、n的取值；‎ ‎（2）根据多项式是四次三项式可知：m＋2＝0，n为任意实数．‎ ‎【解析】解：（1）∵多项式是五次四项式，∴n＋1＝5，m＋2≠0，∴n＝4，m≠﹣2；‎ ‎（2）∵多项式是四次三项式，∴m＋2＝0，n为任意实数，∴m＝﹣2，n为任意实数．‎ ‎【点睛】本题主要考查的是多项式的定义，掌握多项式的定义是解题的关键．‎ 题型2. 求代数式的值与整体思想(一)‎ 解题技巧：求代数式的值分为三种：‎ ‎（1）直接代入求值：往往先化简再求值.‎ ‎（2）间接代入求值：根据已知条件，先求出未知数的值，再代入求值；‎ ‎（3）整体代入求值：当未知数的值不易直接求解时，通常用整体代入法。‎ 例1．（2020•保亭县模拟）当x=﹣2时，代数式x2﹣2x+1的值是（ ）‎ A．1 B．﹣1 C．6 D．9‎ ‎【答案】D 分析：将x=﹣2代入计算即可求出代数式的值．‎ ‎【解析】当x=﹣2时，原式=4+4+1=9，故选D 点评：此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ 例2．（2020·湖南省初一期末）当x=1时，ax+b+1‎的值为−2，则a+b-1‎‎1-a-b的值为 A．− 16 B．− 8 C．8 D．16‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵当x=1时，ax+b+1‎的值为﹣2，∴a+b+1=-2‎，∴a+b=-3‎，‎ ‎∴‎(a+b-1)(1-a-b)‎=（﹣3﹣1）×（1+3）=﹣16．故选A．‎ 考点：整式的混合运算—化简求值．‎ 例3．（2020·全国初一单元测试）若2x2＋x－1＝0，则4x2＋2x－5的值为(　　)‎ A．－6 B．－4 C．－3 D．4‎ ‎【答案】C 分析：由题意得到2x2+x的值，原式变形后，把2x2+x的值代入计算即可求出值．‎ ‎【解析】由2x2＋x－1＝0，得：2x2＋x=1，则原式=2（2x2+x）﹣5=2﹣5=－3．故选C．‎ 点睛：本题考查了代数式求值，整体代入是解答本题的关键．‎ 例4．（2020·浙江洞头初三零模）代数式2a2-b=7，则-4a2+2b+10的值是（　　）‎ A． B．4 C．7 D．‎ ‎【答案】A ‎【分析】直接将原式变形进而把已知代入求出答案．‎ ‎【解析】解：∵2a2-b=7， ∴-4a2+2b+10=-2（2a2-b）+10 =-2×7+10 =-4． 故选A．‎ ‎【点睛】此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．‎ 例5．（2020·宁夏回族自治区初一期末）按如图所示的运算程序,能使输出的结果为的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【分析】由题可知，代入、值前需先判断的正负，再进行运算方式选择，据此逐项进行计算即可得.‎ ‎【解析】选项，故将、代入，输出结果为，不符合题意；‎ 选项，故将、代入，输出结果为，不符合题意；‎ 选项，故将、代入，输出结果为，符合题意；‎ 选项，故将、代入，输出结果为，不符合题意，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查程序型代数式求值，解题的关键是根据运算程序，先进行的正负判断，选择对应运算方式，然后再进行计算.‎ 例6．（2019·全国初一单元测试）某自然风景区的门票价格为：成人票20元，学生票10‎ 元．某七年级共有学生人，老师人，八年级学生人数是七年级学生人数的倍，八年级老师人数是七年级老师人数的倍，若他们一起去此风景区，买门票要花多少钱？若，，你能具体求出门票是多少钱吗？‎ ‎【答案】门票为5440元 ‎【分析】先用m、n表示出八年级的学生数和老师数，然后运用总票价=人数×单价即可.‎ ‎【解析】解：八年级的学生数和老师数,，则七八年级一起去景区，应付票钱为：‎ ‎．‎ 当，时，原式（元）．答：门票为5440元．‎ ‎【点睛】本题主要考查列代数式以及代数式求值问题，根据已知得出式子表示该支付门票费用是解题关键.‎ 例7．(1)当，时，求下列代数式的值.①；②.这两个代数式有什么关系？‎ ‎(2)当，时，上述结论是否仍然成立？(3)再给一组，值试一试；(4)你能用简便方法计算出当，时，的值吗？‎ ‎【答案】(1)①；②;;(2)当，时，上述结论仍然成立.(3)答案不唯一，举例见解析；(4)能.1.‎ ‎【分析】（1）（2）将a和b的值分别代入①和②，易得；‎ ‎（3）再任写一组a和b的值分别代入①和②，也可得；‎ ‎（4）据前三问可得，将a和b的值代入中即可得出的值.‎ ‎【解析】（1）当，时，，‎ ‎，∴；‎ ‎（2）当，时，，，‎ ‎∴；‎ ‎（3）当时，，，‎ ‎∴‎ ‎（此问答案不统一，符合题意即可）；‎ ‎（4）能，当，时 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查代数式求值，能通过求几组代数式的值得出并能通过简便运算是解决此题的关键.‎ 题型3. 整式的实际应用 解题技巧：解决此类问题，需要先根据题干意思，列代数式表示量的大小，再根据题目要求进行分析求解。‎ 例1．（2019·山西省初一期中）用一根长为a（单位：cm）的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按图的方式向外等距扩1（单位：cm）得到新的正方形，则这根铁丝需增加（　　）‎ A．4cm B．8cm C．（a+4）cm D．（a+8）cm ‎【答案】B ‎【分析】根据题意得出原正方形的边长，再得出新正方形的边长，继而得出答案．‎ ‎【解析】∵原正方形的周长为acm，∴原正方形的边长为cm，‎ ‎∵将它按图的方式向外等距扩1cm，∴新正方形的边长为（+2）cm，‎ 则新正方形的周长为4（+2）=a+8（cm），[来源:学科网ZXXK]‎ 因此需要增加的长度为a+8﹣a=8cm，故选B．‎ ‎【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是根据题意表示出新正方形的边长及规范书写代数式．‎ 例2．（2020·全国初一课时练习）甲从商贩A处购买了若干斤西瓜，又从商贩B处购买了若干斤西瓜．A、B两处所购买的西瓜重量之比为3：2，然后将买回的西瓜以从A、B两处购买单价的平均数为单价全部卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为（　　）‎ A．商贩A的单价大于商贩B的单价 B．商贩A的单价等于商贩B的单价 C．商版A的单价小于商贩B的单价 D．赔钱与商贩A、商贩B的单价无关 ‎【答案】A ‎【分析】本题考查不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式，‎ 然后根据不等式的基本性质变形即可．‎ ‎【解析】设商贩A处西瓜的单价为a，商贩B处西瓜的单价为b，则甲的利润=总售价﹣总成本 ‎=a+b‎2‎×5﹣（3a+2b）=0.5b﹣0.5a，赔钱了说明利润＜0，∴0.5b﹣0.5a＜0，∴a＞b．故选：A．‎ ‎【点睛】此题考查不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，.‎ 例3．（2020·吉林省初一期末）用如图所示正方形纸板制作一个无盖的长方体盒子，可在正方体的四角减去相同的正方形，剩余部分即可做成一个无盖的长方体形盒子．‎ ‎（1）设正方形纸的边长为a，减去的小正方形的边长为x，请用a与x表示这个无盖长方体形盒子的容积；‎ ‎（2）把正方形纸板换成长为a，宽为b的长方形纸板，怎样做一个无盖长方体形盒子？画图说明你的做法；（3）把（2）中做的长方体形盒子的容积用代数式表示出来；‎ ‎（4）比较（1）和（3）的结果，说说它们的区别和联系．‎ ‎【答案】(1) ；(2)见解析；（3）（a﹣2x）（b﹣2x）•x；（4）（1）中底面积为正方形面积为，（3）中底面积为长方形，面积为（a﹣2x）（b﹣2x），高都为x，（3）中当a=b时即得到（1）中的结果．‎ ‎【分析】（1）观察图形可知无盖长方体形盒子的底面长、宽都为（a-2x），高为x，用长方体的体积公式计算体积即可；（2）在长方形纸板的四个角减去相同的正方形，剩余部分即可做成一个无盖的长方体形盒子；（3）设减去的正方形边长为x，则无盖长方体形盒子的底面长（a-2x）、宽为（b-2x），高为x，根据长方体的体积公式即可求解；（4）根据（1）（3）的计算结果，比较即可解答.‎ ‎【解析】（1）依题意，长方体盒子容积为：；‎ ‎（2）画图如下：‎ ‎（3）设减去的正方形边长为x，则无盖长方体形盒子的底面长（a-2x）、宽为（b-2x），高为x，根据正方体的体积公式可得，制成无盖长方体盒子的体积为：x（a﹣2x）（b﹣2x）；‎ ‎（4）（1）中底面积为正方形面积为，（3）中底面积为长方形，面积为（a﹣2x）（b﹣2x），高都为x；（3）中当a=b时即得到（1）中的结果．‎ ‎【点睛】本题考查了列代数式，表示长方体的长、宽、高，熟练运用长方体的体积公式进行计算是解决问题的关键．‎ 例4．（2020·全国初一单元测试）某服装厂加工了一批西服，成本为每套200元，原定每套以280元的价格销售，这样每天可销售200套，若每套在原价的基础上降低10元销售，则每天可多售出100套．据此回答下列问题：‎ ‎（1）若按原价销售，则每天可获利　 　元．（销售利润=单件利润×销售数量）‎ ‎（2）若每套降低10元销售，则每天可卖出　 　套西服，共获利　 　元．‎ ‎（3）若每套西服售价降低10x元，则每套西服的售价为　 　元，每天可以销售西服　 　套，共可获利　 　元．（用含x的代数式表示）‎ ‎【答案】（1）16000；（2）300；21000；（3）（280﹣10x）；（200+100x）；（80﹣10x）（200+100x）；‎ ‎【分析】（1）根据利润=每件的获利×件数，利用（280-200）×200算出即可；‎ ‎（2）根据利润=每件的获利×件数，利用（270-200）×（200+100）算出即可；‎ ‎（3）根据每套降低10x元，每套的销售价格为：（280-10x）元，每天可销售（200+100x）套西服，再依据利润=每件的获利×件数，即可解决问题．‎ ‎【解析】（1）（280-200）×200=16000（元），即每天可获利16000元，故答案为16000；‎ ‎（2）西服每套降价10元，每天可多售出100件，因此每天可卖出200+100=300件，‎ 可获利为：（270-200）×300=21000（元），故答案为300，21000；‎ ‎（3）∵每套降低10x元，∴每套的销售价格为：（280-10x）元，每天可销售（200+100x）套西服，‎ 每套可获为（280-10x-200）=(80-10x)元，‎ 每天共可以获利润为：（80-10x）（200+100x），‎ 故答案为（280-10x）；（200+100x）；（80-10x）（200+100x）．‎ ‎【点睛】本题考查了列代数式，弄清题意，正确表示出每件商品的利润和销量是解题关键．‎ 例5．（2020·河北省初一期末）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB=2，BC=1，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p．‎ ‎（1）若以B为原点，则点A，C所对应的数分别为____和____，p的值为____．若以C为原点，p的值为____；‎ ‎（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，求p；‎ ‎（3）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=a，求p（用含a的代数式表示）．‎ ‎（4）若原点O在图中数轴上线段BC上，且CO=a，求p（用含a的代数式表示）．利用此结果计算当a=0.5时，p的值．‎ ‎【答案】（1）﹣2、1、﹣1、﹣4；（2）－88；（3）p=﹣3a﹣4；（4）p= 3a﹣4，当a=0.5时，p=﹣2.5．‎ ‎【分析】（1）根据以B为原点，则C表示1，A表示﹣2，进而得到p的值；根据以C为原点，则A表示﹣3，B表示﹣1，进而得到p的值；‎ ‎（2）根据原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，可得C表示﹣28，B表示﹣29，A表示﹣31，据此可得p的值．‎ ‎（3）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=a，可得C的值为﹣a，B的值为﹣a﹣1，A的值为﹣a﹣3，据此可得p的值；‎ ‎（4）若原点O在图中数轴上线段BC上，且CO=a，可得C的值为a，B的值为﹣（1﹣a）=a﹣1，A的值为a﹣3，据此得出p的值，代入计算可得答案．‎ ‎【解析】（1）若以B为原点，则点A所对应的数为﹣2、点C对应的数为1，此时p=﹣2+0+1=﹣1；‎ 若以C为原点，则点A所对应的数为﹣3、点B对应的数为﹣1，此时p=﹣3﹣1+0=﹣4．‎ 故答案为：﹣2、1、﹣1、﹣4；‎ ‎（2）根据题意知，C的值为﹣28，B的值为﹣29，A的值为﹣31，则p=﹣28﹣29﹣31=﹣88；‎ ‎（3）根据题意知，C的值为﹣a，B的值为﹣a﹣1，A的值为﹣a﹣3，则p=﹣a﹣a﹣1﹣a﹣3=﹣3a﹣4；‎ ‎（4）根据题意知，C的值为a，B的值为﹣（1﹣a）=a﹣1，A的值为a﹣3，p=a+a﹣1+a﹣3=3a﹣4，当a=0.5时，p=3×0.5﹣4=﹣2.5．‎ ‎【点睛】本题主要考查了两点间的距离以及数轴的运用，解题时注意：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．‎ 题型4. 数字与字母类规律 解题技巧：此类题型分两部分找规律：‎ ①符号规律：通常是正负间或出现的规律，常表示为或或 ②数字规律：数字规律需要视题目而确定 字母规律：通常字母规律是呈指数变换，长表示为：等形式 例1．（2020·江苏省初一期末）猜数字游戏中，小明写出如下一组数：‎ ‎，小亮猜想出第六个数字是，根据此规律，第n个数是　 　．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】∵分数的分子分别是：2 1=2,2 2=4，23=8，24=16，…2n．‎ 分数的分母分别是：2 1+3=5，2 2+3=7，23+3=11，24+3=19，…2n＋3．‎ ‎∴第n个数是．‎ ‎【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．‎ 例2．（2020·云南省中考真题）按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第个单项式是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行概括即可得到答案．‎ ‎【解析】解： ，，，，，，…，‎ 可记为： ‎ ‎ 第项为： 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．‎ 例3．（2020·云南省中考真题）观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】观察已知一组数，发现规律进而可得这一组数的第n个数．‎ ‎【解析】解：观察下列一组数：‎ ‎﹣＝﹣，＝，﹣＝﹣＝，﹣＝﹣，‎ ‎…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是：（﹣1）n ，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．‎ 例4．（2020·成都市初一期末）现有一列数a1，a2，a3，…，其中a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝，则a17的值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】按照规定的运算方法，逐一计算，找出运算的规律，解决问题即可．‎ ‎【解析】∵a1=1，a2==，a3==，a4=，a5=，…，∴分子的数字为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1 597，2 584，…，分母数1，2，3，5，…都是从第3个数字开始每一个数字是前面两个数字的和，∴a17的值为．故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了数字的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．‎ 例5．（2020·山东平阴初一期末）如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（）‎ A．y=2n+1 B．y=2n+n C．y=2n+1+n D．y=2n+n+1‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵观察可知：左边三角形的数字规律为：1，2，…，n，‎ 右边三角形的数字规律为：2，‎2‎‎2‎，…，‎2‎n，‎ 下边三角形的数字规律为：1+2，‎2+‎‎2‎‎2‎，…，n+‎‎2‎n，‎ ‎∴最后一个三角形中y与n之间的关系式是y=2n+n.，故选B．‎ ‎【点睛】考点：规律型：数字的变化类．‎ 例6．（2020·广东广州绿翠现代实验学校初一期中）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：‎ 根据此规律确定x的值为（ ）‎ A．135 B．170 C．209 D．252‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵a+（a+2）=20，∴a=9，∵b=a+1，∴b=a+1=9+1=10，‎ ‎∴x=20b+a=20×10+9=200+9=209故选C．‎ 考点：规律型：数字变化类.‎ 例7．（2019·景泰县第四中学初三一模）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（ ）‎ A．CnH2n+2 B．CnH2n C．CnH2n﹣2 D．CnHn+3‎ ‎【答案】A ‎【解析】设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，‎ 观察可知：a1=4=2×1+2，a2=6=2×2+2，a3=8=2×3+2，…，即可得an=2n+2．‎ 所以碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为CnH2n+2．故答案选A．‎ 考点：数字规律探究题.‎ 课后作业：‎ ‎1．（2019·全国初一课时练习）以下是代数式的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【分析】根据代数式的定义解答即可.‎ ‎【解析】因为代数式中不含“=”号，所以是代数式的是C．故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了代数式的定义，熟知代数式是用运算符号连接而成的式子是解决问题的关键.‎ ‎2．（2020·山东省初一期中）在下列各式：ab，，ab2+b+1，﹣9，x3+x2﹣3中，多项式有（　　）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎【答案】B ‎【分析】直接利用多项式的定义分析得出答案．‎ ‎【解析】ab，，ab2+b+1，-9，x3+x2-3中，多项式有：，ab2+b+1，x3+x2-3共3个． 故选B．‎ ‎【点睛】此题主要考查了多项式，正确把握多项式定义是解题关键．‎ ‎3．（2020·全国初一课时练习）下列说法正确的是（ ）‎ A．的次数是 B．不是单项式 C．的系数为 D．是单项式 ‎【答案】A ‎【分析】根据单项式及其系数，次数的概念逐一判断即可．‎ ‎【解析】A. 的次数是，故该选项正确； B. 是单项式，故该选项错误；‎ C. 的系数为，故该选项错误； D. 不是单项式，故该选项错误．故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查单项式，掌握单项式及其次数，系数的概念是解题的关键．‎ ‎4．（2019·全国初一单元测试）多项式4xy2﹣3xy+12的次数为（　　）[来源:学*科*网]‎ A．3 B．4 C．6 D．7‎ ‎【答案】A ‎【分析】直接利用多项式的次数确定方法是解题关键．‎ ‎【解析】多项式4xy2-3xy+12的次数为，最高此项4xy2的次数为：3．故选A．‎ ‎【点睛】此题主要考查了多项式，正确把握多项式的次数确定方法是解题关键．‎ ‎5．若m+n=﹣1，则（m+n）2﹣2m﹣2n的值是（ ）‎ A．3 B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵m+n=﹣1，∴（m+n）2﹣2m﹣2n=（m+n）2﹣2（m+n）=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=1+2=3．‎ 故选A．‎ 考点：代数式求值 ‎6．（2019·黑龙江省初一期末）多项式﹣2m3+3m2﹣m的各项系数之积为_____‎ ‎【答案】3‎ ‎【分析】根据多项式各项系数的定义求解.多项式的各项系数是单项式中各项的系数,由此即可求解.‎ ‎【解析】多项式﹣2m3+3m2﹣m 的各项系数之积为:-2×3×(-)=3.故答案为:3.‎ ‎【点睛】本题考查了多项式的相关定义,解题的关键是熟练掌握多项式的各项系数和次数的定义.‎ ‎7．（2020·广东省初一期末）已知一个多项式是三次二项式，则这个多项式可以是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】A. 是二次三项式，故此选项错误；B. 是三次二项式，故此选项正确；‎ C. 是二次二项式，故此选项错误；D. 是三次三项式，故此选项错误；故选B.‎ ‎8．（2020·贵州省初一开学考试）随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价a元后，再次打7折，现售价为b元，则原售价为（　　）元．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【分析】设原售价为x元，根据题意列出方程为，求解即可得.‎ ‎【解析】设原售价为x元.根据题意得： 解得： 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意列出方程是解题关键.‎ ‎9．（2020·衡水市第九中学）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，依此规律，那么第4个图形中的x=_____，一般地，用含有m，n的代数式表示y，即y=_____．‎ ‎【答案】63 m（n+1） ‎ ‎【解析】观察可得，3=1×（2+1），15=3×（4+1），35=5×（6+1），所以x=7×（8+1）=63，y=m（n+1）．‎ 故答案为：63；y=m（n+1）．‎ ‎【点睛】本题考查规律探究题．‎ ‎10．（2019·全国初一课时练习）甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2014时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是 分．‎ ‎【答案】336．‎ ‎【解析】甲报的数中第一个数为1，第2个数为1+3=4，第3个数为1+3×2=7，第4个数为1+3×3=10，‎ ‎…，第n个数为1+3（n﹣1）=3n﹣2. 由3n﹣2=2014得n=672，‎ ‎∴甲报出了672个数，一奇一偶，所以偶数有672÷2=336个，得336分．‎ 考点：探索规律题（数字的变化类）．‎ ‎11．（2020·河北省初二期末）如图所示，两个全等的等边三角形的边长为1m，一个微型机器人由A点开始按ABCDBEA的顺序沿等边三角形的边循环运动，行走2012m停下，则这个微型机器人停在（ ）‎ A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点E处 ‎【答案】C ‎【分析】根据等边三角形和全等三角形的性质，可以推出，每行走一圈一共走了6个1m，2012÷6=335…2，行走了335圈又两米，即落到C点．‎ ‎【解析】解：∵两个全等的等边三角形的边长为1m，‎ ‎∴机器人由A点开始按ABCDBEA的顺序沿等边三角形的边循环运动一圈，即为6m，‎ ‎∵2012÷6=335…2，即正好行走了335圈又两米，回到第三个点，‎ ‎∴行走2012m停下，则这个微型机器人停在C点．故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查全等三角形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于求出2012为6的倍数余数是几．‎ ‎12．（2020·全国初一课时练习）某市电话拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一：‎ A．计时制：0.05元每分钟；B．包月制：60元每月（限一部个人住宅电话上网）；‎ 此外，每一种上网方式都得加收通信费0.02元每分钟．‎ ‎（1）某用户某月上网的时间为x小时，请分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；‎ ‎（2）若某用户估计一个月内上网的时间为25小时，你认为采用哪种方式较为合算？‎ ‎【答案】（1）计时制：4.2x，包月制：60+1.2x；（2）用B方式较为合算．‎ 分析：（1）首先统一时间单位，A．计时制：每分钟（0.05+0.02）元×时间=花费；B．包月制：60元+每分钟0.02元×时间=花费；‎ ‎（2）把x=25代入（1）中的代数式计算出花费，进行比较即可．‎ ‎【解析】（1）x小时=60x分钟，‎ A．计时制：（0.05+0.02）•60x=0.0760x=4.2x，‎ B．包月制：60+0.0260x=60+1.2x．‎ ‎（2）A．计时制：4.2x=4.2×25=105（元），‎ B．包月制：60+1.2x=60+1.2×25=90（元）．‎ ‎∵90＜105，∴用B方式较为合算．‎ 考点：1．列代数式；2．方案型．‎